1. 下列计算正确的是()。

A.$(x^{2})^{4}=x^{16}$
B.$(x^{2})^{4}=x^{6}$
C.$(x^{4})^{8}=x^{32}$
D.$x^{4}· x^{2}=x^{8}$

1. C

【分析】
这道题是幂运算的辨析题，解题思路很清晰：首先回忆两个核心的幂运算规则，分别是幂的乘方的运算规则、同底数幂相乘的运算规则，之后把每个选项代入对应规则逐一计算验证，就能判断出哪个选项的计算是正确的。要注意区分两种运算里指数的操作是相乘还是相加，不要混淆公式。
【解析】
我们先明确两个幂运算的基础法则：
1. 幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{m· n}$（m、n为正整数），运算规则是底数不变，指数相乘。
2. 同底数幂乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），运算规则是底数不变，指数相加。
逐个验证选项：
选项A：$(x^{2})^{4}=x^{2×4}=x^8 ≠ x^{16}$，计算错误。
选项B：$(x^{2})^{4}=x^{2×4}=x^8 ≠ x^{6}$，计算错误。
选项C：$(x^{4})^{8}=x^{4×8}=x^{32}$，计算完全符合幂的乘方法则，结果正确。
选项D：$x^{4}· x^{2}=x^{4+2}=x^6 ≠ x^{8}$，计算错误。
综上只有C选项的计算是正确的。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法
【点评】
本题属于整式幂运算的基础题型，核心考察学生对两类基础幂运算规则的记忆和区分，最常见的易错点就是混淆幂的乘方、同底数幂乘法对应的指数操作，把指数相乘和相加搞混，做完题后可以反向核对指数的运算逻辑，就能避免这类低级错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算$-(a^{2})^{5}-(a^{5})^{2}$的结果是()。

A.$-2a^{7}$
B.$10$
C.$a^{10}$
D.$-2a^{10}$

2. D

$-(a^{2})^{5}-(a^{5})^{2}=-a^{10}-a^{10}=-2a^{10}$，结果是D。

3. 下列各式中，错误的是()。

A.$[(a + b)^{2}]^{3}=(a + b)^{6}$
B.$(a^{2n})^{5}=a^{10n}$
C.$[(x + y)^{m}]^{n}=(x + y)^{mn}$
D.$(x^{m + 1})^{n}=x^{m + n + 1}$

3. D

【分析】
这道题要求选出运算错误的选项，核心考点是幂的乘方运算法则。我们的解题思路是先明确幂的乘方的运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，之后逐个对四个选项按照该规则进行验证，计算出每个选项的正确结果，和给出的式子对比，就能找出错误的选项。
【解析】
我们依据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（底数不变，指数相乘），逐一验证选项：
1. 验证选项A：$[(a + b)^{2}]^{3}$，将$(a+b)$看作整体底数，指数运算为$2×3=6$，结果为$(a+b)^6$，该式运算正确。
2. 验证选项B：$(a^{2n})^{5}$，底数为$a$，指数运算为$2n×5=10n$，结果为$a^{10n}$，该式运算正确。
3. 验证选项C：$[(x + y)^{m}]^{n}$，将$(x+y)$看作整体底数，指数运算为$m× n=mn$，结果为$(x+y)^{mn}$，该式运算正确。
4. 验证选项D：$(x^{m + 1})^{n}$，按照法则指数运算应为$(m+1)× n=mn+n$，正确结果是$x^{mn+n}$，和给出的$x^{m+n+1}$不符，该式运算错误。
因此错误的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算法则
【点评】
本题属于幂运算的基础辨析题，主要考察学生对幂的乘方法则的识记与应用，易错点是将幂的乘方的指数相乘规则和同底数幂相乘的指数相加规则混淆，误判D选项正确，做题时要明确区分不同幂运算的指数处理逻辑，避免低级错误。
【难度系数】
0.9

4. 若$a^{3}=2$，则$a^{12}=$。

4. 16

$a^{12}=(a^{3})^{4}=2^{4}=16$

5. 计算$(x^{3})^{2}-(x^{2})^{3}=$。

5. 0

$(x^{3})^{2}-(x^{2})^{3}=x^{6}-x^{6}=0$

6. 若$(a^{2})^{n}=(a^{n})^{x}$($n$，$x$都是正整数)，则$x=$。

6. 2

$(a^{2})^{n}=a^{2n}$，$(a^{n})^{x}=a^{nx}$，因为$(a^{2})^{n}=(a^{n})^{x}$，所以$a^{2n}=a^{nx}$，则$2n=nx$，又因为$n$是正整数，所以$x=2$。
2

7. 若$2^{8m}=16^{4}$，则$m=$。

7. 2

$2^{8m}=16^{4}$
$2^{8m}=(2^{4})^{4}$
$2^{8m}=2^{16}$
$8m=16$
$m=2$

8. $[(p + q)^{2}]^{5}· [(p + q)^{7}]^{2}=$。

8. $(p+q)^{24}$

$[(p + q)^{2}]^{5}· [(p + q)^{7}]^{2}$
$=(p+q)^{2×5}·(p+q)^{7×2}$
$=(p+q)^{10}·(p+q)^{14}$
$=(p+q)^{10+14}$
$=(p+q)^{24}$

9. 若$a^{2m}=3$，$b^{3n}=2$，则$(a^{3m})^{2}-(b^{2n})^{3}=$。

9. 23

$(a^{3m})^{2}=a^{6m}=(a^{2m})^{3}=3^{3}=27$，$(b^{2n})^{3}=b^{6n}=(b^{3n})^{2}=2^{2}=4$，则$(a^{3m})^{2}-(b^{2n})^{3}=27 - 4=23$。
23

10. 已知$10^{a}=2$，$10^{b}=3$。求：
（1）$10^{2a}+10^{3b}$的值；
（2）$10^{2a + 3b}$的值。

10. 解：（1）原式$=(10^{a})^{2}+(10^{b})^{3}=2^{2}+3^{3}=31$。
（2）原式$=10^{2a}· 10^{3b}=(10^{a})^{2}· (10^{b})^{3}=2^{2}×3^{3}=4×27=108$。

【分析】
这道题已知$10^a$和$10^b$的具体数值，不需要单独求解a、b的取值，只需要逆向运用幂的相关运算法则，把待求式转化为用$10^a$、$10^b$表示的形式即可代入计算：
1. 对于第一问，待求式是两个幂的和，根据幂的乘方的逆运算，$10^{2a}$可以变形为$(10^a)^2$，$10^{3b}$可以变形为$(10^b)^3$，代入已知的数值就能直接算出结果。
2. 对于第二问，待求式的指数是$2a+3b$，根据同底数幂乘法的逆运算，指数相加对应幂相乘，也就是$10^{2a+3b}=10^{2a}·10^{3b}$，再结合幂的乘方逆运算转化为$(10^a)^2·(10^b)^3$，代入数值即可计算。
【解析】
（1）计算$10^{2a}+10^{3b}$：
根据幂的乘方的逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
代入已知$10^a=2$，$10^b=3$：
原式$=(10^a)^2+(10^b)^3=2^2+3^3=4+27=31$
（2）计算$10^{2a + 3b}$：
根据同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m·a^n$，可得：
$10^{2a+3b}=10^{2a}·10^{3b}$
再结合幂的乘方逆运算变形为：
$10^{2a+3b}=(10^a)^2·(10^b)^3$
代入已知数值计算：
原式$=2^2×3^3=4×27=108$
【答案】
（1）$\boldsymbol{31}$；（2）$\boldsymbol{108}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，指数式代换
【点评】
本题是幂运算章节的基础典型题，核心考察幂运算法则的逆向使用，避免了直接求解对数a、b的复杂计算，引导学生学会将未知表达式向已知条件靠拢的转化思想，巩固对幂的乘方、同底数幂乘法规则的理解。
【难度系数】
0.8

11. 在幂的运算中规定：若$a^{x}=a^{y}$（$a＞0$，且$a≠1$，$x$，$y$是正整数），则$x = y$。
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若$4^{x}=2^{6}$，求$x$的值；
（2）若$5^{x + 2}-5^{x + 1}=100$，求$x$的值。

11. 解：（1）因为$4^{x}=2^{6}$，
所以$2^{2x}=2^{6}$。
所以$2x=6$。
所以$x=3$。
（2）由题意，得$5^{x+1}· 5-5^{x+1}=100$，
所以$5^{x+1}· (5-1)=100$。
所以$5^{x+1}=25=5^{2}$。
所以$x+1=2$。
所以$x=1$。

【分析】
这道题给出了同底数幂相等（底数a＞0且a≠1）则指数相等的新规则，解题核心思路是把等式两边的幂转化为相同底数的形式，再利用规则让指数相等求解x：
1. 第一问：观察到左边底数4可以转化为以2为底的幂，也就是4=2²，利用幂的乘方法则把4^x改写为2^(2x)，此时左右两边底数都是2，符合题目给出的规则条件，直接令指数相等就能解出x。
2. 第二问：等式左边是两个同底数幂相减，先利用同底数幂乘法的逆运算，把5^(x+2)拆成5×5^(x+1)，提取公因式5^(x+1)后化简左边，得到5^(x+1)=25，再把25转化为以5为底的幂即5²，再次套用题目给出的规则令指数相等，就能解出x的值。
【解析】
（1）对等式左边做底数转化：
因为$4=2^2$，根据幂的乘方法则可得$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
结合已知条件$4^x=2^6$，可得：
$2^{2x}=2^6$
根据题中给出的规则，底数2＞0且2≠1，因此指数相等：
$2x=6$
解得$x=3$。
（2）对等式左边做变形化简：
根据同底数幂乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，可得$5^{x+2}=5·5^{x+1}$
代入原式得：
$5·5^{x+1} - 5^{x+1}=100$
提取公因式$5^{x+1}$：
$5^{x+1}·(5-1)=100$
化简得$4·5^{x+1}=100$，两边同时除以4：
$5^{x+1}=25$
又因为$25=5^2$，因此等式可改写为：
$5^{x+1}=5^2$
根据题中给出的规则，底数5＞0且5≠1，因此指数相等：
$x+1=2$
解得$x=1$。
【答案】
（1）$x=3$；（2）$x=1$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂乘法、新定义规则应用
【点评】
本题属于幂运算的基础拓展题，通过给出自定义规则的形式，考察学生对幂的各类运算法则的灵活运用能力，引导学生掌握“不同底数幂转化为同底数幂”的核心解题思路，第二问提取公因式的设计，能锻炼学生对幂运算逆用法则的掌握，整体侧重基础能力巩固。
【难度系数】
0.8