11.如图,已知线段$a,b$,用直尺和圆规求作一条线段$c$,使$c=2a-b$.

11.解:先画出一条线段$AD=2a$,再在$AD$上截取$CD=b$,线段$AC$即为所求线段,如答图.

【分析】
要作出线段$c=2a-b$，首先需要构造出长度为$2a$的线段：可通过在射线上连续截取两段长度等于$a$的线段得到；再在得到的$2a$长的线段上，从端点处向内部截取长度等于$b$的线段，剩余部分的长度就是$2a-b$，即为所求线段。作图时注意用圆规截取线段长度时要保持张角不变，确保截取的线段长度和已知线段相等。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作射线$AP$；
2. 用圆规量取线段$a$的长度，在射线$AP$上从点$A$开始顺次截取$AB=a$，$BD=a$，此时线段$AD=AB+BD=2a$；
3. 用圆规量取线段$b$的长度，从点$D$向点$A$的方向截取$CD=b$，则剩余线段$AC=AD-CD=2a-b$，线段$AC$就是所求的线段$c$。
【答案】
先画出一条线段$AD=2a$，再在$AD$上截取$CD=b$，线段$AC$即为所求线段，如答图.
【知识点】
尺规作线段；线段的和差
【点评】
本题考查尺规作线段的和差运算，解题的关键是明确作图顺序，先构造出两倍的已知线段$a$，再在其上截去线段$b$，注意截取$b$时方向要正确，若从另一侧截取会得到错误结果。
【难度系数】
0.8

12.如图,线段$AB=24$,C是线段AB的中点,D是线段BC的中点.
(1)求线段AD的长;
(2)在线段AD上有一点E,满足$CE=\frac{1}{6}BC$,求AE的长.

12.解:(1)因为C是线段AB的中点，
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12.$
因为D是线段BC的中点，
所以$CD=BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6,$
所以$AD=AC+CD=12+6=18.$
(2)因为$AC=BC=12$,所以$CE=\frac{1}{6}BC=\frac{1}{6}×12=2.$
当点E在线段AC上时,$AE=AC-CE=12-2=10$;
当点E在线段CD上时,$AE=AC+CE=12+2=14.$
综上所述,AE的长为10或14.

【分析】
(1) 求线段AD的长时，先利用线段中点的定义，由C是AB的中点先算出AC、BC的长度，再根据D是BC的中点算出CD的长度，最后通过AD=AC+CD的和差关系即可求出结果；
(2) 先根据已知的CE和BC的数量关系算出CE的长度，由于点E在线段AD上，E的位置存在两种情况：点E在AC段、点E在CD段，分别结合线段的和差规则计算对应AE的长度即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 因为C是线段AB的中点，
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
因为D是线段BC的中点，
所以$CD=BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
所以$AD=AC+CD=12+6=18$。
(2) 由(1)可得$BC=12$，因此$CE=\frac{1}{6}BC=\frac{1}{6}×12=2$。
分两种情况讨论：
①当点E在线段AC上时，$AE=AC-CE=12-2=10$；
②当点E在线段CD上时，$AE=AC+CE=12+2=14$。
综上所述，AE的长为10或14。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18}$；(2) $\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{14}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心考查线段中点性质的应用和线段和差的运算，解题时需要注意第二问中点的位置不唯一，要结合给定的范围分类讨论，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7

13.已知 C 为线段 AB 的中点，D 为线段 AC 的中点，解答下列问题：
(1)画出相应的图形，并写出图中所有的线段；
(2)若图中所有线段的长度和为 26，求线段 AC 的长度；
(3)若 E 为线段 BC 上的点，M 为线段 EB 的中点，$DM=a$，$CE=b$，求线段 AB 的长度.（用含$a,b$的代数式表示）

13.解:(1)如答图①.
线段为AD,AC,AB,DC,DB,CB.
(2)因为C,D分别是线段AB,AC的中点，
所以$AB=2AC,AC=2AD$,
设$AC=x$,则有$\frac{1}{2}x+x+2x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x+x=26$,
解得$x=4$,即$AC=4$.
(3)如答图②.
因为M为线段EB的中点,所以$EB=2EM$,
所以$AB=AC+EB+CE=2CD+2EM+CE=2(DC+EM)+CE=2(DM-CE)+CE=2DM-CE$.
因为$DM=a,CE=b$,所以$AB=2a-b$.

【分析】
(1) 先根据题意依次确定线段AB、中点C、AC中点D的位置画出图形；数线段时按左端点顺序枚举，从A、D、C依次出发统计，避免重复或遗漏。
(2) 利用中点性质将所有线段用含AC的代数式表示，设AC为未知数列方程，求解即可得到AC的长度。
(3) 先根据M是EB中点得EB=2EM，再将AB拆分为AC、CE、EB的和，结合中点性质转化式子，利用DM的线段组成整体代换，即可用a、b表示AB的长度。
【解析】
(1) 按题意画出图形如答图①，按顺序统计线段：
以A为左端点的线段：AD、AC、AB；以D为左端点的线段：DC、DB；以C为左端点的线段：CB，共6条。
(2) 因为C是AB中点，所以$AB=2AC$，$CB=AC$；D是AC中点，所以$AD=DC=\frac{1}{2}AC$，$DB=DC+CB=\frac{3}{2}AC$。
设$AC=x$，所有线段长度和为：
$AD+AC+AB+DC+DB+CB=\frac{1}{2}x+x+2x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x+x=26$
合并同类项得$\frac{13}{2}x=26$，解得$x=4$。
(3) 画出图形如答图②，因为M是EB中点，所以$EB=2EM$。
$AB=AC+CE+EB$，又$AC=2CD$，代入得：
$AB=2CD+CE+2EM=2(CD+EM)+CE$
由线段和差可知$DM=CD+CE+EM$，即$CD+EM=DM-CE$，代入上式得：
$AB=2(DM-CE)+CE=2DM-CE$
将$DM=a$，$CE=b$代入得$AB=2a-b$。
【答案】
(1)如答图①.
线段为AD,AC,AB,DC,DB,CB.
(2)$AC=4$.
(3)如答图②.
$AB=2a-b$.
【知识点】
线段计数，线段中点性质，线段和差计算
【点评】
本题综合考查线段的基础知识点，解题关键是灵活运用中点性质对线段进行拆分转化，数线段时要按顺序枚举避免错漏，第三问的整体代换思想是线段计算的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

14.(1)如图,点 C 在线段AB 上,且$AC=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},M$是线段$AC$的中点,$N$是线段$BC$的中点,求线段$MN$的长;
(2)在(1)中,若$AC=a\ \mathrm{cm},BC=b\ \mathrm{cm}$,其他条件不变,你能求出线段$MN$的长度吗?(用含$a,b$的代数式表示)
(3)对于(1),若我们这样叙述:“点$C$在直线$AB$上,且$AC=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},M,N$分别是$AC,BC$的中点,求线段$MN$的长.”结果会变化吗?为什么?

14.解:(1)$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6+\frac{1}{2}×4=5(\mathrm{cm}).$
(2)$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a+b)\mathrm{cm}.$
(3)会变化.当点C在线段AB上时,$MN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}×(6+4)=5(\mathrm{cm});$
当点C在线段AB外(即点C在线段AB的延长线上)时,
$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}×(6-4)=1(\mathrm{cm}),$
即MN的长为5 cm或1 cm.

【分析】
(1) 要求线段MN的长度，观察图形可知MN由CM和CN两段拼接而成，已知M是AC中点、N是BC中点，根据线段中点的定义可先求出CM、CN分别是AC、BC的一半，再将二者相加即可得到MN的长；
(2) 将(1)中AC、BC的具体数值替换为字母a、b，沿用和(1)相同的推导逻辑，就能用含a、b的代数式表示出MN的长度；
(3) 原条件中点C在线段AB上，修改为点C在直线AB上后，由于直线可向两端无限延伸，点C的位置存在两种情况：①点C在线段AB上，②点C在线段AB的延长线上，需要分两种情况计算MN的长度，对比结果判断是否变化。
【解析】
(1)
∵M是线段AC的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AC$，
∵N是线段BC的中点，
∴$CN=\frac{1}{2}BC$，
∴$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC$，
代入$AC=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$得：
$MN=\frac{1}{2}×6+\frac{1}{2}×4=3+2=5(\mathrm{cm})$。
(2) 由(1)的推导可得：
$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC$，
代入$AC=a\ \mathrm{cm},BC=b\ \mathrm{cm}$得：
$MN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}(a+b)\mathrm{cm}$。
(3) 结果会变化，理由如下：
点C在直线AB上时，位置有两种情况：
① 当点C在线段AB上时，和(1)的情况一致，$MN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}×(6+4)=5(\mathrm{cm})$；
② 当点C在线段AB的延长线上时，$MN=CM-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC$，代入数值可得$MN=\frac{1}{2}×(6-4)=1(\mathrm{cm})$。
综上MN的长为5 cm或1 cm，和原结果相比有变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}(a+b)\ \mathrm{cm}}$；
(3) 会变化，MN的长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题前两问是线段中点的基础应用，掌握中点定义和线段和差运算即可求解；第三问需要注意区分“直线”和“线段”的概念，考虑点位置的多种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7