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1. 大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“美学”. 如图,$\dfrac{BP}{AP}$的值接近黄金比$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,则黄金比（
(参考数据:$2.1^{2}=4.41$,$2.2^{2}=4.84$,$2.3^{2}=$$5.29$,$2.4^{2}=5.76$)
A.在 0.50 到 0.55 之间
B.在 0.55 到 0.60 之间
C.在 0.60 到 0.65 之间
D.在 0.65 到 0.70 之间
C
）(参考数据:$2.1^{2}=4.41$,$2.2^{2}=4.84$,$2.3^{2}=$$5.29$,$2.4^{2}=5.76$)
A.在 0.50 到 0.55 之间
B.在 0.55 到 0.60 之间
C.在 0.60 到 0.65 之间
D.在 0.65 到 0.70 之间
答案
1. C
2. 已知 $k=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$, 则与 $k$ 最接近的整数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. B
3. 若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$，小数部分为$y$，则$y$的值是
$\sqrt{3}-1$
。答案
3. $\sqrt{3}-1$
4. 已知 $x=\sqrt{5}+2,y=\sqrt{5}-1$,若 $x$ 的整数部分为$a$,$y$ 的小数部分为$b$,则 $ax-4b$ 的平方根是
$\pm4$
.答案
4. $\pm4$ 提示:由题意,得 $a=4,b=\sqrt{5}-1-1=\sqrt{5}-2$,所以 $ax-4b=4(\sqrt{5}+2)-4(\sqrt{5}-2)=16$. 所以 $ax-4b$ 的平方根为 $\pm4.$
5. (2025 无锡市宜兴市期中)任何实数 $a$, 可用$[a]$表示不超过$a$的最大整数,如$[4]=$$4,[\sqrt{3}]=1$. 现对 72 进行如下操作：72$\xrightarrow{\mathrm{第}1\mathrm{次}}[\sqrt{72}]=8$$\xrightarrow{\mathrm{第}2\mathrm{次}}[\sqrt{8}]=2$$\xrightarrow{\mathrm{第}3\mathrm{次}}[\sqrt{2}]=1$,这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1. 类似地:①对 100 只需进行
3
次操作后变为 1;②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中,最大的数与最小的数的和是271
.答案
5. 3 271 提示:①$[\sqrt{100}]=10,[\sqrt{10}]=3,[\sqrt{3}]=1$,故对 100 只需进行 3 次操作后变为 1.②因为$2^2-1=3,4^2-1=15,16^2-1=255$,所以进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中最大的数为255. 因为$2^2=4,4^2=16$,所以进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中最小的数为 16.$255+16=271$,故最大的数与最小的数的和为 271.
6. 已知 $m+n=2\sqrt{5}$，其中 $m$ 是整数，且 $0＜ n＜1$，则 $|m-n|$ 的值为
$8-2\sqrt{5}$
。答案
6. $8-2\sqrt{5}$ 提示:由 $m+n=2\sqrt{5}$,得 $n=2\sqrt{5}-m$. 因为 $0＜n＜1$,所以 $m＜2\sqrt{5}＜1+m$. 又因为 $4＜2\sqrt{5}＜5$,所以 $m=4,n=2\sqrt{5}-4$,则 $|m-n|=|4-(2\sqrt{5}-4)|=8-2\sqrt{5}.$
7. 数学课上,老师出了一道题:比较$\dfrac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\dfrac{2}{3}$的大小.
小华的方法:
因为$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-2\_\_\_\_\_\_\dfrac{2}{3}$.
小英的方法:
$\dfrac{\sqrt{19}-2}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{\sqrt{19}-4}{3}$,因为$19＞16=4^2$,
所以$\sqrt{19}-4\_\_\_\_\_\_\dfrac{2}{3}$.
(1) 根据上述材料填空(填“$＞$”或“$＜$”).
(2) 请从小华和小英的方法中选择一种比较$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}$与$\dfrac{1}{2}$的大小.
小华的方法:
因为$\sqrt{19}＞4$,所以$\sqrt{19}-2\_\_\_\_\_\_\dfrac{2}{3}$.
小英的方法:
$\dfrac{\sqrt{19}-2}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{\sqrt{19}-4}{3}$,因为$19＞16=4^2$,
所以$\sqrt{19}-4\_\_\_\_\_\_\dfrac{2}{3}$.
(1) 根据上述材料填空(填“$＞$”或“$＜$”).
(2) 请从小华和小英的方法中选择一种比较$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}$与$\dfrac{1}{2}$的大小.
答案
7. 解:(1) ＞ ＞ ＞ ＞ ＞
(2) 选小华的方法:因为$\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}-1＜2$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}＜\dfrac{1}{2}$.
选小英的方法:$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-3}{4}$,因为$6＜9=3^2$,所以$\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}-3＜0$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-3}{4}＜0$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}＜\dfrac{1}{2}$.
(2) 选小华的方法:因为$\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}-1＜2$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}＜\dfrac{1}{2}$.
选小英的方法:$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-3}{4}$,因为$6＜9=3^2$,所以$\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}-3＜0$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-3}{4}＜0$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-1}{4}＜\dfrac{1}{2}$.
8. 如果 $ax+b=0$,其中 $a,b$ 为有理数,$x$ 为无理数,那么 $a=0$ 且 $b=0$. 试利用上述知识解答下列问题：
(1) 如果 $\sqrt{2}(a-2)+b+3=0$,其中 $a,b$ 为有理数,求 $a,b$ 的值.
(2) 如果 $2a-b+\sqrt{2}(a+b)=6$,其中 $a,b$ 为有理数,求 $a+2b$ 的值.
(1) 如果 $\sqrt{2}(a-2)+b+3=0$,其中 $a,b$ 为有理数,求 $a,b$ 的值.
(2) 如果 $2a-b+\sqrt{2}(a+b)=6$,其中 $a,b$ 为有理数,求 $a+2b$ 的值.
答案
8. 解:(1) 因为$\sqrt{2}(a-2)+b+3=0$,所以 $a-2=0$ 且 $b+3=0$,解得 $a=2,b=-3$.
(2) 因为 $2a-b+\sqrt{2}(a+b)=6$,所以 $2a-b-6+\sqrt{2}(a+b)=0$,所以 $2a-b-6=0$,且 $a+b=0$,解得 $a=2,b=-2$,所以 $a+2b=-2$.
(2) 因为 $2a-b+\sqrt{2}(a+b)=6$,所以 $2a-b-6+\sqrt{2}(a+b)=0$,所以 $2a-b-6=0$,且 $a+b=0$,解得 $a=2,b=-2$,所以 $a+2b=-2$.
