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1. (2025连云港市赣榆区期中)下列各数中，无理数是（
A.$\sqrt{16}$
B.$\dfrac{π}{4}$
C.$-\dfrac{22}{7}$
D.$\sqrt[3]{27}$
B
）A.$\sqrt{16}$
B.$\dfrac{π}{4}$
C.$-\dfrac{22}{7}$
D.$\sqrt[3]{27}$
答案
1. B
2. 下列说法中,正确的是 （
A.带根号的数都是无理数
B.不带根号的数一定是有理数
C.无理数是无限小数
D.无限小数都是无理数
C
）A.带根号的数都是无理数
B.不带根号的数一定是有理数
C.无理数是无限小数
D.无限小数都是无理数
答案
2. C
3. 现有下列各数:$0.111,\sqrt[3]{8},0,-\dfrac{3}{5}π,\sqrt{9},-\dfrac{1}{3},$
$0.313\ 113\ 111\ 3···$(相邻两个 3 之间依次多一个 1).其中无理数的个数是 （
A.4
B.2
C.1
D.3
$0.313\ 113\ 111\ 3···$(相邻两个 3 之间依次多一个 1).其中无理数的个数是 （
B
）A.4
B.2
C.1
D.3
答案
3. B
4. 下列说法中,错误的是 （
A.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm 2$
B.$\sqrt{2}$是无理数
C.$\sqrt[3]{-27}$是有理数
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是分数
D
）A.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm 2$
B.$\sqrt{2}$是无理数
C.$\sqrt[3]{-27}$是有理数
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是分数
答案
4. D
5.（2025 常州市溧阳市期末）下列无理数中，大于4，且小于5的是（
A.$π$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{17}$
D.$\sqrt{26}$
C
）A.$π$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{17}$
D.$\sqrt{26}$
答案
5. C
6. 若 $m,n$ 为相邻的两个正整数，且 $m＜\sqrt{65}＜n$，则 $m+n$ 的值为
17
。答案
6. 17 提示:因为 $\sqrt{64}＜\sqrt{65}＜\sqrt{81}$,所以 $8＜\sqrt{65}＜9$,所以 $m=8,n=9$,所以 $m+n=8+9=17.$
7.（2025 苏州市工业园区期中）比较大小：
$\sqrt{6}$
$\sqrt{6}$
＞
2（填“＞”“＜”或“=”）.答案
7. ＞
8. 已知正数$a$的算术平方根是$6$,$b+1$的立方根为$-3$,$c$是小于$\sqrt{17}$的最大整数.
(1) $a=$
(2) 求$a+b-\dfrac{1}{2}c$的平方根.
(1) $a=$
36
,$b=$-28
,$c=$4
.(2) 求$a+b-\dfrac{1}{2}c$的平方根.
答案
8. 解:(1) 36 -28 4
(2) 因为$a+b-\dfrac{1}{2}c=36-28-\dfrac{1}{2}×4=6$,
所以$a+b-\dfrac{1}{2}c$的平方根是$\pm\sqrt{6}.$
(2) 因为$a+b-\dfrac{1}{2}c=36-28-\dfrac{1}{2}×4=6$,
所以$a+b-\dfrac{1}{2}c$的平方根是$\pm\sqrt{6}.$
9. 定义:可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为1的有理数; 反之为无理数. 例如:$\sqrt{2}$不能表示为两个互质的整数的商,所以$\sqrt{2}$是无理数.
可以这样证明:
设$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$,$a$与$b$是互质的两个整数,且$b ≠0$,则$2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$,所以$a^{2}=2b^{2}$. 因为$b$是整数且不为0,所以$a$是不为0的偶数. 设$a=2n$($n$是整数),所以$b^{2}=2n^{2}$,所以$b$也是偶数,与$a$,$b$是互质的整数矛盾. 所以$\sqrt{2}$是无理数.
仔细阅读上文,请证明:$\sqrt{5}$是无理数.
可以这样证明:
设$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$,$a$与$b$是互质的两个整数,且$b ≠0$,则$2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$,所以$a^{2}=2b^{2}$. 因为$b$是整数且不为0,所以$a$是不为0的偶数. 设$a=2n$($n$是整数),所以$b^{2}=2n^{2}$,所以$b$也是偶数,与$a$,$b$是互质的整数矛盾. 所以$\sqrt{2}$是无理数.
仔细阅读上文,请证明:$\sqrt{5}$是无理数.
答案
9. 证明:设$\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}$,$a$ 与 $b$ 是互质的两个整数,且 $b≠0$,则有 $5=\dfrac{a^2}{b^2}$,所以 $a^2=5b^2$. 因为 $b$是整数且不为0,所以$a$不为0且为5的倍数.设$a=5n$($n$为整数),所以$b^2=5n^2$,所以$b$也为5的倍数,与$a,b$是互质的整数矛盾.所以$\sqrt{5}$是无理数.
