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1. 下列各组根式中,能合并的是()
A.$\sqrt{3}$和$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{3}$和$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{a^2b}$和$\sqrt{ab^2}$
D.$\sqrt{a+1}$和$\sqrt{a^2 -1}$
A.$\sqrt{3}$和$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{3}$和$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{a^2b}$和$\sqrt{ab^2}$
D.$\sqrt{a+1}$和$\sqrt{a^2 -1}$
答案
B
解析
判断二次根式能否合并，需先将各组根式化为最简二次根式，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并：
1. 选项A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，和$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式，可以合并；
3. 选项C：$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$，$\sqrt{ab^2}=|b|\sqrt{a}$，被开方数分别为$b$和$a$，不同，不能合并；
4. 选项D：$\sqrt{a^2-1}$是最简根式，被开方数为$a^2-1$，和$\sqrt{a+1}$的被开方数不同，不能合并。
1. 选项A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不能合并；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，和$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式，可以合并；
3. 选项C：$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$，$\sqrt{ab^2}=|b|\sqrt{a}$，被开方数分别为$b$和$a$，不同，不能合并；
4. 选项D：$\sqrt{a^2-1}$是最简根式，被开方数为$a^2-1$，和$\sqrt{a+1}$的被开方数不同，不能合并。
2. 下列计算错误的是()
A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
B.$\sqrt{8} × \sqrt{2} = 4$
C.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 3$
D.$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$
A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
B.$\sqrt{8} × \sqrt{2} = 4$
C.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 3$
D.$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$
答案
D
解析
分别验证各选项：
A. 合并同类二次根式：$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2+3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，计算正确；
B. 二次根式乘法：$\sqrt{8}×\sqrt{2}=\sqrt{8×2}=\sqrt{16}=4$，计算正确；
C. 二次根式除法：$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，计算正确；
D. 由完全平方公式展开：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{6}≠1$，计算错误。
A. 合并同类二次根式：$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2+3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，计算正确；
B. 二次根式乘法：$\sqrt{8}×\sqrt{2}=\sqrt{8×2}=\sqrt{16}=4$，计算正确；
C. 二次根式除法：$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，计算正确；
D. 由完全平方公式展开：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{6}≠1$，计算错误。
3. 若最简二次根式$\sqrt[m+n]{n}$与最简二次根式$\sqrt{3m+n}$可以合并，则$m,n$的值分别为（）
A.$m=0,n=2$
B.$m=1,n=1$
C.$m=-1,n=3$
D.$m=2,n=0$
A.$m=0,n=2$
B.$m=1,n=1$
C.$m=-1,n=3$
D.$m=2,n=0$
答案
A
解析
根据最简二次根式的定义，二次根式的根指数为2，可得第一个方程：$m+n=2$；
两个最简二次根式可以合并，说明它们的被开方数相等，可得第二个方程：$n=3m+n$。
解方程组：
1. 化简$n=3m+n$，得$3m=0$，即$m=0$；
2. 将$m=0$代入$m+n=2$，得$n=2$。
验证：当$m=0,n=2$时，两个根式分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$，均为最简二次根式，可合并，符合条件。其余选项中，B的根式$\sqrt{1}$不是最简二次根式，C的被开方数$3m+n=0$不符合要求，D的根式$\sqrt{0}$不是最简二次根式，均排除。
两个最简二次根式可以合并，说明它们的被开方数相等，可得第二个方程：$n=3m+n$。
解方程组：
1. 化简$n=3m+n$，得$3m=0$，即$m=0$；
2. 将$m=0$代入$m+n=2$，得$n=2$。
验证：当$m=0,n=2$时，两个根式分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$，均为最简二次根式，可合并，符合条件。其余选项中，B的根式$\sqrt{1}$不是最简二次根式，C的被开方数$3m+n=0$不符合要求，D的根式$\sqrt{0}$不是最简二次根式，均排除。
4. 当$ a = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} $时，代数式$ \frac{\sqrt{a^2 + 4a + 4}}{a^2 + 2a} $的值是()
A.$ -2+\sqrt{3} $
B.$ -2-\sqrt{3} $
C.$ 2+\sqrt{3} $
D.$ 2-\sqrt{3} $
A.$ -2+\sqrt{3} $
B.$ -2-\sqrt{3} $
C.$ 2+\sqrt{3} $
D.$ 2-\sqrt{3} $
答案
D
解析
1. 先对a进行分母有理化：$a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，可得$a＞0$，$a+2＞0$。
2. 化简代数式：分子$\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{(a+2)^2}=|a+2|=a+2$，分母因式分解得$a^2+2a=a(a+2)$，约去不为0的公因式$a+2$，原式化简为$\frac{1}{a}$。
3. 代入计算：$\frac{1}{a}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。
2. 化简代数式：分子$\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{(a+2)^2}=|a+2|=a+2$，分母因式分解得$a^2+2a=a(a+2)$，约去不为0的公因式$a+2$，原式化简为$\frac{1}{a}$。
3. 代入计算：$\frac{1}{a}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。
5. 按照如图所示的程序框图运算,若输入-2,则输出的值为( 
)
A.$10+4\sqrt{6}$
B.$10-4\sqrt{6}$
C.2
D.-2
)A.$10+4\sqrt{6}$
B.$10-4\sqrt{6}$
C.2
D.-2
答案
C
解析
输入值为-2，第一步计算：$-2+\sqrt{6}$，因为$\sqrt{6}\approx2.45$，可得$-2+\sqrt{6}＞0$，满足“大于0”的条件，因此将结果乘以$(2+\sqrt{6})$，利用平方差公式计算：
$(-2+\sqrt{6})(2+\sqrt{6})=(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=(\sqrt{6})^2 - 2^2=6-4=2$
最终输出值为2。
$(-2+\sqrt{6})(2+\sqrt{6})=(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=(\sqrt{6})^2 - 2^2=6-4=2$
最终输出值为2。
6. 已知$a=\sqrt{2028}-\sqrt{2027}$，$b=\sqrt{2027}-\sqrt{2026}$，$c=\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$，那么$a,b,c$的大小关系是()
A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$b＜c＜a$
A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$b＜c＜a$
答案
A
解析
对a、b、c分别取倒数，利用分母有理化化简：
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2028}-\sqrt{2027}}=\sqrt{2028}+\sqrt{2027}$，
$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{2027}-\sqrt{2026}}=\sqrt{2027}+\sqrt{2026}$，
$\frac{1}{c}=\frac{1}{\sqrt{2026}-\sqrt{2025}}=\sqrt{2026}+\sqrt{2025}$，
可得$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}＞\frac{1}{c}$，又因为a、b、c均为正数，正数的倒数越大，自身越小，因此$a＜b＜c$。
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2028}-\sqrt{2027}}=\sqrt{2028}+\sqrt{2027}$，
$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{2027}-\sqrt{2026}}=\sqrt{2027}+\sqrt{2026}$，
$\frac{1}{c}=\frac{1}{\sqrt{2026}-\sqrt{2025}}=\sqrt{2026}+\sqrt{2025}$，
可得$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}＞\frac{1}{c}$，又因为a、b、c均为正数，正数的倒数越大，自身越小，因此$a＜b＜c$。
