1. 已知$a=2-\sqrt{2}$,则$a^2 -4a +6$的值为.

$\boldsymbol{4}$

解：
先对代数式配方变形：
$a^2 -4a +6 = a^2 -4a +4 +2 = (a-2)^2 +2$
将$a=2-\sqrt{2}$代入，得：
$a-2 = 2-\sqrt{2} -2 = -\sqrt{2}$
则原式$=(-\sqrt{2})^2 +2 = 2 +2 = 4$

2. 已知最简二次根式$\sqrt{x+y+1}$与$\sqrt{6 - x + 2y}$是同类二次根式，最简二次根式$\sqrt{6x - y -7}$与$\sqrt{x - 3y +1}$是同类二次根式，则$x^y$的值为.

$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

解：
∵ 最简同类二次根式的被开方数相等，
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}x + y + 1 = 6 - x + 2y \\6x - y - 7 = x - 3y + 1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2x - y = 5 \quad ① \\5x + 2y = 8 \quad ②\end{cases}$
①×2 + ②，得：$9x=18$，解得$x=2$，
将$x=2$代入①，得$2×2 - y=5$，解得$y=-1$，
经检验，$x=2$，$y=-1$满足所有根式为最简二次根式的条件，
∴ $x^y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。

3. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式:一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,三角形的面积$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$.若$a=b=5,S=12$,则$c$的值为.

解：将a=5，b=5，S=12代入公式得：
$12 = \sqrt{\frac{1}{4}[5^2×5^2 - (\frac{5^2+5^2 - c^2}{2})^2]}$
两边同时平方，得：
$144 = \frac{1}{4}[625 - (\frac{50 - c^2}{2})^2]$
两边同乘4，得：
$576 = 625 - (\frac{50 - c^2}{2})^2$
移项整理得：
$(\frac{50 - c^2}{2})^2 = 625 - 576 = 49$
两边开平方，得：
$\frac{50 - c^2}{2} = \pm7$
① 当$\frac{50 - c^2}{2}=7$时，
$50 - c^2=14$，$c^2=36$，
∵$c＞0$，∴$c=6$；
② 当$\frac{50 - c^2}{2}=-7$时，
$50 - c^2=-14$，$c^2=64$，
∵$c＞0$，∴$c=8$。
综上，c的值为$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{8}$。

4. 对于任意两个不相等的正实数$a,b$,定义一种新运算“⊕”,即$a⊕b=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$,如$4⊕5=\frac{\sqrt{4×5}}{4+5}=\frac{2\sqrt{5}}{9}$,则$6⊕8=$

$\boldsymbol{\frac{2\sqrt{3}}{7}}$

解：根据新运算的定义，将$a=6$，$b=8$代入得：
$6\oplus8=\frac{\sqrt{6×8}}{6+8}$
$=\frac{\sqrt{48}}{14}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{14}$
$=\frac{2\sqrt{3}}{7}$
最终

三、解答题
1. 计算: (1) $\sqrt{18} - 3\sqrt{8} + \sqrt{0.5}$；
(2) $2\sqrt{12} - 9\sqrt{\frac{1}{27}} + \frac{1}{3}\sqrt{48}$；
(3) $(5\sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{54}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{12} × \sqrt{6}$；
(4) $(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{3} -1)^2$。

解：
(1) 原式$=3\sqrt{2} - 3×2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=3\sqrt{2} -6\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=-\frac{5\sqrt{2}}{2}$
(2) 原式$=2×2\sqrt{3} -9×\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{1}{3}×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} -\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$=\frac{13\sqrt{3}}{3}$
(3) 原式$=5\sqrt{\frac{2}{3}÷3} - \sqrt{54÷3} + \sqrt{12×6}$
$=\frac{5\sqrt{2}}{3} - \sqrt{18} + \sqrt{72}$
$=\frac{5\sqrt{2}}{3} -3\sqrt{2} +6\sqrt{2}$
$=\frac{14\sqrt{2}}{3}$
(4) 原式$=\sqrt{2} -\sqrt{6} +\sqrt{6} - \sqrt{18} - [(2\sqrt{3})^2 -2×2\sqrt{3}×1 +1^2]$
$=\sqrt{2} -3\sqrt{2} -(13 -4\sqrt{3})$
$=-2\sqrt{2} -13 +4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} -2\sqrt{2} -13$

2. 在数学课外学习活动中,小浩和他的同学遇到一个问题:
已知$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$2a^2 -8a +1$的值,经过思考和讨论他是这样解答的:
$\because a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$, $\therefore a-2=-\sqrt{3}$. $\therefore (a-2)^2=3$. $\therefore a^2 -4a +4=3$.
$\therefore a^2 -4a=-1$. $\therefore 2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$.
(1)$\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$, $\dfrac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}}=$.
(2)若$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=9$,求$n$的值.
(3)若$a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$,求$a^4 -2a^3 -a +2$的值.

解：
(1)
$\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+k}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+k}+\sqrt{n})(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{n+k}-\sqrt{n}}{k}$
(2)
对原式各项分母有理化得：
$\begin{aligned}&\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\\=&\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\=&\sqrt{n+1}-1\end{aligned}$
由题意得$\sqrt{n+1}-1=9$，
移项得$\sqrt{n+1}=10$，
两边平方得$n+1=100$，
解得$n=99$。
(3)
$\because a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$，
$\therefore 2a-1=\sqrt{5}$，
两边平方得$(2a-1)^2=5$，
整理得$a^2-a=1$，即$a^2=a+1$。
由此可得：
$a^3=a· a^2=a(a+1)=2a+1$，
$a^4=a· a^3=a(2a+1)=3a+2$，
代入$a^4-2a^3-a+2$得：
$\begin{aligned}原式&=3a+2-2(2a+1)-a+2\\&=3a+2-4a-2-a+2\\&=-2a+2\\&=-2×\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}+2\\&=1-\sqrt{5}\end{aligned}$
答：(1) 答案依次为$\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$，$\dfrac{\sqrt{n+k}-\sqrt{n}}{k}$；(2) $n$的值为99；(3) $a^4-2a^3-a+2$的值为$1-\sqrt{5}$。