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1. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景。石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000 000 001 42米，此键长用科学记数法表示为（）
A.$1.42× 10^{-9}$
B.$1.42× 10^{-10}$
C.$0.142× 10^{-9}$
D.$1.42× 10^{-11}$
A.$1.42× 10^{-9}$
B.$1.42× 10^{-10}$
C.$0.142× 10^{-9}$
D.$1.42× 10^{-11}$
答案
A
解析
用科学记数法表示小于1的正数，形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n等于原数左侧第一个非零数字前所有0的个数。0.00000000142中第一个非零数字是1，其前面共有9个0，因此$0.00000000142=1.42×10^{-9}$。
2. 下列分式中,是最简分式的是()
A.$\frac{x^2 -4}{x+2}$
B.$\frac{3x}{6x^2}$
C.$\frac{x-1}{x^2 +1}$
D.$\frac{x^2 -2x}{x}$
A.$\frac{x^2 -4}{x+2}$
B.$\frac{3x}{6x^2}$
C.$\frac{x-1}{x^2 +1}$
D.$\frac{x^2 -2x}{x}$
答案
C
解析
根据最简分式的定义：分子、分母没有公因式的分式为最简分式，逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{x^2 -4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}$，分子分母有公因式$x+2$，不是最简分式；
2. 选项B：$\frac{3x}{6x^2}$，分子分母有公因式$3x$，约分后为$\frac{1}{2x}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\frac{x-1}{x^2 +1}$，分母$x^2+1$无法因式分解，分子分母没有公因式，是最简分式；
4. 选项D：$\frac{x^2 -2x}{x}=\frac{x(x-2)}{x}$，分子分母有公因式$x$，不是最简分式。
1. 选项A：$\frac{x^2 -4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}$，分子分母有公因式$x+2$，不是最简分式；
2. 选项B：$\frac{3x}{6x^2}$，分子分母有公因式$3x$，约分后为$\frac{1}{2x}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\frac{x-1}{x^2 +1}$，分母$x^2+1$无法因式分解，分子分母没有公因式，是最简分式；
4. 选项D：$\frac{x^2 -2x}{x}=\frac{x(x-2)}{x}$，分子分母有公因式$x$，不是最简分式。
3. 化简$\frac{2a}{a-1} -1 +a$的结果是()
A.$1+a$
B.$a-1$
C.$\frac{1+a^2}{a-1}$
D.$\frac{(1+a)^2}{a-1}$
A.$1+a$
B.$a-1$
C.$\frac{1+a^2}{a-1}$
D.$\frac{(1+a)^2}{a-1}$
答案
C
解析
对原式通分，将整式部分$-1+a$转化为分母为$a-1$的分式：
原式$=\frac{2a}{a-1} + (a-1)$
$=\frac{2a}{a-1} + \frac{(a-1)^2}{a-1}$
展开并合并分子：$2a + a^2 - 2a +1 = a^2 +1$
最终化简结果为$\frac{1+a^2}{a-1}$。
原式$=\frac{2a}{a-1} + (a-1)$
$=\frac{2a}{a-1} + \frac{(a-1)^2}{a-1}$
展开并合并分子：$2a + a^2 - 2a +1 = a^2 +1$
最终化简结果为$\frac{1+a^2}{a-1}$。
4. 已知$A=\dfrac{4}{x^2 -4}$，$B=\dfrac{1}{2 -x}+\dfrac{1}{x +2}$，以下结论中正确的是()
A.$A=B$
B.$AB=1$
C.$A+B=0$
D.$A÷ B=1$
A.$A=B$
B.$AB=1$
C.$A+B=0$
D.$A÷ B=1$
答案
C
解析
先对B进行通分化简：
利用平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，将B变形为：
$B=\frac{1}{2-x}+\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}$
通分计算：
$B=\frac{-(x+2)+(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{-x-2+x-2}{x^2-4}=\frac{-4}{x^2-4}$
已知$A=\frac{4}{x^2-4}$，可得$A=-B$，即$A+B=0$。
验证其余选项：$A\ne B$，$AB=\frac{-16}{(x^2-4)^2}\ne1$，$A÷ B=-1\ne1$，均错误。
利用平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，将B变形为：
$B=\frac{1}{2-x}+\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}$
通分计算：
$B=\frac{-(x+2)+(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{-x-2+x-2}{x^2-4}=\frac{-4}{x^2-4}$
已知$A=\frac{4}{x^2-4}$，可得$A=-B$，即$A+B=0$。
验证其余选项：$A\ne B$，$AB=\frac{-16}{(x^2-4)^2}\ne1$，$A÷ B=-1\ne1$，均错误。
5. 若分式方程$\frac{m}{2-x}-\frac{1}{x-2}=3$的解是正数，则$m$的取值范围是()
A.$m＜5$
B.$m＞5$
C.$m＜5$且$m≠-1$
D.$m＞5$且$m≠1$
A.$m＜5$
B.$m＞5$
C.$m＜5$且$m≠-1$
D.$m＞5$且$m≠1$
答案
C
解析
先对原分式方程变形，将分母统一为$x-2$，可得$\frac{-m}{x-2}-\frac{1}{x-2}=3$。
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母，得：$-m-1=3(x-2)$。
解该整式方程：展开移项后得$3x=5-m$，解得$x=\frac{5-m}{3}$。
由方程的解是正数，得$x＞0$，即$\frac{5-m}{3}＞0$，解得$m＜5$。
再根据分式有意义的条件，分母不为0，即$x-2≠0$，$x≠2$，因此$\frac{5-m}{3}≠2$，解得$m≠-1$。
综上，$m$的取值范围是$m＜5$且$m≠-1$。
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母，得：$-m-1=3(x-2)$。
解该整式方程：展开移项后得$3x=5-m$，解得$x=\frac{5-m}{3}$。
由方程的解是正数，得$x＞0$，即$\frac{5-m}{3}＞0$，解得$m＜5$。
再根据分式有意义的条件，分母不为0，即$x-2≠0$，$x≠2$，因此$\frac{5-m}{3}≠2$，解得$m≠-1$。
综上，$m$的取值范围是$m＜5$且$m≠-1$。
6. 某工程队原计划修路$m$ km,实际每天比原计划多修$n$ km,结果提前3天完成.设原计划每天修路$x$ km,则可列方程为()
A.$\frac{m}{x-n} - \frac{m}{x} = 3$
B.$\frac{m}{x} - \frac{m}{x+n} = 3$
C.$\frac{m}{x+3} - \frac{m}{x} = n$
D.$\frac{m}{x} - \frac{m}{x-3} = n$
A.$\frac{m}{x-n} - \frac{m}{x} = 3$
B.$\frac{m}{x} - \frac{m}{x+n} = 3$
C.$\frac{m}{x+3} - \frac{m}{x} = n$
D.$\frac{m}{x} - \frac{m}{x-3} = n$
答案
B
解析
由题意可得，原计划每天修路x km，总路程为m km，则原计划完成修路的用时为$\frac{m}{x}$天；实际每天比原计划多修n km，因此实际每天修路$(x+n)$km，实际完成修路的用时为$\frac{m}{x+n}$天。因为实际比原计划提前3天完成，即原计划用时减去实际用时等于3，可列方程：$\frac{m}{x} - \frac{m}{x+n}=3$。
