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1. 在下列数学表达式中，①$-1＜0$，②$x=1$，③$x^2 - xy$，④$x≠-2$，⑤$x + 1 ＜ 2x - 1$，是不等式的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.B
解析
【分析】
解题首先要明确不等式的定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接表示不等关系的式子叫做不等式。接下来我们逐个分析5个表达式，判断是否符合不等式的特征，最后统计符合的数量即可选出正确答案。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
①$-1＜0$：用不等号“＜”连接，属于不等式；
②$x=1$：用等号“=”连接，属于等式，不是不等式；
③$x^2 - xy$：不含等号或不等号，属于代数式，不是不等式；
④$x≠-2$：用不等号“≠”连接，属于不等式；
⑤$x + 1 ＜ 2x - 1$：用不等号“＜”连接，属于不等式。
综上，属于不等式的有①④⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
不等式的定义，等式的概念，代数式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握不等式的判定标准，要注意“≠”也属于不等号，同时注意区分不等式、等式和代数式的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确不等式的定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接表示不等关系的式子叫做不等式。接下来我们逐个分析5个表达式，判断是否符合不等式的特征，最后统计符合的数量即可选出正确答案。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
①$-1＜0$：用不等号“＜”连接，属于不等式；
②$x=1$：用等号“=”连接，属于等式，不是不等式；
③$x^2 - xy$：不含等号或不等号，属于代数式，不是不等式；
④$x≠-2$：用不等号“≠”连接，属于不等式；
⑤$x + 1 ＜ 2x - 1$：用不等号“＜”连接，属于不等式。
综上，属于不等式的有①④⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
不等式的定义，等式的概念，代数式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握不等式的判定标准，要注意“≠”也属于不等号，同时注意区分不等式、等式和代数式的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. “$a$ 的一半不大于 3”用不等式表示，正确的是 （
A.$\frac{1}{2}a ＜ 3$
B.$\frac{1}{2}a ＞ 3$
C.$\frac{1}{2}a ≥ 3$
D.$\frac{1}{2}a ≤ 3$
D
）A.$\frac{1}{2}a ＜ 3$
B.$\frac{1}{2}a ＞ 3$
C.$\frac{1}{2}a ≥ 3$
D.$\frac{1}{2}a ≤ 3$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时可以分两步推导：第一步先将“a的一半”转化为代数式，a的一半就是a乘$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}a$；第二步理解“不大于3”的含义，“不大于”表示数值不会超过3，也就是小于或者等于3，对应的不等号为“≤”，将两部分结合得到不等式后匹配选项即可。
【解析】
1. 表示“a的一半”：$a$的一半可写为代数式$\frac{1}{2}a$；
2. 转化不等关系：“不大于3”的含义是小于或等于3，用符号表示为$≤ 3$；
3. 组合得到不等式：$\frac{1}{2}a ≤ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列不等式；不等号的含义
【点评】
本题是基础题型，核心考查对不等关系常见表述的理解，解题的关键是准确掌握“不大于”“不小于”“至多”“至少”这类关键词对应的不等符号。
【难度系数】
0.9
解题时可以分两步推导：第一步先将“a的一半”转化为代数式，a的一半就是a乘$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}a$；第二步理解“不大于3”的含义，“不大于”表示数值不会超过3，也就是小于或者等于3，对应的不等号为“≤”，将两部分结合得到不等式后匹配选项即可。
【解析】
1. 表示“a的一半”：$a$的一半可写为代数式$\frac{1}{2}a$；
2. 转化不等关系：“不大于3”的含义是小于或等于3，用符号表示为$≤ 3$；
3. 组合得到不等式：$\frac{1}{2}a ≤ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列不等式；不等号的含义
【点评】
本题是基础题型，核心考查对不等关系常见表述的理解，解题的关键是准确掌握“不大于”“不小于”“至多”“至少”这类关键词对应的不等符号。
【难度系数】
0.9
3. 已知$a ＜ b$，则下列不等式成立的是（
A.$a + m ＞ b + m$
B.$ac ＜ bc$
C.$-2a ＞ -2b$
D.$\dfrac{a}{c} ＞ \dfrac{b}{c}$
C
）A.$a + m ＞ b + m$
B.$ac ＜ bc$
C.$-2a ＞ -2b$
D.$\dfrac{a}{c} ＞ \dfrac{b}{c}$
答案
3.C
解析
【分析】
这道题考查不等式基本性质的应用，解题思路是结合已知条件$a＜b$，逐个分析每个选项是否符合不等式的基本性质，重点注意不等式两边乘或除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）的正负性，以及是否为0，避免不等号方向判断错误或者忽略0的特殊情况。
【解析】
我们根据不等式的基本性质逐一判断选项：
1. 选项A：不等式两边同时加上同一个数（或整式），不等号方向不变。已知$a＜b$，两边同时加$m$，可得$a+m＜b+m$，因此A不成立。
2. 选项B：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变；乘0时两边相等。这里$c$的正负和是否为0不确定，所以$ac＜bc$不一定成立，因此B错误。
3. 选项C：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变。$a＜b$两边同时乘$-2$，可得$-2a＞-2b$，因此C成立。
4. 选项D：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变，且除数不能为0。这里$c$的正负和是否为0不确定，所以$\dfrac{a}{c}＞\dfrac{b}{c}$不一定成立，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式的基本性质 2. 不等式变形判断
【点评】
本题属于不等式性质应用的基础题型，核心是熟练掌握不等式的三条基本性质，解题时要特别注意：当不等式两边乘（或除以）含字母的参数时，需要先明确参数的正负性以及是否为0，避免直接判断不等号方向导致错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查不等式基本性质的应用，解题思路是结合已知条件$a＜b$，逐个分析每个选项是否符合不等式的基本性质，重点注意不等式两边乘或除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）的正负性，以及是否为0，避免不等号方向判断错误或者忽略0的特殊情况。
【解析】
我们根据不等式的基本性质逐一判断选项：
1. 选项A：不等式两边同时加上同一个数（或整式），不等号方向不变。已知$a＜b$，两边同时加$m$，可得$a+m＜b+m$，因此A不成立。
2. 选项B：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变；乘0时两边相等。这里$c$的正负和是否为0不确定，所以$ac＜bc$不一定成立，因此B错误。
3. 选项C：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变。$a＜b$两边同时乘$-2$，可得$-2a＞-2b$，因此C成立。
4. 选项D：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变，且除数不能为0。这里$c$的正负和是否为0不确定，所以$\dfrac{a}{c}＞\dfrac{b}{c}$不一定成立，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式的基本性质 2. 不等式变形判断
【点评】
本题属于不等式性质应用的基础题型，核心是熟练掌握不等式的三条基本性质，解题时要特别注意：当不等式两边乘（或除以）含字母的参数时，需要先明确参数的正负性以及是否为0，避免直接判断不等号方向导致错误。
【难度系数】
0.8
4. 如果不等式 $ ax + 6 ＜ 0 $ 的解集在数轴上表示
，那么关于a的取值说法正确的是 (
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＜ 0 $
C.$ a = 3 $
D.$ a = -3 $
，那么关于a的取值说法正确的是 (D
)A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＜ 0 $
C.$ a = 3 $
D.$ a = -3 $
答案
4.D
解析
【分析】
解题首先要从数轴上读出不等式的解集，再解含参数a的一元一次不等式，结合解集的对应关系求出a的值。第一步：观察数轴，空心圆圈在2处，折线向右，可得不等式的解集是x＞2；第二步：解不等式ax+6＜0，移项后系数化为1时，注意到不等号方向发生了改变，说明a是负数，进而得到系数化1后的解集形式；第三步：将得到的解集和x＞2对应，列等式即可求出a的取值。
【解析】
1. 首先从数轴读取解集：数轴上2的位置为空心圆圈，方向向右，因此不等式$ax+6＜0$的解集为$\boldsymbol{x＞2}$。
2. 解不等式$ax+6＜0$：
移项得：$ax ＜ -6$，
已知最终解集为$x＞2$，不等号方向改变，根据不等式的性质，说明未知数的系数$a＜0$，
系数化为1得：$x ＞ \frac{-6}{a}$。
3. 结合解集对应关系列等式：
因为解集为$x＞2$，所以$\frac{-6}{a}=2$，
解方程得：$2a=-6$，即$a=-3$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集、解一元一次不等式、不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式与数轴结合的基础题，解题核心是准确读取数轴表示的解集，同时注意解不等式时系数化为1的不等号方向变化规律，掌握这两点就能快速求解参数。
【难度系数】
0.7
解题首先要从数轴上读出不等式的解集，再解含参数a的一元一次不等式，结合解集的对应关系求出a的值。第一步：观察数轴，空心圆圈在2处，折线向右，可得不等式的解集是x＞2；第二步：解不等式ax+6＜0，移项后系数化为1时，注意到不等号方向发生了改变，说明a是负数，进而得到系数化1后的解集形式；第三步：将得到的解集和x＞2对应，列等式即可求出a的取值。
【解析】
1. 首先从数轴读取解集：数轴上2的位置为空心圆圈，方向向右，因此不等式$ax+6＜0$的解集为$\boldsymbol{x＞2}$。
2. 解不等式$ax+6＜0$：
移项得：$ax ＜ -6$，
已知最终解集为$x＞2$，不等号方向改变，根据不等式的性质，说明未知数的系数$a＜0$，
系数化为1得：$x ＞ \frac{-6}{a}$。
3. 结合解集对应关系列等式：
因为解集为$x＞2$，所以$\frac{-6}{a}=2$，
解方程得：$2a=-6$，即$a=-3$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴表示不等式解集、解一元一次不等式、不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式与数轴结合的基础题，解题核心是准确读取数轴表示的解集，同时注意解不等式时系数化为1的不等号方向变化规律，掌握这两点就能快速求解参数。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于x的不等式$(m - 1)x^{|m|} ≥ 0$是一元一次不等式，则m的值是（
A.1
B.$\pm 1$
C.$-1$
D.不能确定
C
）A.1
B.$\pm 1$
C.$-1$
D.不能确定
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次不等式的两个核心要求：一是不等式中只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0。我们可以根据这两个要求分别列出关于m的限制条件，求解后取公共部分就能得到m的正确取值。
【解析】
解：
∵ 不等式$(m - 1)x^{|m|} ≥ 0$是一元一次不等式
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，可得$m=-1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的定义；绝对值的运算
【点评】
本题核心考查一元一次不等式的概念，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，从而错选B，解题时需紧扣定义的全部要求，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元一次不等式的两个核心要求：一是不等式中只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0。我们可以根据这两个要求分别列出关于m的限制条件，求解后取公共部分就能得到m的正确取值。
【解析】
解：
∵ 不等式$(m - 1)x^{|m|} ≥ 0$是一元一次不等式
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，可得$m=-1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的定义；绝对值的运算
【点评】
本题核心考查一元一次不等式的概念，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，从而错选B，解题时需紧扣定义的全部要求，不要漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
6. 比较大小：已知$m＞n$，则$-2m+1$
＜
$-2n+1.$答案
6.＜
解析
【分析】
要比较$-2m+1$和$-2n+1$的大小，可结合已知条件$m＞n$，利用不等式的基本性质对$m＞n$逐步变形，得到和待比较式子相同的形式即可判断大小。首先观察待比较的两个式子，是在$m、n$的基础上先乘$-2$，再加$1$，所以我们分两步对不等式$m＞n$变形：第一步两边同时乘$-2$，注意乘负数时不等号方向要改变；第二步两边同时加$1$，加同一个数不等号方向不变，就能得到结果。
【解析】
解：已知$m＞n$，
根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，
将不等式两边同时乘$-2$，可得：$-2m ＜ -2n$，
再根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加同一个数，不等号的方向不变，
将上述不等式两边同时加1，可得：$-2m + 1 ＜ -2n + 1$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
要比较$-2m+1$和$-2n+1$的大小，可结合已知条件$m＞n$，利用不等式的基本性质对$m＞n$逐步变形，得到和待比较式子相同的形式即可判断大小。首先观察待比较的两个式子，是在$m、n$的基础上先乘$-2$，再加$1$，所以我们分两步对不等式$m＞n$变形：第一步两边同时乘$-2$，注意乘负数时不等号方向要改变；第二步两边同时加$1$，加同一个数不等号方向不变，就能得到结果。
【解析】
解：已知$m＞n$，
根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，
将不等式两边同时乘$-2$，可得：$-2m ＜ -2n$，
再根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加同一个数，不等号的方向不变，
将上述不等式两边同时加1，可得：$-2m + 1 ＜ -2n + 1$。
【答案】
＜
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
7. 糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得质量增加20%.现有糯米x kg，做成年糕后质量超过50 kg，则可列出不等式为
$(1 + 20\% )x ＞ 50$
.答案
7.$(1 + 20\% )x ＞ 50$
解析
【分析】
解题时首先要明确两个关键信息：一是年糕质量的计算方式，二是不等关系的对应符号。已知糯米质量为x kg，做成年糕质量增加20%，说明年糕质量是糯米原质量的(1+20%)倍；再抓关键词“超过”，“超过”对应数学中的大于号“＞”，将年糕质量和50kg用不等号连接即可得到不等式。
【解析】
1. 计算年糕的质量：糯米质量为x kg，质量增加20%后，年糕的质量为$(1+20\%)x$ kg；
2. 提取不等关系：题目中“做成年糕后质量超过50 kg”，即年糕质量＞50 kg；
3. 代入列不等式：将年糕质量代入不等关系，可得$(1+20\%)x ＞ 50$。
【答案】
$(1 + 20\% )x ＞ 50$
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 增长率实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的列写，解题核心是准确理解“增加20%”“超过”这类生活表述对应的数学含义，正确梳理数量关系和不等关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个关键信息：一是年糕质量的计算方式，二是不等关系的对应符号。已知糯米质量为x kg，做成年糕质量增加20%，说明年糕质量是糯米原质量的(1+20%)倍；再抓关键词“超过”，“超过”对应数学中的大于号“＞”，将年糕质量和50kg用不等号连接即可得到不等式。
【解析】
1. 计算年糕的质量：糯米质量为x kg，质量增加20%后，年糕的质量为$(1+20\%)x$ kg；
2. 提取不等关系：题目中“做成年糕后质量超过50 kg”，即年糕质量＞50 kg；
3. 代入列不等式：将年糕质量代入不等关系，可得$(1+20\%)x ＞ 50$。
【答案】
$(1 + 20\% )x ＞ 50$
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 增长率实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的列写，解题核心是准确理解“增加20%”“超过”这类生活表述对应的数学含义，正确梳理数量关系和不等关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 设$a ＞ b$，用不等号填空，并写出理由:
(1) $-5a$
(2) $a + \dfrac{3}{8}$
(3) $9a$
(4) $-a$
(1) $-5a$
＜
$-5b$(不等式的性质 3
);(2) $a + \dfrac{3}{8}$
＞
$b + \dfrac{3}{8}$(不等式的性质 1
);(3) $9a$
＞
$9b$(不等式的性质 2
);(4) $-a$
＜
$-b$(不等式的性质 3
).答案
8.(1)＜ 3 (2)＞ 1 (3)＞ 2 (4)＜ 3
解析
【分析】
解题时首先回忆不等式的三条基本性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。然后结合已知条件$a＞b$，观察每个小题中不等式两边的变形方式，对应匹配不等式性质，判断不等号方向是否变化即可求解。
【解析】
(1) 已知$a ＞ b$，两边同时乘负数$-5$，根据不等式的性质3，不等号方向改变，因此$-5a ＜ -5b$，填＜，对应性质3；
(2) 已知$a ＞ b$，两边同时加$\dfrac{3}{8}$，根据不等式的性质1，不等号方向不变，因此$a + \dfrac{3}{8} ＞ b + \dfrac{3}{8}$，填＞，对应性质1；
(3) 已知$a ＞ b$，两边同时乘正数$9$，根据不等式的性质2，不等号方向不变，因此$9a ＞ 9b$，填＞，对应性质2；
(4) 已知$a ＞ b$，两边同时乘负数$-1$，根据不等式的性质3，不等号方向改变，因此$-a ＜ -b$，填＜，对应性质3。
【答案】
(1)＜ 3 (2)＞ 1 (3)＞ 2 (4)＜ 3
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础应用类题目，核心是准确判断不等式两边的运算类型，尤其要注意乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握不等式的三条性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆不等式的三条基本性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。然后结合已知条件$a＞b$，观察每个小题中不等式两边的变形方式，对应匹配不等式性质，判断不等号方向是否变化即可求解。
【解析】
(1) 已知$a ＞ b$，两边同时乘负数$-5$，根据不等式的性质3，不等号方向改变，因此$-5a ＜ -5b$，填＜，对应性质3；
(2) 已知$a ＞ b$，两边同时加$\dfrac{3}{8}$，根据不等式的性质1，不等号方向不变，因此$a + \dfrac{3}{8} ＞ b + \dfrac{3}{8}$，填＞，对应性质1；
(3) 已知$a ＞ b$，两边同时乘正数$9$，根据不等式的性质2，不等号方向不变，因此$9a ＞ 9b$，填＞，对应性质2；
(4) 已知$a ＞ b$，两边同时乘负数$-1$，根据不等式的性质3，不等号方向改变，因此$-a ＜ -b$，填＜，对应性质3。
【答案】
(1)＜ 3 (2)＞ 1 (3)＞ 2 (4)＜ 3
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础应用类题目，核心是准确判断不等式两边的运算类型，尤其要注意乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握不等式的三条性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
