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1.如图,若直线$y=mx+n$过点$A,B$,则关于$x$的方程$mx+n=0$的解是()
A.$x=3$
B.$x=0$
C.$x=-4$
D.$x=-1$
A.$x=3$
B.$x=0$
C.$x=-4$
D.$x=-1$
答案
C
解析
我们知道，一元一次方程$mx+n=0$的解，就是一次函数$y=mx+n$的函数值为0时对应的自变量$x$的值，也就是直线$y=mx+n$与$x$轴交点的横坐标。从图中可以看出直线$y=mx+n$与$x$轴的交点$B$的坐标为$(-4,0)$，即当$y=0$时，$x=-4$，因此方程$mx+n=0$的解是$x=-4$。
2.如图,函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$B(3,0)$,与函数$y=2x$的图象相交于点A,则关于$x$的方程$kx+b=2x$的解为()
A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$
A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$
答案
B
解析
点A在函数y=2x的图象上，由图可知点A的纵坐标为2，将y=2代入y=2x，得2=2x，解得x=1，即点A的坐标为(1,2)。两个一次函数图象交点的横坐标就是对应方程kx+b=2x的解，因此方程kx+b=2x的解为x=1。
3. 如图,在平面直角坐标系中,若直线$y=mx+n$与$y=px+q$相交于点$A$,则关于$x$的方程$mx+n=px+q$的解是()
A.$x=-2$
B.$x=-4$
C.$x=2$
D.$x=4$
A.$x=-2$
B.$x=-4$
C.$x=2$
D.$x=4$
答案
B
解析
根据一次函数与一元一次方程的对应关系，两个直线y=mx+n与y=px+q的交点的横坐标，就是方程mx+n=px+q的解。由图可得两直线交点A的横坐标为-4，因此该方程的解是x=-4。
4. 一次函数$y=ax+b$的图象与$y$轴相交于点$(0,3)$，与$x$轴相交于点$(-5,0)$，则关于$x$的方程$ax+b=0$的解是________.
答案
$x=-5$
解析
根据一次函数与一元一次方程的对应关系可知，关于$x$的方程$ax+b=0$的解，就是一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值，也就是该一次函数图象与$x$轴交点的横坐标。题目已知一次函数$y=ax+b$的图象与$x$轴相交于点$(-5,0)$，因此方程$ax+b=0$的解为$x=-5$。
5.如图,如果函数$y=ax$和$y=kx+b$的图象相交于点$A(-2,1)$,那么方程$ax=kx+b$的解为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
$x=-2$
解析
两个一次函数图象交点的横坐标，就是两个函数值相等时自变量$x$的取值，也就是方程$ax=kx+b$的解。已知函数$y=ax$和$y=kx+b$的图象相交于点$A(-2,1)$，即当$x=-2$时，$ax=kx+b=1$，因此方程$ax=kx+b$的解为$x=-2$。
6.已知一次函数$y=\frac{1}{2}x+3$，当$y=0$时，$x=$______，这条直线与$x$轴的交点是________，因此，方程$\frac{1}{2}x+3=0$的解是________。
答案
$-6$；$(-6,0)$；$x=-6$
解析
将y=0代入一次函数解析式$y=\frac{1}{2}x+3$，可得方程$\frac{1}{2}x + 3 = 0$，解该一元一次方程：移项得$\frac{1}{2}x = -3$，两边同时乘以2，解得$x=-6$。根据一次函数与x轴交点的特征：交点的纵坐标为0，因此该直线与x轴的交点坐标为$(-6,0)$，结合一次函数与一元一次方程的对应关系，可知方程$\frac{1}{2}x+3=0$的解就是对应函数值为0时的自变量x的取值，即$x=-6$。
7.定义:我们把一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与正比例函数$y=-x$的图象的交点称为一次函数$y=kx+b(k≠0)$图象的“亮点”.例如,求一次函数$y=-2x-1$图象的“亮点”时,联立方程,得$\begin{cases} y=-2x-1, \\ y=-x. \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=1. \end{cases}$则一次函数$y=-2x-1$图象的“亮点”为$(-1,1)$.
(1)一次函数$y=2x-3$图象的“亮点”为________;
(2)一次函数$y=mx+n$图象的“亮点”为$(2,n+1)$,求$m,n$的值.
(1)一次函数$y=2x-3$图象的“亮点”为________;
(2)一次函数$y=mx+n$图象的“亮点”为$(2,n+1)$,求$m,n$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{(1,-1)}$；(2) $\boldsymbol{m=\frac{1}{2},n=-3}$
解析
(1) 根据“亮点”的定义，联立两个函数的方程：
$\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=2x-3$，得$-x=2x-3$，
移项计算得$3x=3$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$y=-x$，得$y=-1$，因此该一次函数图象的“亮点”为$(1,-1)$。
(2) ① 已知“亮点”$(2,n+1)$在正比例函数$y=-x$的图象上，将坐标代入$y=-x$得：
$n+1=-2$，解得$n=-3$。
② 该“亮点”坐标为$(2,-2)$，同时在一次函数$y=mx+n$的图象上，将$x=2$、$y=-2$、$n=-3$代入解析式得：
$2m-3=-2$，解得$m=\frac{1}{2}$。
$\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=2x-3$，得$-x=2x-3$，
移项计算得$3x=3$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$y=-x$，得$y=-1$，因此该一次函数图象的“亮点”为$(1,-1)$。
(2) ① 已知“亮点”$(2,n+1)$在正比例函数$y=-x$的图象上，将坐标代入$y=-x$得：
$n+1=-2$，解得$n=-3$。
② 该“亮点”坐标为$(2,-2)$，同时在一次函数$y=mx+n$的图象上，将$x=2$、$y=-2$、$n=-3$代入解析式得：
$2m-3=-2$，解得$m=\frac{1}{2}$。
