登录
11.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且$CE=AC$，则$∠E=$
$22.5°$
。答案
11.$22.5°$
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形性质入手，正方形的对角线平分一组内角，可先求出∠ACB的度数；再结合CE=AC的条件，可知△ACE是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠E=∠CAE；最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠E的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴∠ACB = 90°÷2 = 45°
∵CE = AC
∴△ACE是等腰三角形，∠E = ∠CAE
又
∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB = ∠E + ∠CAE = 2∠E
∴∠E = ∠ACB ÷ 2 = 45°÷ 2 = 22.5°
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握特殊图形的基本性质，找到角之间的数量关系进行推导计算，是几何章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的正方形性质入手，正方形的对角线平分一组内角，可先求出∠ACB的度数；再结合CE=AC的条件，可知△ACE是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠E=∠CAE；最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠E的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴∠ACB = 90°÷2 = 45°
∵CE = AC
∴△ACE是等腰三角形，∠E = ∠CAE
又
∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB = ∠E + ∠CAE = 2∠E
∴∠E = ∠ACB ÷ 2 = 45°÷ 2 = 22.5°
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握特殊图形的基本性质，找到角之间的数量关系进行推导计算，是几何章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，点 M 在 $□ ABCD$ 的边 AD 上，$BM=CM$，请从以下三个选项：①$∠1=∠2$；②$AM=DM$；③$∠3=∠4$中，选择一个合适的选项作为已知条件，使$□ ABCD$为矩形.
（1）你添加的条件是
（2）添加条件后，请证明$□ ABCD$为矩形.
（1）你添加的条件是
①或②
（填序号）；（2）添加条件后，请证明$□ ABCD$为矩形.
答案
12.(1)①当$∠ 1=∠ 2$时，$□ ABCD$为矩形；②当$AM=DM$时，$□ ABCD$为矩形，故答案为①或②。
(2)证明:选条件①.
方法一:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// DC,AB=DC$，
$\therefore ∠ A+∠ D=180°$.
在$△ ABM$和$△ DCM$中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ BM=CM, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ DCM(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ A=∠ D$,
$\therefore ∠ A=∠ D=90°$,
$\therefore □ ABCD$为矩形.
方法二:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// DC,\therefore ∠ A+∠ D=180°$.
$\because BM=CM,\therefore ∠ 3=∠ 4$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ ABC=∠ DCB$.
$\because ∠ ABC+∠ DCB=180°$,
$\therefore ∠ ABC=90°,\therefore □ ABCD$为矩形.
(2)证明:选条件①.
方法一:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// DC,AB=DC$，
$\therefore ∠ A+∠ D=180°$.
在$△ ABM$和$△ DCM$中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ BM=CM, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ DCM(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ A=∠ D$,
$\therefore ∠ A=∠ D=90°$,
$\therefore □ ABCD$为矩形.
方法二:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// DC,\therefore ∠ A+∠ D=180°$.
$\because BM=CM,\therefore ∠ 3=∠ 4$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ ABC=∠ DCB$.
$\because ∠ ABC+∠ DCB=180°$,
$\therefore ∠ ABC=90°,\therefore □ ABCD$为矩形.
解析
【分析】
要证明平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，只需证明该平行四边形存在一个内角为90°即可。已知平行四边形ABCD有AB=DC、∠A+∠D=180°的性质，且题干给出BM=CM：
1. 若选条件①∠1=∠2：可通过SAS证明△ABM≌△DCM，得到∠A=∠D，结合∠A+∠D=180°即可推出∠A=90°，进而证得矩形；
2. 若选条件②AM=DM：可通过SSS证明△ABM≌△DCM，同理可得∠A=∠D=90°，也能证得矩形；
3. 条件③∠3=∠4：由BM=CM本身可直接推出该结论，无法进一步推出内角为直角，因此不满足要求。
【解析】
（1）可选择的条件为①或②；
（2）以选择条件①为例证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// DC$，$AB=DC$，
∴ $∠A+∠D=180°$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}AB=DC \\∠1=∠2 \\BM=CM\end{cases}$
∴ $△ ABM≌△ DCM(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠A=∠D$，
结合$∠A+∠D=180°$可得$∠A=∠D=90°$，
∴ 有一个内角为直角的平行四边形$ABCD$为矩形。
*若选择条件②证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=DC$，$∠A+∠D=180°$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}AB=DC \\AM=DM \\BM=CM\end{cases}$
∴ $△ ABM≌△ DCM(\mathrm{SSS})$，
∴ $∠A=∠D=90°$，
∴ $□ ABCD$为矩形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{①}$（或$\boldsymbol{②}$）
（2）证明见上述解析过程。
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了平行四边形性质、全等三角形判定和矩形判定三个模块的知识，解题核心是明确矩形的判定要求，通过已知条件推导得到平行四边形的一个内角为直角即可完成证明，解题时可灵活选择全等的证明思路。
【难度系数】
0.7
要证明平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定定理，只需证明该平行四边形存在一个内角为90°即可。已知平行四边形ABCD有AB=DC、∠A+∠D=180°的性质，且题干给出BM=CM：
1. 若选条件①∠1=∠2：可通过SAS证明△ABM≌△DCM，得到∠A=∠D，结合∠A+∠D=180°即可推出∠A=90°，进而证得矩形；
2. 若选条件②AM=DM：可通过SSS证明△ABM≌△DCM，同理可得∠A=∠D=90°，也能证得矩形；
3. 条件③∠3=∠4：由BM=CM本身可直接推出该结论，无法进一步推出内角为直角，因此不满足要求。
【解析】
（1）可选择的条件为①或②；
（2）以选择条件①为例证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// DC$，$AB=DC$，
∴ $∠A+∠D=180°$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}AB=DC \\∠1=∠2 \\BM=CM\end{cases}$
∴ $△ ABM≌△ DCM(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠A=∠D$，
结合$∠A+∠D=180°$可得$∠A=∠D=90°$，
∴ 有一个内角为直角的平行四边形$ABCD$为矩形。
*若选择条件②证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=DC$，$∠A+∠D=180°$。
在$△ ABM$和$△ DCM$中：
$\begin{cases}AB=DC \\AM=DM \\BM=CM\end{cases}$
∴ $△ ABM≌△ DCM(\mathrm{SSS})$，
∴ $∠A=∠D=90°$，
∴ $□ ABCD$为矩形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{①}$（或$\boldsymbol{②}$）
（2）证明见上述解析过程。
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了平行四边形性质、全等三角形判定和矩形判定三个模块的知识，解题核心是明确矩形的判定要求，通过已知条件推导得到平行四边形的一个内角为直角即可完成证明，解题时可灵活选择全等的证明思路。
【难度系数】
0.7
13. 如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且$AD=BC$,$AE=BF$,$CE=DF$.
(1)求证:$AE// BF$;
(2)若$DF=FC$,求证:四边形$DECF$是菱形.
(1)求证:$AE// BF$;
(2)若$DF=FC$,求证:四边形$DECF$是菱形.
答案
13.证明:(1)$\because AD=BC$,
$\therefore AD+CD=BC+CD$,
$\therefore AC=BD$.
$\because AE=BF,CE=DF$,
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ A=∠ B,\therefore AE// BF$.
(2)$\because △ AEC≌△ BFD$,
$\therefore ∠ ECA=∠ FDB,\therefore EC// DF$.
$\because EC=DF,\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形.
$\because DF=FC,\therefore$ 四边形$DECF$是菱形.
$\therefore AD+CD=BC+CD$,
$\therefore AC=BD$.
$\because AE=BF,CE=DF$,
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ A=∠ B,\therefore AE// BF$.
(2)$\because △ AEC≌△ BFD$,
$\therefore ∠ ECA=∠ FDB,\therefore EC// DF$.
$\because EC=DF,\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形.
$\because DF=FC,\therefore$ 四边形$DECF$是菱形.
解析
【分析】
(1)要证明$AE// BF$，可通过证明内错角$∠ A=∠ B$实现：已知$AD=BC$，等式两边加公共线段$CD$可得$AC=BD$，结合给出的$AE=BF$、$CE=DF$，可用SSS判定$△ AEC≌△ BFD$，利用全等三角形对应角相等得到$∠ A=∠ B$，即可推出平行。
(2)要证明四边形$DECF$是菱形，先判定它是平行四边形，再证明一组邻边相等即可：由第一问的全等可得$∠ ECA=∠ FDB$，推出$EC// DF$，结合$EC=DF$，可证四边形$DECF$是平行四边形，再结合已知$DF=FC$，即可证得是菱形。
【解析】
(1)$\because AD=BC$，
$\therefore AD+CD=BC+CD$，即$AC=BD$。
在$△ AEC$和$△ BFD$中：
$\begin{cases} AC=BD \\ AE=BF \\ CE=DF \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AE// BF$。
(2)$\because △ AEC≌△ BFD$，
$\therefore ∠ ECA=∠ FDB$，
$\therefore EC// DF$，
又$\because EC=DF$，
$\therefore$四边形$DECF$是平行四边形，
$\because DF=FC$，
$\therefore$平行四边形$DECF$是菱形。
【答案】
(1)$AE// BF$得证；(2)四边形$DECF$是菱形得证，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行线的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，需要熟练掌握全等三角形、平行线、特殊四边形的相关判定与性质，按照“由已知推可知，由结论索需知”的思路逐步推导即可完成解答。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AE// BF$，可通过证明内错角$∠ A=∠ B$实现：已知$AD=BC$，等式两边加公共线段$CD$可得$AC=BD$，结合给出的$AE=BF$、$CE=DF$，可用SSS判定$△ AEC≌△ BFD$，利用全等三角形对应角相等得到$∠ A=∠ B$，即可推出平行。
(2)要证明四边形$DECF$是菱形，先判定它是平行四边形，再证明一组邻边相等即可：由第一问的全等可得$∠ ECA=∠ FDB$，推出$EC// DF$，结合$EC=DF$，可证四边形$DECF$是平行四边形，再结合已知$DF=FC$，即可证得是菱形。
【解析】
(1)$\because AD=BC$，
$\therefore AD+CD=BC+CD$，即$AC=BD$。
在$△ AEC$和$△ BFD$中：
$\begin{cases} AC=BD \\ AE=BF \\ CE=DF \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AE// BF$。
(2)$\because △ AEC≌△ BFD$，
$\therefore ∠ ECA=∠ FDB$，
$\therefore EC// DF$，
又$\because EC=DF$，
$\therefore$四边形$DECF$是平行四边形，
$\because DF=FC$，
$\therefore$平行四边形$DECF$是菱形。
【答案】
(1)$AE// BF$得证；(2)四边形$DECF$是菱形得证，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行线的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，需要熟练掌握全等三角形、平行线、特殊四边形的相关判定与性质，按照“由已知推可知，由结论索需知”的思路逐步推导即可完成解答。
【难度系数】
0.7
14.如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△BOF≌△DOE;
(2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.
(1)求证:△BOF≌△DOE;
(2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.
答案
14.证明:(1)$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EDO=∠ FBO$.
$\because O$是$BD$的中点,$\therefore DO=BO$.
又$\because ∠ EOD=∠ FOB$,
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$.
(2)由(1)已证$△ BOF≌△ DOE$,
$\therefore BF=DE$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$,即$DE// BF$,
$\therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形$EBFD$是菱形.
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EDO=∠ FBO$.
$\because O$是$BD$的中点,$\therefore DO=BO$.
又$\because ∠ EOD=∠ FOB$,
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$.
(2)由(1)已证$△ BOF≌△ DOE$,
$\therefore BF=DE$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$,即$DE// BF$,
$\therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形$EBFD$是菱形.
解析
【分析】
（1）要证明△BOF≌△DOE，可先寻找两个三角形对应的相等角和相等边：首先根据矩形的性质，AD与BC平行，可得一组内错角∠EDO=∠FBO；再由O是BD中点，可得DO=BO；另外还有一组对顶角∠EOD=∠FOB，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
（2）要证明四边形EBFD是菱形，结合已知EF⊥BD，可先证明该四边形是平行四边形，再利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成判定：由（1）的全等结论可得BF=DE，结合矩形AD//BC的性质，可知DE与BF平行且相等，即可判定四边形EBFD是平行四边形，结合EF⊥BD的条件即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ EDO=∠ FBO$。
∵ $O$是$BD$的中点，
∴ $DO=BO$。
又
∵ $∠ EOD=∠ FOB$，
∴ $△ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$。
(2) 证明：
由(1)已证$△ BOF≌△ DOE$，
∴ $BF=DE$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，即$DE// BF$，
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形。
∵ $EF⊥ BD$，
∴ 四边形$EBFD$是菱形。
【答案】
(1) $△ BOF≌△ DOE$，证明见解析；
(2) 四边形$EBFD$是菱形，证明见解析。
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，将矩形、全等三角形、菱形的相关知识结合考查，解题时需结合已知条件，对应相关性质和判定定理逐步推导即可，有助于巩固几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△BOF≌△DOE，可先寻找两个三角形对应的相等角和相等边：首先根据矩形的性质，AD与BC平行，可得一组内错角∠EDO=∠FBO；再由O是BD中点，可得DO=BO；另外还有一组对顶角∠EOD=∠FOB，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
（2）要证明四边形EBFD是菱形，结合已知EF⊥BD，可先证明该四边形是平行四边形，再利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”完成判定：由（1）的全等结论可得BF=DE，结合矩形AD//BC的性质，可知DE与BF平行且相等，即可判定四边形EBFD是平行四边形，结合EF⊥BD的条件即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ EDO=∠ FBO$。
∵ $O$是$BD$的中点，
∴ $DO=BO$。
又
∵ $∠ EOD=∠ FOB$，
∴ $△ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA})$。
(2) 证明：
由(1)已证$△ BOF≌△ DOE$，
∴ $BF=DE$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，即$DE// BF$，
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形。
∵ $EF⊥ BD$，
∴ 四边形$EBFD$是菱形。
【答案】
(1) $△ BOF≌△ DOE$，证明见解析；
(2) 四边形$EBFD$是菱形，证明见解析。
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，将矩形、全等三角形、菱形的相关知识结合考查，解题时需结合已知条件，对应相关性质和判定定理逐步推导即可，有助于巩固几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
15.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且$AE=BF=CM=DN$.
(1)求证：四边形EFMN是正方形；
(2)若$AB=7$，$AE=3$，求四边形EFMN的周长.
(1)求证：四边形EFMN是正方形；
(2)若$AB=7$，$AE=3$，求四边形EFMN的周长.
答案
15.(1)证明:$\because AE=BF=CM=DN$,
$\therefore BE=CF=DM=AN$.
$\because ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$,
$\therefore △ ANE≌△ DMN≌△ CFM≌△ BEF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore EN=NM=MF=EF,∠ ENA=∠ DMN$,
$\therefore$ 四边形$EFMN$是菱形.
$\because ∠ ENA=∠ DMN,∠ DMN+∠ DNM=90°$,
$\therefore ∠ ENA+∠ DNM=90°,\therefore ∠ ENM=90°$,
$\therefore$ 四边形$EFMN$是正方形.
(2)解:$\because AB=7,AE=3$,
$\therefore AN=BE=AB-AE=4$,
$\therefore EN=\sqrt{AE^2+AN^2}=5$,
$\therefore$ 正方形$EFMN$的周长$=4×5=20$.
$\therefore BE=CF=DM=AN$.
$\because ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$,
$\therefore △ ANE≌△ DMN≌△ CFM≌△ BEF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore EN=NM=MF=EF,∠ ENA=∠ DMN$,
$\therefore$ 四边形$EFMN$是菱形.
$\because ∠ ENA=∠ DMN,∠ DMN+∠ DNM=90°$,
$\therefore ∠ ENA+∠ DNM=90°,\therefore ∠ ENM=90°$,
$\therefore$ 四边形$EFMN$是正方形.
(2)解:$\because AB=7,AE=3$,
$\therefore AN=BE=AB-AE=4$,
$\therefore EN=\sqrt{AE^2+AN^2}=5$,
$\therefore$ 正方形$EFMN$的周长$=4×5=20$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形EFMN是正方形，可按“先证菱形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用正方形ABCD的性质，结合已知AE=BF=CM=DN，可得BE=CF=DM=AN，且四个内角都是直角，可证四个小直角三角形全等，得到四边形EFMN四条边相等，先确定它是菱形；再通过全等三角形的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，推导菱形的一个内角为90°，即可证得是正方形。
(2)要求四边形EFMN的周长，已知它是正方形，只需求出边长即可：先根据AB和AE的长度求出AN的长，再在Rt△AEN中用勾股定理求出边长EN，最后乘4得到周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
∵$AE=BF=CM=DN$，
∴$AB-AE=BC-BF=CD-CM=DA-DN$，即$BE=CF=DM=AN$，
在$△ ANE$、$△ BEF$、$△ CFM$、$△ DMN$中：
$\begin{cases} AN=BE=CF=DM \\ ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D \\ AE=BF=CM=DN \end{cases}$
∴$△ ANE≌△ BEF≌△ CFM≌△ DMN(\mathrm{SAS})$，
∴$EN=EF=FM=MN$，$∠ ENA=∠ DMN$，
∴四边形EFMN是菱形，
∵在$\mathrm{Rt}△ DMN$中，$∠ DMN+∠ DNM=90°$，
∴$∠ ENA+∠ DNM=90°$，
∴$∠ ENM=180°-(∠ ENA+∠ DNM)=90°$，
∴菱形EFMN是正方形。
(2)解：
∵$AB=7$，$AE=3$，
∴$AN=BE=AB-AE=7-3=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AEN$中，由勾股定理得：
$EN=\sqrt{AE^2+AN^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵四边形EFMN是正方形，
∴它的周长为$4× EN=4×5=20$。
【答案】
(1)证明成立，四边形EFMN是正方形；(2)20
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了特殊四边形、全等三角形、勾股定理的相关知识，解题的关键是灵活运用正方形的性质推导三角形全等，再结合特殊四边形的判定定理完成证明，计算周长时直接利用勾股定理求边长即可，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形EFMN是正方形，可按“先证菱形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用正方形ABCD的性质，结合已知AE=BF=CM=DN，可得BE=CF=DM=AN，且四个内角都是直角，可证四个小直角三角形全等，得到四边形EFMN四条边相等，先确定它是菱形；再通过全等三角形的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，推导菱形的一个内角为90°，即可证得是正方形。
(2)要求四边形EFMN的周长，已知它是正方形，只需求出边长即可：先根据AB和AE的长度求出AN的长，再在Rt△AEN中用勾股定理求出边长EN，最后乘4得到周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
∵$AE=BF=CM=DN$，
∴$AB-AE=BC-BF=CD-CM=DA-DN$，即$BE=CF=DM=AN$，
在$△ ANE$、$△ BEF$、$△ CFM$、$△ DMN$中：
$\begin{cases} AN=BE=CF=DM \\ ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D \\ AE=BF=CM=DN \end{cases}$
∴$△ ANE≌△ BEF≌△ CFM≌△ DMN(\mathrm{SAS})$，
∴$EN=EF=FM=MN$，$∠ ENA=∠ DMN$，
∴四边形EFMN是菱形，
∵在$\mathrm{Rt}△ DMN$中，$∠ DMN+∠ DNM=90°$，
∴$∠ ENA+∠ DNM=90°$，
∴$∠ ENM=180°-(∠ ENA+∠ DNM)=90°$，
∴菱形EFMN是正方形。
(2)解：
∵$AB=7$，$AE=3$，
∴$AN=BE=AB-AE=7-3=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AEN$中，由勾股定理得：
$EN=\sqrt{AE^2+AN^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵四边形EFMN是正方形，
∴它的周长为$4× EN=4×5=20$。
【答案】
(1)证明成立，四边形EFMN是正方形；(2)20
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了特殊四边形、全等三角形、勾股定理的相关知识，解题的关键是灵活运用正方形的性质推导三角形全等，再结合特殊四边形的判定定理完成证明，计算周长时直接利用勾股定理求边长即可，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
