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1. 下列式子中,不是二次根式的是()
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{16}$
C.$\sqrt{a+2}$
D.$\frac{1}{x}$
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{16}$
C.$\sqrt{a+2}$
D.$\frac{1}{x}$
答案
D
解析
【分析】
解题前先明确二次根式的判定标准：一是必须含有二次根号“√”，二是被开方数必须是非负数，满足这两个条件的式子就是二次根式。我们只需逐一核对四个选项是否符合这两个标准，就能找出不是二次根式的选项。
【解析】
首先回忆二次根式的定义：一般地，形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个特征：①含有二次根号；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{4}$含有二次根号，且被开方数$4＞0$，是二次根式，不符合题意；
选项B：$\sqrt{16}$含有二次根号，且被开方数$16＞0$，是二次根式，不符合题意；
选项C：$\sqrt{a+2}$含有二次根号，当$a+2≥ 0$即$a≥ -2$时该式子有意义，属于二次根式的形式，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{x}$是分式，不含二次根号，显然不属于二次根式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的定义；2. 分式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二次根式判定条件的掌握，牢记二次根式的两个必要特征即可快速解题，注意带字母的被开方数只要在有意义的前提下符合形式就属于二次根式，不要误判C选项。
【难度系数】
0.9
解题前先明确二次根式的判定标准：一是必须含有二次根号“√”，二是被开方数必须是非负数，满足这两个条件的式子就是二次根式。我们只需逐一核对四个选项是否符合这两个标准，就能找出不是二次根式的选项。
【解析】
首先回忆二次根式的定义：一般地，形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个特征：①含有二次根号；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{4}$含有二次根号，且被开方数$4＞0$，是二次根式，不符合题意；
选项B：$\sqrt{16}$含有二次根号，且被开方数$16＞0$，是二次根式，不符合题意；
选项C：$\sqrt{a+2}$含有二次根号，当$a+2≥ 0$即$a≥ -2$时该式子有意义，属于二次根式的形式，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{x}$是分式，不含二次根号，显然不属于二次根式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式的定义；2. 分式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二次根式判定条件的掌握，牢记二次根式的两个必要特征即可快速解题，注意带字母的被开方数只要在有意义的前提下符合形式就属于二次根式，不要误判C选项。
【难度系数】
0.9
2. $\sqrt{15}$，$\sqrt{3a}$，$\sqrt{b^2 - 1}$，$\sqrt{a^2 + b^2}$，$\sqrt{m^2 + 20}$，$\sqrt{-144}$几个式子中，二次根式的个数是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
要判断式子是不是二次根式，首先明确二次根式的判定条件：①含有二次根号“√”；②被开方数必须是非负数（即被开方数≥0）。解题时我们逐个核对每个式子是否满足这两个条件即可，注意带字母的式子要判断被开方数是否恒为非负数。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\sqrt{15}$：被开方数15＞0，满足二次根式的条件，是二次根式；
2. $\sqrt{3a}$：题目没有给出a的取值范围，当a＜0时，3a＜0，被开方数为负数，式子无意义，因此不是二次根式；
3. $\sqrt{b^2 - 1}$：当$b^2＜1$时，$b^2-1＜0$，被开方数为负数，式子无意义，因此不是二次根式；
4. $\sqrt{a^2 + b^2}$：根据平方的非负性，$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$恒成立，满足条件，是二次根式；
5. $\sqrt{m^2 + 20}$：$m^2≥0$，因此$m^2+20≥20＞0$恒成立，满足条件，是二次根式；
6. $\sqrt{-144}$：被开方数是-144＜0，式子无意义，不是二次根式。
综上，二次根式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义、平方的非负性
【点评】
本题核心考查二次根式的判定标准，易错点是容易忽略带字母的被开方数是否恒为非负，误将$\sqrt{3a}$、$\sqrt{b^2 - 1}$判定为二次根式，解题时要紧扣定义，注意取值的任意性。
【难度系数】
0.7
要判断式子是不是二次根式，首先明确二次根式的判定条件：①含有二次根号“√”；②被开方数必须是非负数（即被开方数≥0）。解题时我们逐个核对每个式子是否满足这两个条件即可，注意带字母的式子要判断被开方数是否恒为非负数。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\sqrt{15}$：被开方数15＞0，满足二次根式的条件，是二次根式；
2. $\sqrt{3a}$：题目没有给出a的取值范围，当a＜0时，3a＜0，被开方数为负数，式子无意义，因此不是二次根式；
3. $\sqrt{b^2 - 1}$：当$b^2＜1$时，$b^2-1＜0$，被开方数为负数，式子无意义，因此不是二次根式；
4. $\sqrt{a^2 + b^2}$：根据平方的非负性，$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$恒成立，满足条件，是二次根式；
5. $\sqrt{m^2 + 20}$：$m^2≥0$，因此$m^2+20≥20＞0$恒成立，满足条件，是二次根式；
6. $\sqrt{-144}$：被开方数是-144＜0，式子无意义，不是二次根式。
综上，二次根式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义、平方的非负性
【点评】
本题核心考查二次根式的判定标准，易错点是容易忽略带字母的被开方数是否恒为非负，误将$\sqrt{3a}$、$\sqrt{b^2 - 1}$判定为二次根式，解题时要紧扣定义，注意取值的任意性。
【难度系数】
0.7
3. 数$a$没有算术平方根,则$a$的取值范围是()
A.$a＞0$
B.$a≥0$
C.$a＜0$
D.$a=0$
A.$a＞0$
B.$a≥0$
C.$a＜0$
D.$a=0$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆算术平方根的相关性质：我们规定只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。解题时先明确有算术平方根的数的取值范围，再反向推导没有算术平方根的数的范围即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，由此可知只有大于等于0的数（非负数）才有算术平方根，负数不存在算术平方根。
已知数$a$没有算术平方根，说明$a$是负数，即$a＜0$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；被开方数的非负性
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根定义的理解，只要牢记只有非负数才有算术平方根这一性质，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要回忆算术平方根的相关性质：我们规定只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。解题时先明确有算术平方根的数的取值范围，再反向推导没有算术平方根的数的范围即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，由此可知只有大于等于0的数（非负数）才有算术平方根，负数不存在算术平方根。
已知数$a$没有算术平方根，说明$a$是负数，即$a＜0$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；被开方数的非负性
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根定义的理解，只要牢记只有非负数才有算术平方根这一性质，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
4. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是()
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{5}$
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需对照这两个条件逐一分析每个选项即可得到答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐个排查选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，化简得$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故A不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{4}$的被开方数4是能开得尽方的数（$4=2^2$），化简得$\sqrt{4}=2$，故B不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4（$8=4×2$），化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，故C不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{5}$的被开方数5是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，故D是最简二次根式。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，逐一验证选项即可快速解题，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需对照这两个条件逐一分析每个选项即可得到答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐个排查选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，化简得$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故A不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{4}$的被开方数4是能开得尽方的数（$4=2^2$），化简得$\sqrt{4}=2$，故B不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4（$8=4×2$），化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，故C不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{5}$的被开方数5是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，故D是最简二次根式。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，逐一验证选项即可快速解题，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
5. 化简$\sqrt{40}$的结果是()
A.10
B.$2\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.20
A.10
B.$2\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.20
答案
B
解析
【分析】
要化简二次根式，核心思路是把被开方数分解为一个最大的完全平方因数和另一个非负整数的乘积，再利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），把完全平方因数开方到根号外，最终得到最简二次根式，再对应选项判断即可。
【解析】
先分解被开方数40，可得$40 = 4 × 10$，其中4是完全平方数，满足$4=2^2$。
根据二次根式的运算性质计算：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
对比选项可知结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式的基础计算题，考查二次根式化简的基本方法，解题关键是找到被开方数中能开得尽方的因数，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要化简二次根式，核心思路是把被开方数分解为一个最大的完全平方因数和另一个非负整数的乘积，再利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），把完全平方因数开方到根号外，最终得到最简二次根式，再对应选项判断即可。
【解析】
先分解被开方数40，可得$40 = 4 × 10$，其中4是完全平方数，满足$4=2^2$。
根据二次根式的运算性质计算：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
对比选项可知结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式的基础计算题，考查二次根式化简的基本方法，解题关键是找到被开方数中能开得尽方的因数，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
