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6. $\sqrt{8} - \sqrt{2}$的结果是()
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式（被开方数相同），如果是同类二次根式，类比合并同类项的方法，将系数相减、被开方数不变即可得到结果。
【解析】
首先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
将化简结果代入原式计算：
$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$
因此结果为$\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，易错点是部分同学会直接对根号内的数字做减法误选A，只要牢记二次根式加减运算前要先化为最简二次根式，再合并同类二次根式的规则，就能准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的减法运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式（被开方数相同），如果是同类二次根式，类比合并同类项的方法，将系数相减、被开方数不变即可得到结果。
【解析】
首先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
将化简结果代入原式计算：
$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$
因此结果为$\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，易错点是部分同学会直接对根号内的数字做减法误选A，只要牢记二次根式加减运算前要先化为最简二次根式，再合并同类二次根式的规则，就能准确解题。
【难度系数】
0.8
7. 计算$\sqrt{27} - \frac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{12}$，结果正确的是()
A.1
B.-1
C.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$
D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$
A.1
B.-1
C.$\sqrt{3} - \sqrt{2}$
D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分两步：第一步先将算式中的每个二次根式化为最简二次根式，也就是把被开方数中能开得尽方的因数全部开出来；第二步再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），非同类的二次根式直接保留，最终整理结果和选项对比即可。
【解析】
先分别化简每个二次根式：
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
2. 化简$\frac{1}{3}\sqrt{18}$：$\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}×\sqrt{9×2}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
3. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
将化简后的结果代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{27} - \frac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{12}&=3\sqrt{3} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}\\&=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}) - \sqrt{2}\\&=\sqrt{3} - \sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是掌握最简二次根式的化简方法，以及同类二次根式的合并规则，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分两步：第一步先将算式中的每个二次根式化为最简二次根式，也就是把被开方数中能开得尽方的因数全部开出来；第二步再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），非同类的二次根式直接保留，最终整理结果和选项对比即可。
【解析】
先分别化简每个二次根式：
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
2. 化简$\frac{1}{3}\sqrt{18}$：$\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}×\sqrt{9×2}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
3. 化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
将化简后的结果代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{27} - \frac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{12}&=3\sqrt{3} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}\\&=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}) - \sqrt{2}\\&=\sqrt{3} - \sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是掌握最简二次根式的化简方法，以及同类二次根式的合并规则，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
8. 下列根式,不能与$\sqrt{48}$合并的是()
A.$\sqrt{0.12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{1\frac{1}{3}}$
D.$-\sqrt{775}$
A.$\sqrt{0.12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{1\frac{1}{3}}$
D.$-\sqrt{775}$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个根式不能与$\sqrt{48}$合并，首先要明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题步骤如下：第一步先把$\sqrt{48}$和所有选项的根式都化为最简二次根式；第二步对比化简后的被开方数，被开方数和$\sqrt{48}$化简后不同的，就是不能合并的选项。
【解析】
首先化简$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，化简后被开方数为3。
接下来逐个化简各选项：
A. $\sqrt{0.12}=\sqrt{\frac{12}{100}}=\frac{\sqrt{4×3}}{10}=\frac{2\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与3不同，不是同类二次根式，不能合并；
C. $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
D. 推测题目输入笔误，应为$-\sqrt{75}$，化简得$-\sqrt{25×3}=-5\sqrt{3}$，被开方数为3，是同类二次根式，可以合并。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式化简
2. 同类二次根式定义
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心是掌握同类二次根式的判断方法，解题关键是准确将所有根式化为最简二次根式后再比较被开方数，化简时要注意被开方数不含分母、不含能开尽方的因数。
【难度系数】
0.8
要判断哪个根式不能与$\sqrt{48}$合并，首先要明确：只有同类二次根式才能合并，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。解题步骤如下：第一步先把$\sqrt{48}$和所有选项的根式都化为最简二次根式；第二步对比化简后的被开方数，被开方数和$\sqrt{48}$化简后不同的，就是不能合并的选项。
【解析】
首先化简$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，化简后被开方数为3。
接下来逐个化简各选项：
A. $\sqrt{0.12}=\sqrt{\frac{12}{100}}=\frac{\sqrt{4×3}}{10}=\frac{2\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与3不同，不是同类二次根式，不能合并；
C. $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，是同类二次根式，可以合并；
D. 推测题目输入笔误，应为$-\sqrt{75}$，化简得$-\sqrt{25×3}=-5\sqrt{3}$，被开方数为3，是同类二次根式，可以合并。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式化简
2. 同类二次根式定义
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心是掌握同类二次根式的判断方法，解题关键是准确将所有根式化为最简二次根式后再比较被开方数，化简时要注意被开方数不含分母、不含能开尽方的因数。
【难度系数】
0.8
9. $(-\sqrt{3})^{2} =$ , $-\sqrt{0.0004} =$ .
答案
解：
$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$
$-\sqrt{0.0004}=-\sqrt{0.02^2}=-0.02$
答案依次为$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-0.02}$。
$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$
$-\sqrt{0.0004}=-\sqrt{0.02^2}=-0.02$
答案依次为$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-0.02}$。
解析
【分析】
解题时按两个式子分步思考计算：
1. 计算$(-\sqrt{3})^{2}$：这是乘方运算，可将底数拆为$-1$和$\sqrt{3}$的乘积，根据积的乘方法则把两个因式分别平方后相乘，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$就能算出结果。
2. 计算$-\sqrt{0.0004}$：该式代表0.0004的算术平方根的相反数，先根据算术平方根的定义找到平方等于0.0004的非负数，再添加负号即可得到结果。
【解析】
1. 计算$(-\sqrt{3})^{2}$：
根据积的乘方运算法则展开得：
$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^2×(\sqrt{3})^2$
其中$(-1)^2=1$，由二次根式的性质可得$(\sqrt{3})^2=3$，因此：
$(-\sqrt{3})^{2}=1×3=3$
2. 计算$-\sqrt{0.0004}$：
因为$0.02^2=0.0004$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{0.0004}=\sqrt{0.02^2}=0.02$，因此：
$-\sqrt{0.0004}=-0.02$
【答案】
$3$；$-0.02$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，重点考查对二次根式性质和算术平方根概念的掌握，运算时注意区分符号的位置，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.9
解题时按两个式子分步思考计算：
1. 计算$(-\sqrt{3})^{2}$：这是乘方运算，可将底数拆为$-1$和$\sqrt{3}$的乘积，根据积的乘方法则把两个因式分别平方后相乘，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$就能算出结果。
2. 计算$-\sqrt{0.0004}$：该式代表0.0004的算术平方根的相反数，先根据算术平方根的定义找到平方等于0.0004的非负数，再添加负号即可得到结果。
【解析】
1. 计算$(-\sqrt{3})^{2}$：
根据积的乘方运算法则展开得：
$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^2×(\sqrt{3})^2$
其中$(-1)^2=1$，由二次根式的性质可得$(\sqrt{3})^2=3$，因此：
$(-\sqrt{3})^{2}=1×3=3$
2. 计算$-\sqrt{0.0004}$：
因为$0.02^2=0.0004$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{0.0004}=\sqrt{0.02^2}=0.02$，因此：
$-\sqrt{0.0004}=-0.02$
【答案】
$3$；$-0.02$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，重点考查对二次根式性质和算术平方根概念的掌握，运算时注意区分符号的位置，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.9
10. 比较大小：$-\sqrt{17}$ $-4$，$2\sqrt{3}$ $\sqrt{12}$
答案
$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{=}$
解析
【分析】
比较两个实数的大小，针对不同类型的数选择对应的方法：① 两个负数比较大小，绝对值大的数反而更小，因此比较$-\sqrt{17}$和$-4$时，先将$4$转化为$\sqrt{16}$，比较$\sqrt{17}$和$\sqrt{16}$的大小，即可得到两个负数的大小关系；② 比较含二次根式的数的大小，可以通过化简二次根式，或者将根号外的正因数平方后移入根号内，比较被开方数的大小即可判断$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$的大小关系。
【解析】
1. 比较$-\sqrt{17}$和$-4$：
先计算两个数的绝对值：
$|-\sqrt{17}|=\sqrt{17}$，$|-4|=4=\sqrt{16}$
$\because 17＞16$，$\therefore \sqrt{17}＞\sqrt{16}$，即$\sqrt{17}＞4$
根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数更小，可得$-\sqrt{17} ＜ -4$。
2. 比较$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$：
化简$\sqrt{12}$可得：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
因此$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$。
【答案】
$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{=}$
【知识点】
1. 实数大小比较 2. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础大小比较题，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则和二次根式的变形、化简方法，这类题型是后续二次根式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
比较两个实数的大小，针对不同类型的数选择对应的方法：① 两个负数比较大小，绝对值大的数反而更小，因此比较$-\sqrt{17}$和$-4$时，先将$4$转化为$\sqrt{16}$，比较$\sqrt{17}$和$\sqrt{16}$的大小，即可得到两个负数的大小关系；② 比较含二次根式的数的大小，可以通过化简二次根式，或者将根号外的正因数平方后移入根号内，比较被开方数的大小即可判断$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$的大小关系。
【解析】
1. 比较$-\sqrt{17}$和$-4$：
先计算两个数的绝对值：
$|-\sqrt{17}|=\sqrt{17}$，$|-4|=4=\sqrt{16}$
$\because 17＞16$，$\therefore \sqrt{17}＞\sqrt{16}$，即$\sqrt{17}＞4$
根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数更小，可得$-\sqrt{17} ＜ -4$。
2. 比较$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$：
化简$\sqrt{12}$可得：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
因此$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$。
【答案】
$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{=}$
【知识点】
1. 实数大小比较 2. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础大小比较题，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则和二次根式的变形、化简方法，这类题型是后续二次根式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
11.若$\sqrt{30}=m$,则$\sqrt{0.3}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{m}{10}}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和待求式的被开方数的联系，已知$\sqrt{30}=m$，要计算$\sqrt{0.3}$，需要将0.3转化为含30的形式，易得$0.3=\frac{30}{100}$，再利用二次根式的除法性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$化简，代入已知条件即可得到结果。
【解析】
首先将待求式的被开方数变形：
$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}$
根据二次根式的除法运算性质，可得：
$\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}$
因为$\sqrt{100}=10$，且已知$\sqrt{30}=m$，代入得：
$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{m}{10}$
【答案】
$\frac{m}{10}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的除法性质
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题的核心是找到待求式与已知条件中被开方数的数量关系，再结合二次根式的运算性质进行代换计算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知条件和待求式的被开方数的联系，已知$\sqrt{30}=m$，要计算$\sqrt{0.3}$，需要将0.3转化为含30的形式，易得$0.3=\frac{30}{100}$，再利用二次根式的除法性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$化简，代入已知条件即可得到结果。
【解析】
首先将待求式的被开方数变形：
$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}$
根据二次根式的除法运算性质，可得：
$\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}$
因为$\sqrt{100}=10$，且已知$\sqrt{30}=m$，代入得：
$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{m}{10}$
【答案】
$\frac{m}{10}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的除法性质
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题的核心是找到待求式与已知条件中被开方数的数量关系，再结合二次根式的运算性质进行代换计算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
12. $3\sqrt{\frac{4}{9}a^3b c^4} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
由二次根式有意义可知$a≥0$，$b≥0$，
$\begin{aligned}3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4}&=3×\sqrt{\frac{4}{9}· a^2· a· b· (c^2)^2}\\&=3×\frac{2}{3}· a· c^2·\sqrt{ab}\\&=2ac^2\sqrt{ab}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{2ac^2\sqrt{ab}}$。
由二次根式有意义可知$a≥0$，$b≥0$，
$\begin{aligned}3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4}&=3×\sqrt{\frac{4}{9}· a^2· a· b· (c^2)^2}\\&=3×\frac{2}{3}· a· c^2·\sqrt{ab}\\&=2ac^2\sqrt{ab}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{2ac^2\sqrt{ab}}$。
解析
【分析】
要化简这个二次根式，首先根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此先确定a、b的取值范围；接下来把被开方数拆分成能开得尽方的因式和无法开尽的因式的乘积，再利用二次根式的性质分别开方，最后将开方结果和根号外的系数3相乘合并，就能得到最终化简结果。
【解析】
由二次根式有意义的条件可知，被开方数$\frac{4}{9}a^3bc^4≥0$，结合$c^4≥0$，可得$a≥0$，$b≥0$。
化简过程如下：
$\begin{aligned}3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4}&=3×\sqrt{\frac{4}{9}· a^2· a· b· (c^2)^2}\\&=3×\sqrt{\frac{4}{9}}×\sqrt{a^2}×\sqrt{(c^2)^2}×\sqrt{ab}\\&=3×\frac{2}{3}× a× c^2×\sqrt{ab}\\&=2ac^2\sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
$2ac^2\sqrt{ab}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题时要先明确被开方数中字母的取值范围，再将被开方数中能开得尽方的因式移到根号外，计算时注意不要漏乘根号外的系数，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要化简这个二次根式，首先根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此先确定a、b的取值范围；接下来把被开方数拆分成能开得尽方的因式和无法开尽的因式的乘积，再利用二次根式的性质分别开方，最后将开方结果和根号外的系数3相乘合并，就能得到最终化简结果。
【解析】
由二次根式有意义的条件可知，被开方数$\frac{4}{9}a^3bc^4≥0$，结合$c^4≥0$，可得$a≥0$，$b≥0$。
化简过程如下：
$\begin{aligned}3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4}&=3×\sqrt{\frac{4}{9}· a^2· a· b· (c^2)^2}\\&=3×\sqrt{\frac{4}{9}}×\sqrt{a^2}×\sqrt{(c^2)^2}×\sqrt{ab}\\&=3×\frac{2}{3}× a× c^2×\sqrt{ab}\\&=2ac^2\sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
$2ac^2\sqrt{ab}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题时要先明确被开方数中字母的取值范围，再将被开方数中能开得尽方的因式移到根号外，计算时注意不要漏乘根号外的系数，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
13. 化简 $\sqrt{x^4 + x^2 y^2} = \_\_\_\_\_\_$ (x≥0).
答案
$\boldsymbol{x\sqrt{x^2 + y^2}}$
解析
【分析】
要化简这个二次根式，首先需满足二次根式的化简要求：被开方数不含能开得尽方的因式。第一步先观察被开方数$x^4 + x^2 y^2$，两项都含有公因式$x^2$，先提取公因式将被开方数变形为乘积形式；第二步根据二次根式的运算性质拆分根号；第三步结合题目给出的$x≥0$的条件，将能开得尽方的$x^2$开方化简，最终得到结果。
【解析】
首先对被开方数提取公因式：
$\sqrt{x^4 + x^2 y^2} = \sqrt{x^2(x^2 + y^2)}$
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），拆分得：
$=\sqrt{x^2}·\sqrt{x^2 + y^2}$
已知$x≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{x^2}=|x|=x$，代入得：
$=x\sqrt{x^2 + y^2}$
【答案】
$x\sqrt{x^2 + y^2}$
【知识点】
二次根式的化简；提公因式法因式分解；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是先对被开方数进行因式分解，再结合给定的字母取值范围正确应用二次根式的性质化简，注意不要忽略题目的限定条件。
【难度系数】
0.8
要化简这个二次根式，首先需满足二次根式的化简要求：被开方数不含能开得尽方的因式。第一步先观察被开方数$x^4 + x^2 y^2$，两项都含有公因式$x^2$，先提取公因式将被开方数变形为乘积形式；第二步根据二次根式的运算性质拆分根号；第三步结合题目给出的$x≥0$的条件，将能开得尽方的$x^2$开方化简，最终得到结果。
【解析】
首先对被开方数提取公因式：
$\sqrt{x^4 + x^2 y^2} = \sqrt{x^2(x^2 + y^2)}$
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），拆分得：
$=\sqrt{x^2}·\sqrt{x^2 + y^2}$
已知$x≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{x^2}=|x|=x$，代入得：
$=x\sqrt{x^2 + y^2}$
【答案】
$x\sqrt{x^2 + y^2}$
【知识点】
二次根式的化简；提公因式法因式分解；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是先对被开方数进行因式分解，再结合给定的字母取值范围正确应用二次根式的性质化简，注意不要忽略题目的限定条件。
【难度系数】
0.8
14. 如果$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，那么$\sqrt{x^{-2}} =$ .
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式组，求解得到x的具体取值，再将x的值代入待求式，结合负整数指数幂的运算规则和二次根式的化简方法计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：要使$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，需满足两个被开方数均为非负数，列不等式组：
$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$3 - x ≥ 0$得$x ≤ 3$，解不等式$x - 3 ≥ 0$得$x ≥ 3$，因此$x = 3$。
将$x=3$代入$\sqrt{x^{-2}}$计算：
根据负整数指数幂的性质，$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，因此：
$\sqrt{x^{-2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x}$（$x=3＞0$，二次根式开方结果为非负数）
代入$x=3$得结果为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；负指数幂运算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的相关性质，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定x的唯一取值，再代入运算，熟练掌握相关基础性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式组，求解得到x的具体取值，再将x的值代入待求式，结合负整数指数幂的运算规则和二次根式的化简方法计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：要使$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，需满足两个被开方数均为非负数，列不等式组：
$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ x - 3 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$3 - x ≥ 0$得$x ≤ 3$，解不等式$x - 3 ≥ 0$得$x ≥ 3$，因此$x = 3$。
将$x=3$代入$\sqrt{x^{-2}}$计算：
根据负整数指数幂的性质，$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，因此：
$\sqrt{x^{-2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x}$（$x=3＞0$，二次根式开方结果为非负数）
代入$x=3$得结果为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；负指数幂运算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的相关性质，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定x的唯一取值，再代入运算，熟练掌握相关基础性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
15. 如果$\sqrt{20m}$是一个正整数，那么正整数m的最小值是。
答案
解：
$\sqrt{20m} = \sqrt{4×5m} = 2\sqrt{5m}$
∵$\sqrt{20m}$是正整数，
∴$2\sqrt{5m}$是正整数，即$\sqrt{5m}$是正整数，
∴$5m$是完全平方数。
又∵$m$是正整数，5是质数，
∴正整数$m$的最小值是5。
$\sqrt{20m} = \sqrt{4×5m} = 2\sqrt{5m}$
∵$\sqrt{20m}$是正整数，
∴$2\sqrt{5m}$是正整数，即$\sqrt{5m}$是正整数，
∴$5m$是完全平方数。
又∵$m$是正整数，5是质数，
∴正整数$m$的最小值是5。
解析
【分析】
遇到“二次根式的值为正整数，求正整数参数最小值”的问题，可按以下思路推导：首先将被开方数分解为平方因数和非平方因数的乘积，化简二次根式；再根据二次根式结果为整数的要求，可知化简后根号内的剩余部分必须是完全平方数，最后结合参数是正整数的限制，就能求出参数的最小取值。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{20m} = \sqrt{4×5m} = 2\sqrt{5m}$
因为$\sqrt{20m}$是正整数，所以$2\sqrt{5m}$是正整数，由此可得$\sqrt{5m}$必须是正整数，即$5m$是完全平方数。
又因为m是正整数，5是质数，要使$5m$为最小的完全平方数，只需让5的指数变为偶数，因此正整数m的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
二次根式的化简，完全平方数的特征
【点评】
本题是二次根式的典型基础题，解题关键是掌握二次根式的值为整数的条件：被开方数必须是完全平方数，将被开方数拆分出平方因数后，调整剩余部分的质因数指数为偶数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到“二次根式的值为正整数，求正整数参数最小值”的问题，可按以下思路推导：首先将被开方数分解为平方因数和非平方因数的乘积，化简二次根式；再根据二次根式结果为整数的要求，可知化简后根号内的剩余部分必须是完全平方数，最后结合参数是正整数的限制，就能求出参数的最小取值。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{20m} = \sqrt{4×5m} = 2\sqrt{5m}$
因为$\sqrt{20m}$是正整数，所以$2\sqrt{5m}$是正整数，由此可得$\sqrt{5m}$必须是正整数，即$5m$是完全平方数。
又因为m是正整数，5是质数，要使$5m$为最小的完全平方数，只需让5的指数变为偶数，因此正整数m的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
二次根式的化简，完全平方数的特征
【点评】
本题是二次根式的典型基础题，解题关键是掌握二次根式的值为整数的条件：被开方数必须是完全平方数，将被开方数拆分出平方因数后，调整剩余部分的质因数指数为偶数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
16. 化简下列各式.
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}$；
(2) $(\sqrt{a^2})^2$；
(3) $(\sqrt{x+1})^2\ (x≥0)$；
(4) $(\sqrt{a^2+2a+1})^2$.
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}$；
(2) $(\sqrt{a^2})^2$；
(3) $(\sqrt{x+1})^2\ (x≥0)$；
(4) $(\sqrt{a^2+2a+1})^2$.
答案
解：
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{23}{5}}=\sqrt{\dfrac{23×5}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 由二次根式的定义可知$a^2\ge0$，因此$(\sqrt{a^2})^2=a^2$
(3) 因为$x\ge0$，所以$x+1＞0$，因此$(\sqrt{x+1})^2=x+1$
(4) 因为$a^2+2a+1=(a+1)^2\ge0$，所以$(\sqrt{a^2+2a+1})^2=a^2+2a+1$
(1) $\sqrt{4\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{23}{5}}=\sqrt{\dfrac{23×5}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 由二次根式的定义可知$a^2\ge0$，因此$(\sqrt{a^2})^2=a^2$
(3) 因为$x\ge0$，所以$x+1＞0$，因此$(\sqrt{x+1})^2=x+1$
(4) 因为$a^2+2a+1=(a+1)^2\ge0$，所以$(\sqrt{a^2+2a+1})^2=a^2+2a+1$
解析
【分析】
这组题目考查二次根式的化简与性质应用，解题思路如下：1. 明确二次根式的核心性质：$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），化简结果要求被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。2. 第(1)题是带分数的二次根式化简，先将带分数转化为假分数，再通过分子分母同乘分母的方式将分母化为完全平方数，实现分母有理化即可完成化简。3. 第(2)(3)(4)题均为$(\sqrt{A})^2$的形式，只需先判断被开方数$A$的非负性：有给定自变量范围的结合范围验证，无给定范围的通过配方等方式推导$A≥0$，确认后直接应用性质得到结果即可。
【解析】
(1) 先把带分数化为假分数，再分母有理化：
$\sqrt{4\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{23}{5}}=\sqrt{\dfrac{23×5}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 由平方的非负性可知$a^2\ge0$，满足二次根式有意义的条件，根据二次根式性质可得：
$(\sqrt{a^2})^2=a^2$
(3) 已知$x\ge0$，则$x+1≥1＞0$，被开方数非负，因此：
$(\sqrt{x+1})^2=x+1$
(4) 先对被开方数配方：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，由平方的非负性可知$(a+1)^2\ge0$，因此：
$(\sqrt{a^2+2a+1})^2=a^2+2a+1$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{115}}{5}$；(2) $a^2$；(3) $x+1$；(4) $a^2+2a+1$
【知识点】
二次根式的性质、分母有理化、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，重点考查对二次根式性质的理解和应用，解题时要注意带分数需先化为假分数再化简，应用$(\sqrt{a})^2=a$的性质时必须先确认被开方数$a$是非负数，熟练掌握相关性质和化简规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这组题目考查二次根式的化简与性质应用，解题思路如下：1. 明确二次根式的核心性质：$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），化简结果要求被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。2. 第(1)题是带分数的二次根式化简，先将带分数转化为假分数，再通过分子分母同乘分母的方式将分母化为完全平方数，实现分母有理化即可完成化简。3. 第(2)(3)(4)题均为$(\sqrt{A})^2$的形式，只需先判断被开方数$A$的非负性：有给定自变量范围的结合范围验证，无给定范围的通过配方等方式推导$A≥0$，确认后直接应用性质得到结果即可。
【解析】
(1) 先把带分数化为假分数，再分母有理化：
$\sqrt{4\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{23}{5}}=\sqrt{\dfrac{23×5}{5^2}}=\dfrac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 由平方的非负性可知$a^2\ge0$，满足二次根式有意义的条件，根据二次根式性质可得：
$(\sqrt{a^2})^2=a^2$
(3) 已知$x\ge0$，则$x+1≥1＞0$，被开方数非负，因此：
$(\sqrt{x+1})^2=x+1$
(4) 先对被开方数配方：$a^2+2a+1=(a+1)^2$，由平方的非负性可知$(a+1)^2\ge0$，因此：
$(\sqrt{a^2+2a+1})^2=a^2+2a+1$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{115}}{5}$；(2) $a^2$；(3) $x+1$；(4) $a^2+2a+1$
【知识点】
二次根式的性质、分母有理化、完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，重点考查对二次根式性质的理解和应用，解题时要注意带分数需先化为假分数再化简，应用$(\sqrt{a})^2=a$的性质时必须先确认被开方数$a$是非负数，熟练掌握相关性质和化简规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
