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11.下列关于有理数和无理数的说法:①有限小数和无限循环小数都是有理数;②无限不循环小数是无理数;③无理数都是无限小数;④任何有理数都能表示成两个整数之比.正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
11.D
解析
【分析】
本题考查有理数与无理数的基本概念，解题思路是结合两类数的定义，逐个判断4个说法的正误，最终统计正确说法的个数。首先明确核心定义：有理数是整数和分数的统称，所有有理数都可写成两个整数的比值（分母不为0），有限小数、无限循环小数都能转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，因此必然是无限小数，再依次验证每个说法即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
①有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，分数属于有理数，因此该说法正确；
②根据无理数的定义，无限不循环小数就是无理数，该说法正确；
③无理数是无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，该说法正确；
④有理数的本质是可以表示为两个整数的比值（分母为不为0的整数），整数可看作分母为1的分数，因此该说法正确。
综上，4个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分有理数和无理数的范畴，尤其要注意无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数两类，只有无限不循环小数才属于无理数。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数与无理数的基本概念，解题思路是结合两类数的定义，逐个判断4个说法的正误，最终统计正确说法的个数。首先明确核心定义：有理数是整数和分数的统称，所有有理数都可写成两个整数的比值（分母不为0），有限小数、无限循环小数都能转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，因此必然是无限小数，再依次验证每个说法即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
①有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，分数属于有理数，因此该说法正确；
②根据无理数的定义，无限不循环小数就是无理数，该说法正确；
③无理数是无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，该说法正确；
④有理数的本质是可以表示为两个整数的比值（分母为不为0的整数），整数可看作分母为1的分数，因此该说法正确。
综上，4个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分有理数和无理数的范畴，尤其要注意无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数两类，只有无限不循环小数才属于无理数。
【难度系数】
0.8
12.(2025·沭阳一模)写出一个大小在$\sqrt[3]{27}$和$\sqrt{40}$之间的整数是________.
答案
12.4(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先分别确定两个已知根式的取值范围，第一步先化简$\sqrt[3]{27}$得到具体整数，第二步通过找和40相邻的完全平方数，估算出$\sqrt{40}$的取值区间，最后找出落在两个数值之间的整数即可。
【解析】
解：1. 化简$\sqrt[3]{27}$：
∵ $3^3=27$，
∴ $\sqrt[3]{27}=3$。
2. 估算$\sqrt{40}$的范围：
∵ $6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜40＜49$，
∴ $\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{40}＜7$。
3. 找符合条件的整数：
满足$3＜x＜\sqrt{40}$的整数有4、5、6，任选其一即可，例如4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
立方根化简，无理数估算
【点评】
本题是基础题型，主要考查根式的化简以及无理数的估算方法，掌握利用相邻完全平方数判断算术平方根范围的技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先分别确定两个已知根式的取值范围，第一步先化简$\sqrt[3]{27}$得到具体整数，第二步通过找和40相邻的完全平方数，估算出$\sqrt{40}$的取值区间，最后找出落在两个数值之间的整数即可。
【解析】
解：1. 化简$\sqrt[3]{27}$：
∵ $3^3=27$，
∴ $\sqrt[3]{27}=3$。
2. 估算$\sqrt{40}$的范围：
∵ $6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜40＜49$，
∴ $\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{40}＜7$。
3. 找符合条件的整数：
满足$3＜x＜\sqrt{40}$的整数有4、5、6，任选其一即可，例如4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
立方根化简，无理数估算
【点评】
本题是基础题型，主要考查根式的化简以及无理数的估算方法，掌握利用相邻完全平方数判断算术平方根范围的技巧是解题的核心。
【难度系数】
0.8
13.如图,把半径为$\frac{1}{2}$的圆放到数轴上,圆上一点A与表示1的点重合,圆沿着数轴滚动一周,此时点A对应的数是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
13.$1-π$或$1+π$
解析
【分析】
解题时首先需要明确圆沿数轴滚动一周的移动距离等于该圆的周长，其次要注意题目未指定滚动方向，需分向左滚动、向右滚动两种情况讨论：第一步先根据圆的半径计算出周长，第二步结合数轴上点的移动规律“右加左减”，用点A的初始位置1分别与周长作加减运算，即可得到两种情况对应的数值。
【解析】
首先计算圆的周长：已知圆的半径$r=\frac{1}{2}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入得$C=2π×\frac{1}{2}=π$，即圆滚动一周时，点A移动的距离为$π$。
分两种情况讨论：
1. 若圆沿数轴向右滚动一周：点A向右移动$π$个单位长度，初始对应数为1，因此此时点A对应的数为$1+π$；
2. 若圆沿数轴向左滚动一周：点A向左移动$π$个单位长度，因此此时点A对应的数为$1-π$。
综上，点A对应的数是$1-π$或$1+π$。
【答案】
$1-π$或$1+π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴的应用，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略滚动方向的不确定性，仅计算其中一种情况，解题时需结合几何图形的运动特征，全面考虑所有可能的运动方向，结合数轴的点移动规律求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要明确圆沿数轴滚动一周的移动距离等于该圆的周长，其次要注意题目未指定滚动方向，需分向左滚动、向右滚动两种情况讨论：第一步先根据圆的半径计算出周长，第二步结合数轴上点的移动规律“右加左减”，用点A的初始位置1分别与周长作加减运算，即可得到两种情况对应的数值。
【解析】
首先计算圆的周长：已知圆的半径$r=\frac{1}{2}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入得$C=2π×\frac{1}{2}=π$，即圆滚动一周时，点A移动的距离为$π$。
分两种情况讨论：
1. 若圆沿数轴向右滚动一周：点A向右移动$π$个单位长度，初始对应数为1，因此此时点A对应的数为$1+π$；
2. 若圆沿数轴向左滚动一周：点A向左移动$π$个单位长度，因此此时点A对应的数为$1-π$。
综上，点A对应的数是$1-π$或$1+π$。
【答案】
$1-π$或$1+π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴的应用，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略滚动方向的不确定性，仅计算其中一种情况，解题时需结合几何图形的运动特征，全面考虑所有可能的运动方向，结合数轴的点移动规律求解即可。
【难度系数】
0.6
14.如图,将面积为3的正方形放在数轴上,以表示数1的点为圆心,正方形的边长为半径作圆,交数轴于点A,B,则点A表示的数为
$1-\sqrt{3}$
.答案
14.$1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先根据正方形的面积求出其边长，该边长就是所作圆的半径；其次明确圆的圆心对应数轴上表示1的点，点A在圆心左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，因此点A表示的数等于圆心对应的数减去半径长度，按此逻辑即可推导结果。
【解析】
解：设正方形的边长为$r$（$r＞0$），
已知正方形面积为3，由正方形面积公式$S=r^2$可得：$r^2=3$，
根据算术平方根的定义，得$r=\sqrt{3}$，即圆的半径为$\sqrt{3}$。
因为圆的圆心是数轴上表示1的点，点A在圆心左侧，且点A到圆心的距离等于半径$\sqrt{3}$，
所以点A表示的数为$1-\sqrt{3}$。
【答案】
$1-\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，既考查了算术平方根的实际应用，也考查了数轴上点与数的对应关系，解题时要注意区分数轴上点在已知点左侧还是右侧，避免加减符号使用错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：首先根据正方形的面积求出其边长，该边长就是所作圆的半径；其次明确圆的圆心对应数轴上表示1的点，点A在圆心左侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，因此点A表示的数等于圆心对应的数减去半径长度，按此逻辑即可推导结果。
【解析】
解：设正方形的边长为$r$（$r＞0$），
已知正方形面积为3，由正方形面积公式$S=r^2$可得：$r^2=3$，
根据算术平方根的定义，得$r=\sqrt{3}$，即圆的半径为$\sqrt{3}$。
因为圆的圆心是数轴上表示1的点，点A在圆心左侧，且点A到圆心的距离等于半径$\sqrt{3}$，
所以点A表示的数为$1-\sqrt{3}$。
【答案】
$1-\sqrt{3}$
【知识点】
算术平方根，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，既考查了算术平方根的实际应用，也考查了数轴上点与数的对应关系，解题时要注意区分数轴上点在已知点左侧还是右侧，避免加减符号使用错误。
【难度系数】
0.7
15.如图,一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬 2 个单位长度到达点 B,点 A 表示$-\sqrt{2}$,设点 B 所表示的数为 m.
(1)求 m 的值;
(2)求$|m-1|+m+6$的值.
(1)求 m 的值;
(2)求$|m-1|+m+6$的值.
答案
15.解:(1)由题意知,点 A 和点 B 之间的距离为 2,点 A 表示的数为$-\sqrt{2}$,因此点 B 表示的数$m=2-\sqrt{2}$.
(2)把$m=2-\sqrt{2}$代入,得$|m-1|+m+6=|2-\sqrt{2}-1|+2-\sqrt{2}+6=|1-\sqrt{2}|+8-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1+8-\sqrt{2}=7$.
(2)把$m=2-\sqrt{2}$代入,得$|m-1|+m+6=|2-\sqrt{2}-1|+2-\sqrt{2}+6=|1-\sqrt{2}|+8-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1+8-\sqrt{2}=7$.
解析
【分析】
(1) 数轴上的点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数和向右平移的距离，直接相加即可求出m的值；
(2) 先将求出的m的值代入待求式，先判断绝对值内式子的正负性：因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，再合并计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知蚂蚁从表示$-\sqrt{2}$的点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，根据数轴上点平移“右加左减”的规律，点B表示的数：
$m = -\sqrt{2} + 2 = 2-\sqrt{2}$
(2) 将$m=2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+m+6$得：
$\begin{aligned}|m-1|+m+6&=|2-\sqrt{2}-1|+2-\sqrt{2}+6\\&=|1-\sqrt{2}|+8-\sqrt{2}\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入计算得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}-1+8-\sqrt{2}\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2-\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
数轴平移规律、绝对值化简、实数运算
【点评】
本题结合数轴考查实数的相关运算，解题核心是掌握数轴上点平移的“左减右加”规则，以及绝对值的化简方法，计算时需先判断绝对值内代数式的正负再去绝对值符号，属于对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 数轴上的点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数和向右平移的距离，直接相加即可求出m的值；
(2) 先将求出的m的值代入待求式，先判断绝对值内式子的正负性：因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，再合并计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知蚂蚁从表示$-\sqrt{2}$的点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，根据数轴上点平移“右加左减”的规律，点B表示的数：
$m = -\sqrt{2} + 2 = 2-\sqrt{2}$
(2) 将$m=2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+m+6$得：
$\begin{aligned}|m-1|+m+6&=|2-\sqrt{2}-1|+2-\sqrt{2}+6\\&=|1-\sqrt{2}|+8-\sqrt{2}\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入计算得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}-1+8-\sqrt{2}\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2-\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
数轴平移规律、绝对值化简、实数运算
【点评】
本题结合数轴考查实数的相关运算，解题核心是掌握数轴上点平移的“左减右加”规则，以及绝对值的化简方法，计算时需先判断绝对值内代数式的正负再去绝对值符号，属于对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
16. 证明$\sqrt{3}$不是有理数.
答案
16.解:假设$\sqrt{3}$是有理数,则存在两个互质的正整数$m,n$,使得$\sqrt{3}=\dfrac{n}{m}$,于是有$3m^2=n^2$.$\because 3m^2$是3的倍数,$\therefore n^2$也是3的倍数,$\therefore n$是3的倍数,设$n=3t$($t$是正整数),则$n^2=9t^2$,即$9t^2=3m^2$,$\therefore 3t^2=m^2$,$\therefore m$也是3的倍数,$\therefore m,n$都是3的倍数,不互质,与假设矛盾,$\therefore$假设错误,$\therefore \sqrt{3}$不是有理数.
解析
【分析】
要直接证明$\sqrt{3}$不是有理数难度较大，因此采用反证法求解。反证法的核心思路是“否定结论→推导出矛盾→肯定原结论”：首先假设原命题不成立，即$\sqrt{3}$是有理数，再根据有理数可表示为两个互质正整数的比值的性质，列出等式推导，若得出与“两数互质”矛盾的结论，即可证明假设错误，原命题成立。
【解析】
假设$\sqrt{3}$是有理数，则存在两个互质的正整数$m,n$，使得$\sqrt{3}=\dfrac{n}{m}$，于是有$3m^2=n^2$。
$\because 3m^2$是3的倍数，$\therefore n^2$也是3的倍数，$\therefore n$是3的倍数，设$n=3t$（$t$是正整数），则$n^2=9t^2$，即$9t^2=3m^2$，$\therefore 3t^2=m^2$，$\therefore m$也是3的倍数。
$\therefore m,n$都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，$\therefore$假设错误，$\therefore \sqrt{3}$不是有理数。
【答案】
$\sqrt{3}$不是有理数
【知识点】
反证法；有理数定义；互质的概念
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，重点考察对反证法逻辑的理解和有理数概念的掌握，推导过程中需要紧扣“互质”的前提找矛盾，是无理数相关证明的典型母题。
【难度系数】
0.5
要直接证明$\sqrt{3}$不是有理数难度较大，因此采用反证法求解。反证法的核心思路是“否定结论→推导出矛盾→肯定原结论”：首先假设原命题不成立，即$\sqrt{3}$是有理数，再根据有理数可表示为两个互质正整数的比值的性质，列出等式推导，若得出与“两数互质”矛盾的结论，即可证明假设错误，原命题成立。
【解析】
假设$\sqrt{3}$是有理数，则存在两个互质的正整数$m,n$，使得$\sqrt{3}=\dfrac{n}{m}$，于是有$3m^2=n^2$。
$\because 3m^2$是3的倍数，$\therefore n^2$也是3的倍数，$\therefore n$是3的倍数，设$n=3t$（$t$是正整数），则$n^2=9t^2$，即$9t^2=3m^2$，$\therefore 3t^2=m^2$，$\therefore m$也是3的倍数。
$\therefore m,n$都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，$\therefore$假设错误，$\therefore \sqrt{3}$不是有理数。
【答案】
$\sqrt{3}$不是有理数
【知识点】
反证法；有理数定义；互质的概念
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，重点考察对反证法逻辑的理解和有理数概念的掌握，推导过程中需要紧扣“互质”的前提找矛盾，是无理数相关证明的典型母题。
【难度系数】
0.5
