9.(2024·东海县期末)若在$△ ABC$中,$AB=AC=10,BC=12$,则$△ ABC$的面积为.

9. 48

10.(2024·连云港期末)如图,在四边形$ABCD$中,$BD$平分$∠ ABC$,$AD=$$CD=2$,$AB=3$,$BC=5$,则$BD$的长为.

10.$\sqrt{19}$

11.(2024·涟水县期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=13$,$BC=10$,$D$是$BC$的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别是$E,F$.求$DE$的长.

11.解:如答图,连接$AD$.
$\because AB=AC,D$为$BC$的中点,$BC=10$,
$\therefore BD=CD=5,AD⊥ BC,\therefore∠ ADB=∠ ADC=90°$,
$\therefore AD=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
$\because D$为$BC$的中点,$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,
即$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× BC· AD$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}×10×12÷13=\frac{60}{13}$.

12. (2024·沭阳期中)已知$∠ MON=90°$，有一根长为10的木棒$AB$的两个端点$A$，$B$分别在射线$OM$，$ON$上滑动，$∠ OAB$的平分线$AD$交$OB$于点$D$.
(1)如图①，若$OA=6$，则$OB=$，$OD=$；
(2)如图②，过点$B$作$BE⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$E$，连接$OE$，在$AB$滑动的过程中，线段$OE$，$BE$有何数量关系，并说明理由；
(3)在$AB$滑动的过程中，$△ AOB$面积的最大值为.(直接写出答案)

12.(1)8 3
(2)解:$OE=BE$. 理由:如答图,延长$AO$和$BE$,交于点$F$,则$∠ AEB=∠ AEF=∠ BOF=90°$.
$\because AD$平分$∠ OAB,\therefore∠ EAF=∠ EAB$.
又$\because AE=AE,\therefore△ AEB≌△ AEF(\mathrm{ASA}),\therefore BE=EF$.
又$\because∠ BOF=90°,\therefore OE=\frac{1}{2}BF=BE$.
(3)25