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16. (10 分)在 $3× 3$ 的方格纸中,点 $A,B,C,D,E$,
$F$ 分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
(1)从 $A,D,E,F$ 四点中任意取一点,以所取的这一点及 $B,C$ 为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是
(2)从 $A,D,E,F$ 四点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及 $B,C$ 为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率.
(用画树状图或列表法求解)
$F$ 分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
(1)从 $A,D,E,F$ 四点中任意取一点,以所取的这一点及 $B,C$ 为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是
$\frac{1}{4}$
;(2)从 $A,D,E,F$ 四点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及 $B,C$ 为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率.
(用画树状图或列表法求解)
答案
16.(1)$\frac{1}{4}$ 解析:根据从A,D,E,F四个点中任意取一点,一共有4种可能,只有选取D点时,以这一点及B,C为顶点所画三角形是等腰三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是$\frac{1}{4}$.
(2)用树状图表示所有可能的结果,如图所示.
共有12种等可能的结果.
∵以点A,E,B,C为顶点及以点D,F,B,C为顶点所画的四边形是平行四边形,共有4种可能,
∴P(所画的四边形是平行四边形)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需从A、D、E、F四点中任取一点，与B、C构成三角形，判断等腰三角形的数量，用符合条件的数量除以总数量得到概率；第(2)问需用树状图列举从四点中先后取两个不同点的所有等可能结果，再找出能构成平行四边形的结果，计算其概率。解题时需准确判断等腰三角形、平行四边形的条件，列举结果时注意先后取点的顺序，避免遗漏。
【解析】
(1) 从A、D、E、F四点中任意取一点，共有4种等可能的结果。经判断，仅选取D点时，该点与B、C构成的三角形是等腰三角形，因此所画三角形是等腰三角形的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 用树状图列举从A、D、E、F四点中先后任意取两个不同点的所有等可能结果，如图所示：
共有12种等可能的结果。其中，以点A、E与B、C为顶点，以及点D、F与B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，共4种符合条件的结果，因此所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算，等腰三角形，平行四边形
【点评】
本题结合方格纸考查概率的应用，需掌握等腰三角形、平行四边形的判定方法，用树状图列举结果时要注意先后取点的顺序，属于中等难度的几何概率题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需从A、D、E、F四点中任取一点，与B、C构成三角形，判断等腰三角形的数量，用符合条件的数量除以总数量得到概率；第(2)问需用树状图列举从四点中先后取两个不同点的所有等可能结果，再找出能构成平行四边形的结果，计算其概率。解题时需准确判断等腰三角形、平行四边形的条件，列举结果时注意先后取点的顺序，避免遗漏。
【解析】
(1) 从A、D、E、F四点中任意取一点，共有4种等可能的结果。经判断，仅选取D点时，该点与B、C构成的三角形是等腰三角形，因此所画三角形是等腰三角形的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 用树状图列举从A、D、E、F四点中先后任意取两个不同点的所有等可能结果，如图所示：
共有12种等可能的结果。其中，以点A、E与B、C为顶点，以及点D、F与B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，共4种符合条件的结果，因此所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算，等腰三角形，平行四边形
【点评】
本题结合方格纸考查概率的应用，需掌握等腰三角形、平行四边形的判定方法，用树状图列举结果时要注意先后取点的顺序，属于中等难度的几何概率题。
【难度系数】
0.5
17. (12 分) 两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数,后来渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式,0~9 各个数字及其算筹表示的对应关系如下表:
排列数字时,个位采用纵式,十位采用横式,百位采用纵式,千位采用横式……纵式和横式依次交替出现. 如“$\boldsymbol{\underline{\underline{\bot }} \ π}$”表示 87,“$\boldsymbol{|||| \ ◯ \ ||}$”表示 502. 在“$\boldsymbol{◯}$”“$\boldsymbol{=}$”“$\boldsymbol{|||}$”“$\boldsymbol{\top}$”“$\boldsymbol{\underline{\underline{\bot }}}$”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个,求取到奇数的概率.
排列数字时,个位采用纵式,十位采用横式,百位采用纵式,千位采用横式……纵式和横式依次交替出现. 如“$\boldsymbol{\underline{\underline{\bot }} \ π}$”表示 87,“$\boldsymbol{|||| \ ◯ \ ||}$”表示 502. 在“$\boldsymbol{◯}$”“$\boldsymbol{=}$”“$\boldsymbol{|||}$”“$\boldsymbol{\top}$”“$\boldsymbol{\underline{\underline{\bot }}}$”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个,求取到奇数的概率.
答案
17.“○”“=”“|||”“T”“$\underline{\underline{\bot }}$”表示的数字分别为0,2,3,6,9,按照一定顺序排成的三位数中,百位上的数只可在3或6中任选一个,十位上的数可以是0,2,9,个位上的数可以是3,0,6.①若百位上的数为3,则排列成的三位数有306,320,326,390,396;②若百位上的数为6,则排列成的三位数有603,620,623,690,693.综上,共有10种等可能的结果,其中为奇数的有603,623,693,共3个,
∴所求概率为$\frac{3}{10}$.
∴所求概率为$\frac{3}{10}$.
解析
【分析】首先明确题目中5个符号对应的数字：“○”对应0，“=”对应2，“|||”对应3，“T”对应6，“$\underline{\underline{\bot }}$”对应9；再根据数位规则：组成三位数时，百位为纵式符号（不能为0），十位为横式符号，个位为纵式符号，且每个符号仅用一次。接下来分类列举所有可能的三位数，再从中找出个位为奇数的情况，最后根据概率公式计算概率。
【解析】1. 确定符号对应数字：“○”→0，“=”→2，“|||”→3，“T”→6，“$\underline{\underline{\bot }}$”→9；
2. 计算所有等可能的三位数：
百位可选纵式符号：3、6（共2种，排除0）；
若百位为3：个位可选0或6，对应十位可选的横式符号：
个位为0时，十位可选2、9，得320、390（2种）；
个位为6时，十位可选0、2、9，得306、326、396（3种）；
共5种；
若百位为6：个位可选0或3，对应十位可选的横式符号：
个位为0时，十位可选2、9，得620、690（2种）；
个位为3时，十位可选0、2、9，得603、623、693（3种）；
共5种；
总共有5+5=10种等可能的三位数；
3. 找出奇数：三位数为奇数时个位需为奇数，纵式符号中仅3为奇数，故仅当个位为3时符合，对应三位数为603、623、693，共3种；
4. 计算概率：所求概率为$\frac{3}{10}$。
【答案】$\frac{3}{10}$
【知识点】概率计算、数字的表示（算筹）
【点评】本题结合古代算筹的数字表示考查概率，关键是明确符号对应数字和数位规则，分类列举时需避免重复遗漏，属于基础概率应用题型。
【难度系数】0.4
【解析】1. 确定符号对应数字：“○”→0，“=”→2，“|||”→3，“T”→6，“$\underline{\underline{\bot }}$”→9；
2. 计算所有等可能的三位数：
百位可选纵式符号：3、6（共2种，排除0）；
若百位为3：个位可选0或6，对应十位可选的横式符号：
个位为0时，十位可选2、9，得320、390（2种）；
个位为6时，十位可选0、2、9，得306、326、396（3种）；
共5种；
若百位为6：个位可选0或3，对应十位可选的横式符号：
个位为0时，十位可选2、9，得620、690（2种）；
个位为3时，十位可选0、2、9，得603、623、693（3种）；
共5种；
总共有5+5=10种等可能的三位数；
3. 找出奇数：三位数为奇数时个位需为奇数，纵式符号中仅3为奇数，故仅当个位为3时符合，对应三位数为603、623、693，共3种；
4. 计算概率：所求概率为$\frac{3}{10}$。
【答案】$\frac{3}{10}$
【知识点】概率计算、数字的表示（算筹）
【点评】本题结合古代算筹的数字表示考查概率，关键是明确符号对应数字和数位规则，分类列举时需避免重复遗漏，属于基础概率应用题型。
【难度系数】0.4
18. (14 分)张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券,各自设计了一种方案.
张彬:如图,设计了一个可以自由转动的转盘,随意转动转盘(当指针指向两个扇形的交线时,需重新转动转盘),当指针指向阴影区域时,张彬得到入场券;否则,王华得到入场券;
王华:将三个完全相同的小球分别标上数字1,2,3后,放入一个不透明的袋子中,从中随机取出一个小球,然后放回袋子;混合均匀后,再随机取出一个小球.若两次取出的小球上的数字之和为偶数,则王华得到入场券;否则,张彬得到入场券.
请你运用所学的概率知识,分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平?
视频讲题
张彬:如图,设计了一个可以自由转动的转盘,随意转动转盘(当指针指向两个扇形的交线时,需重新转动转盘),当指针指向阴影区域时,张彬得到入场券;否则,王华得到入场券;
王华:将三个完全相同的小球分别标上数字1,2,3后,放入一个不透明的袋子中,从中随机取出一个小球,然后放回袋子;混合均匀后,再随机取出一个小球.若两次取出的小球上的数字之和为偶数,则王华得到入场券;否则,张彬得到入场券.
请你运用所学的概率知识,分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平?
视频讲题
答案
18.张彬的设计方案：
P(张彬得到入场券)=$\frac{360-(100+70)}{360}=\frac{19}{36}$,P(王华得到入场券)=$\frac{100+70}{360}=\frac{17}{36}$.
∵$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$,
∴张彬的设计方案不公平.
王华的设计方案：
可能出现的结果如下表：
| 和 第二次
第一次 | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知,一共有9种等可能的结果,其中两次取出的小球上的数字之和为偶数的结果有5种,和不是偶数的结果有4种,
∴P(王华得到入场券)=P(和为偶数)=$\frac{5}{9}$,P(张彬得到入场券)=P(和不是偶数)=$\frac{4}{9}$.
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
∴王华的设计方案也不公平.
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是计算双方获得入场券的概率，若概率相等则公平，否则不公平。对于张彬的转盘方案，利用周角为360°，计算阴影区域圆心角，进而求出双方概率；对于王华的放回摸球方案，通过列表法列举所有等可能结果，统计符合条件的结果数计算概率，最后比较概率判断公平性。
【解析】
1. 张彬的设计方案：
转盘总圆心角为360°，阴影区域圆心角 = 360° - 100° - 70° = 190°。
因此，$P(张彬得到入场券)=\frac{190°}{360°}=\frac{19}{36}$，$P(王华得到入场券)=\frac{100°+70°}{360°}=\frac{17}{36}$。
因为$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$，所以张彬的设计方案不公平。
2. 王华的设计方案：
有放回摸球的所有等可能结果如下表：
| 和 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知，共9种等可能结果，其中和为偶数的结果有5种，和非偶数的结果有4种。
因此，$P(王华得到入场券)=\frac{5}{9}$，$P(张彬得到入场券)=\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，所以王华的设计方案也不公平。
【答案】
张彬的设计方案：$P(张彬得到入场券)=\frac{19}{36}$，$P(王华得到入场券)=\frac{17}{36}$，
∵$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$，
∴张彬的设计方案不公平。
王华的设计方案：可能出现的结果如下表：
| 和 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球上的数字之和为偶数的结果有5种，和不是偶数的结果有4种，
∴$P(王华得到入场券)=\frac{5}{9}$，$P(张彬得到入场券)=\frac{4}{9}$，
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，
∴王华的设计方案也不公平。
【知识点】
概率计算、游戏公平性、列表法求概率
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的应用，需掌握转盘概率计算和放回试验的列表法求概率，是概率部分的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
判断游戏是否公平的核心是计算双方获得入场券的概率，若概率相等则公平，否则不公平。对于张彬的转盘方案，利用周角为360°，计算阴影区域圆心角，进而求出双方概率；对于王华的放回摸球方案，通过列表法列举所有等可能结果，统计符合条件的结果数计算概率，最后比较概率判断公平性。
【解析】
1. 张彬的设计方案：
转盘总圆心角为360°，阴影区域圆心角 = 360° - 100° - 70° = 190°。
因此，$P(张彬得到入场券)=\frac{190°}{360°}=\frac{19}{36}$，$P(王华得到入场券)=\frac{100°+70°}{360°}=\frac{17}{36}$。
因为$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$，所以张彬的设计方案不公平。
2. 王华的设计方案：
有放回摸球的所有等可能结果如下表：
| 和 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知，共9种等可能结果，其中和为偶数的结果有5种，和非偶数的结果有4种。
因此，$P(王华得到入场券)=\frac{5}{9}$，$P(张彬得到入场券)=\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，所以王华的设计方案也不公平。
【答案】
张彬的设计方案：$P(张彬得到入场券)=\frac{19}{36}$，$P(王华得到入场券)=\frac{17}{36}$，
∵$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$，
∴张彬的设计方案不公平。
王华的设计方案：可能出现的结果如下表：
| 和 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球上的数字之和为偶数的结果有5种，和不是偶数的结果有4种，
∴$P(王华得到入场券)=\frac{5}{9}$，$P(张彬得到入场券)=\frac{4}{9}$，
∵$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，
∴王华的设计方案也不公平。
【知识点】
概率计算、游戏公平性、列表法求概率
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的应用，需掌握转盘概率计算和放回试验的列表法求概率，是概率部分的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
