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11.(苏州中考)如图,将一个棱长为3的正方体的表面涂上灰色,再把它分割成棱长为1的
小正方体,从中任取一个小正方体,则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为
小正方体,从中任取一个小正方体,则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为$\frac{8}{27}$
.答案
11.$\frac{8}{27}$ 解析:小正方体的个数为3×3×3=27(个),由题图直接数出恰有三个面涂有灰色的小正方体的个数为8个,
∴取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为$\frac{8}{27}$.
∴取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为$\frac{8}{27}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先计算大正方体分割后小正方体的总个数，再找出恰有三个面涂灰色的小正方体的数量，最后根据概率公式计算所求概率。首先，棱长为3的大正方体分割成棱长为1的小正方体，总个数可通过体积计算；其次，正方体中三个面涂色的小正方体位于顶点处，正方体有8个顶点，据此确定符合条件的小正方体数量；最后用符合条件的数量除以总数量得到概率。
【解析】
1. 计算小正方体总个数：棱长为3的大正方体体积为 $3×3×3=27$，因此分割成棱长为1的小正方体总个数为27个。
2. 确定三面涂色的小正方体数量：正方体的顶点处的小正方体有3个面与大正方体表面接触，即三面涂灰色，正方体共有8个顶点，故恰有三个面涂灰色的小正方体有8个。
3. 计算概率：根据概率公式，所求概率为 $\frac{符合条件的小正方体个数}{小正方体总个数}=\frac{8}{27}$。
【答案】
$\frac{8}{27}$
【知识点】
概率计算、正方体结构特征
【点评】
本题结合正方体的顶点特征考查概率计算，核心是掌握正方体顶点处小正方体的涂色规律，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先计算大正方体分割后小正方体的总个数，再找出恰有三个面涂灰色的小正方体的数量，最后根据概率公式计算所求概率。首先，棱长为3的大正方体分割成棱长为1的小正方体，总个数可通过体积计算；其次，正方体中三个面涂色的小正方体位于顶点处，正方体有8个顶点，据此确定符合条件的小正方体数量；最后用符合条件的数量除以总数量得到概率。
【解析】
1. 计算小正方体总个数：棱长为3的大正方体体积为 $3×3×3=27$，因此分割成棱长为1的小正方体总个数为27个。
2. 确定三面涂色的小正方体数量：正方体的顶点处的小正方体有3个面与大正方体表面接触，即三面涂灰色，正方体共有8个顶点，故恰有三个面涂灰色的小正方体有8个。
3. 计算概率：根据概率公式，所求概率为 $\frac{符合条件的小正方体个数}{小正方体总个数}=\frac{8}{27}$。
【答案】
$\frac{8}{27}$
【知识点】
概率计算、正方体结构特征
【点评】
本题结合正方体的顶点特征考查概率计算，核心是掌握正方体顶点处小正方体的涂色规律，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
12. 新趋势 数学文化 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形,其中圆的半径为r,正方形的边长为$a\ (0＜a＜r)$,若在圆内随机取点,得到点取自阴影部分的概率为P,则圆周率$π$的值为
$\frac{a^2}{(1-P)r^2}$
(用所给字母表示).答案
12.$\frac{a^2}{(1-P)r^2}$ 解析:由题意知 $P=\frac{π r^2 -a^2}{π r^2}=1-\frac{a^2}{π r^2}$, 解得$π=\frac{a^2}{(1-P)r^2}$.
解析
【分析】
本题结合古代数学文化考查几何概型的应用，解题思路为：先明确随机取点的概率P是阴影部分面积与圆面积的比值；再分别计算圆和正方形的面积，得出阴影面积，代入概率公式得到关于π的等式，最后通过代数变形求出π的表达式。
【解析】
1. 计算各部分面积：圆的面积为$S_{圆}=πr^2$，正方形的面积为$S_{正方形}=a^2$，因此阴影部分面积为$S_{阴影}=S_{圆}-S_{正方形}=πr^2 -a^2$。
2. 根据几何概型的概率公式，随机取点落在阴影部分的概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{圆}}$，代入面积表达式得：
$P=\frac{πr^2 -a^2}{πr^2}$
3. 对等式变形：将右边拆分得$P=1 - \frac{a^2}{πr^2}$，移项后$\frac{a^2}{πr^2}=1-P$，整理求解π得：
$π=\frac{a^2}{(1-P)r^2}$
【答案】
$\frac{a^2}{(1-P)r^2}$
【知识点】
几何概型、圆的面积、正方形的面积
【点评】
本题将传统数学文化与几何概型知识结合，既考查了几何概型的概率计算，又训练了代数变形能力，体现了数学在文化中的应用，题目设计巧妙。
【难度系数】
0.6
本题结合古代数学文化考查几何概型的应用，解题思路为：先明确随机取点的概率P是阴影部分面积与圆面积的比值；再分别计算圆和正方形的面积，得出阴影面积，代入概率公式得到关于π的等式，最后通过代数变形求出π的表达式。
【解析】
1. 计算各部分面积：圆的面积为$S_{圆}=πr^2$，正方形的面积为$S_{正方形}=a^2$，因此阴影部分面积为$S_{阴影}=S_{圆}-S_{正方形}=πr^2 -a^2$。
2. 根据几何概型的概率公式，随机取点落在阴影部分的概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{圆}}$，代入面积表达式得：
$P=\frac{πr^2 -a^2}{πr^2}$
3. 对等式变形：将右边拆分得$P=1 - \frac{a^2}{πr^2}$，移项后$\frac{a^2}{πr^2}=1-P$，整理求解π得：
$π=\frac{a^2}{(1-P)r^2}$
【答案】
$\frac{a^2}{(1-P)r^2}$
【知识点】
几何概型、圆的面积、正方形的面积
【点评】
本题将传统数学文化与几何概型知识结合，既考查了几何概型的概率计算，又训练了代数变形能力，体现了数学在文化中的应用，题目设计巧妙。
【难度系数】
0.6
13. (2026·运城期中)用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏(其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色),其中A转盘被分成相等的两个扇形,B转盘被分成三个扇形(黄色和蓝色分别占转盘的$\dfrac{1}{4}$,剩余部分是绿色).如果同时转动两个转盘,那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是
$\frac{1}{8}$
.答案
13.$\frac{1}{8}$ 解析:画树状图如下所示：
由树状图可知,一共有8种等可能的结果,其中转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的结果有1种,
∴转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为$\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
要计算配成紫色的概率，需先明确两个转盘的颜色区域及等可能情况，再通过树状图列举所有等可能结果，筛选出符合配紫色条件（A转出红色且B转出蓝色）的结果，最后根据概率公式计算。
【解析】
1. 分析转盘：A转盘被分成2个相等扇形，转出红、白各有2种等可能情况；B转盘被分成4个相等部分（黄、蓝各占1份，绿占2份），转出黄、蓝、绿各有4种等可能情况。
2. 画树状图（如题目所给），可知总共有 $2 × 4 = 8$ 种等可能的结果。
3. 配成紫色的条件是一个转出红色、另一个转出蓝色，符合条件的结果仅为“A转出红，B转出蓝”这1种。
4. 根据概率公式：$P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} = \frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
概率计算、树状图法
【点评】
本题考查用树状图法求简单事件的概率，核心是准确列举所有等可能结果并筛选符合条件的结果，属于基础题型，需掌握树状图的画法和概率公式的应用。
【难度系数】
0.5
要计算配成紫色的概率，需先明确两个转盘的颜色区域及等可能情况，再通过树状图列举所有等可能结果，筛选出符合配紫色条件（A转出红色且B转出蓝色）的结果，最后根据概率公式计算。
【解析】
1. 分析转盘：A转盘被分成2个相等扇形，转出红、白各有2种等可能情况；B转盘被分成4个相等部分（黄、蓝各占1份，绿占2份），转出黄、蓝、绿各有4种等可能情况。
2. 画树状图（如题目所给），可知总共有 $2 × 4 = 8$ 种等可能的结果。
3. 配成紫色的条件是一个转出红色、另一个转出蓝色，符合条件的结果仅为“A转出红，B转出蓝”这1种。
4. 根据概率公式：$P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} = \frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
概率计算、树状图法
【点评】
本题考查用树状图法求简单事件的概率，核心是准确列举所有等可能结果并筛选符合条件的结果，属于基础题型，需掌握树状图的画法和概率公式的应用。
【难度系数】
0.5
14. 定义:如果一列数,从第二个数开始,每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数,那么称这列数为等差数列.如图是一个 $4×4$ 表格,其每一横行、每一竖列都成等差数列,李同学补全表格后,从中任意抽取一个数(抽后放回),连续抽取两次,则两次均为奇数的概率为
$\frac{1}{16}$
.答案
14.$\frac{1}{16}$ 解析:补全表格如下：
| 0 | 2 | 4 | 6 |
|----|----|----|----|
| 1 | 4 | 7 | 10 |
| 2 | 6 | 10 | 14 |
| 3 | 8 | 13 | 18 |
先从中抽取1个数,有16种等可能的结果,放回再抽一次,也是16种等可能的结果,
∴一共有16×16=256(种)等可能的结果.
∵两次均为奇数共有4×4=16(种)等可能的结果,
∴两次均为奇数的概率为$\frac{16}{256}=\frac{1}{16}$.
| 0 | 2 | 4 | 6 |
|----|----|----|----|
| 1 | 4 | 7 | 10 |
| 2 | 6 | 10 | 14 |
| 3 | 8 | 13 | 18 |
先从中抽取1个数,有16种等可能的结果,放回再抽一次,也是16种等可能的结果,
∴一共有16×16=256(种)等可能的结果.
∵两次均为奇数共有4×4=16(种)等可能的结果,
∴两次均为奇数的概率为$\frac{16}{256}=\frac{1}{16}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先根据“每一横行、每一竖列都成等差数列”的定义补全4×4表格，再统计表格中奇数的个数，最后结合有放回抽样的概率计算方法求解。具体步骤：①利用等差数列公差的性质，先补全第一行和第一列，再依次补全其余行和列，得到完整表格；②统计表格中奇数的总数量；③计算有放回抽取两次均为奇数的概率：总情况数为16×16，两次均为奇数的情况数为奇数个数×奇数个数，两者的比值即为所求概率。
【解析】
1. 补全表格：
第一行：已知前两个数为0、2，公差为2-0=2，故第一行四个数为0，2，2+2=4，4+2=6；
第一列：已知前两个数为0、1，公差为1-0=1，故第一列四个数为0，1，1+1=2，2+1=3；
其余行/列：根据等差数列性质，依次补全得完整表格：
|0|2|4|6|
|1|4|7|10|
|2|6|10|14|
|3|8|13|18|
2. 统计奇数：表格中奇数为1、7、3、13，共4个，总共有16个数。
3. 计算概率：
有放回抽取两次，总等可能结果数为16×16=256；
两次均为奇数的等可能结果数为4×4=16；
故所求概率为$\frac{16}{256}=\frac{1}{16}$。
【答案】
$\frac{1}{16}$
【知识点】
等差数列，概率计算
【点评】
本题结合等差数列的定义与概率的基本计算，需先补全表格再统计奇数个数，步骤明确，考查学生对概念的理解和基本计算能力，属于中等难度的基础应用题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先根据“每一横行、每一竖列都成等差数列”的定义补全4×4表格，再统计表格中奇数的个数，最后结合有放回抽样的概率计算方法求解。具体步骤：①利用等差数列公差的性质，先补全第一行和第一列，再依次补全其余行和列，得到完整表格；②统计表格中奇数的总数量；③计算有放回抽取两次均为奇数的概率：总情况数为16×16，两次均为奇数的情况数为奇数个数×奇数个数，两者的比值即为所求概率。
【解析】
1. 补全表格：
第一行：已知前两个数为0、2，公差为2-0=2，故第一行四个数为0，2，2+2=4，4+2=6；
第一列：已知前两个数为0、1，公差为1-0=1，故第一列四个数为0，1，1+1=2，2+1=3；
其余行/列：根据等差数列性质，依次补全得完整表格：
|0|2|4|6|
|1|4|7|10|
|2|6|10|14|
|3|8|13|18|
2. 统计奇数：表格中奇数为1、7、3、13，共4个，总共有16个数。
3. 计算概率：
有放回抽取两次，总等可能结果数为16×16=256；
两次均为奇数的等可能结果数为4×4=16；
故所求概率为$\frac{16}{256}=\frac{1}{16}$。
【答案】
$\frac{1}{16}$
【知识点】
等差数列，概率计算
【点评】
本题结合等差数列的定义与概率的基本计算，需先补全表格再统计奇数个数，步骤明确，考查学生对概念的理解和基本计算能力，属于中等难度的基础应用题。
【难度系数】
0.5
三、解答题(共44分)
15.(8分)(2025·陕西中考)某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动,班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”(分别记作A,B,C,D,E)共五个研究方向,并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案,卡片背面保持完全相同.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,抽到的卡片内容是“科技”的概率为
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张,将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后,小秦代表第一小组从中随机抽取一张,记下结果,放回,背面朝上洗匀后,小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法,求这两个小组研究方向不同的概率.
15.(8分)(2025·陕西中考)某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动,班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”(分别记作A,B,C,D,E)共五个研究方向,并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案,卡片背面保持完全相同.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,抽到的卡片内容是“科技”的概率为
$\frac{1}{5}$
;(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张,将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后,小秦代表第一小组从中随机抽取一张,记下结果,放回,背面朝上洗匀后,小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法,求这两个小组研究方向不同的概率.
答案
15.(1)$\frac{1}{5}$ 解析:
∵一共有五张卡片,卡片内容是“科技”的有一张,
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,抽到的卡片内容是“科技”的概率为$\frac{1}{5}$.
(2)依题意,画树状图如下所示：
∴一共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴这两个小组研究方向不同的概率=$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，分为两小问。第(1)问是单次随机抽取，属于简单古典概型，直接利用概率公式即可求解；第(2)问是放回式的两次随机抽取，需通过树状图列举所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，进而计算概率。解题关键是明确“放回抽取”意味着两次抽取的情况相互独立，总结果数为两次抽取情况数的乘积。
【解析】
(1) 总共有5张卡片，其中内容为“科技”的卡片有1张，根据古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得抽到“科技”的概率为$\frac{1}{5}$。
(2) 因为是放回抽取，第一次抽取有5种等可能结果，第二次抽取也有5种等可能结果，根据题意画树状图（如图所示），可知总共有$5×5=25$种等可能的结果；其中两个小组研究方向相同的结果有5种（即(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)、(E,E)），因此两个小组研究方向不同的结果数为$25-5=20$种，故所求概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$；(2)树状图如题目中第二个图，概率为$\frac{4}{5}$
【知识点】
古典概型、概率计算、树状图求概率
【点评】
本题结合实践活动情境考查基础概率知识，是中考常见的基础题型，重点考查学生对古典概型和放回试验概率计算的掌握，需注意区分放回与不放回试验的结果数差异，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查古典概型的概率计算，分为两小问。第(1)问是单次随机抽取，属于简单古典概型，直接利用概率公式即可求解；第(2)问是放回式的两次随机抽取，需通过树状图列举所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，进而计算概率。解题关键是明确“放回抽取”意味着两次抽取的情况相互独立，总结果数为两次抽取情况数的乘积。
【解析】
(1) 总共有5张卡片，其中内容为“科技”的卡片有1张，根据古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得抽到“科技”的概率为$\frac{1}{5}$。
(2) 因为是放回抽取，第一次抽取有5种等可能结果，第二次抽取也有5种等可能结果，根据题意画树状图（如图所示），可知总共有$5×5=25$种等可能的结果；其中两个小组研究方向相同的结果有5种（即(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)、(E,E)），因此两个小组研究方向不同的结果数为$25-5=20$种，故所求概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$；(2)树状图如题目中第二个图，概率为$\frac{4}{5}$
【知识点】
古典概型、概率计算、树状图求概率
【点评】
本题结合实践活动情境考查基础概率知识，是中考常见的基础题型，重点考查学生对古典概型和放回试验概率计算的掌握，需注意区分放回与不放回试验的结果数差异，难度适中。
【难度系数】
0.6
