1. 下列条件中不能确定一个圆的是 （）

A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上的三个已知点

1. D

【分析】
要判断哪个条件不能确定一个圆，需先明确确定圆的核心条件：一是圆心（确定位置）和半径（确定大小）可唯一确定圆；二是“不在同一直线上的三点确定一个圆”。接下来逐个分析选项：A选项圆心与半径直接确定圆；B选项直径可推出半径和圆心，能确定圆；C选项三角形三个顶点不共线，可确定圆；D选项平面上的三个点若共线则无法确定圆，因此不能确定圆的是D。
【解析】
根据确定圆的条件逐一分析选项：
1. 选项A：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，已知圆心与半径可唯一确定一个圆，故A不符合题意；
2. 选项B：直径确定时，圆心为直径的中点，半径为直径长度的一半，因此可唯一确定一个圆，故B不符合题意；
3. 选项C：三角形的三个顶点不共线（三角形的定义是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形），根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可知三角形的三个顶点能确定一个圆，故C不符合题意；
4. 选项D：若平面上的三个已知点在同一直线上，则无法确定一个圆，只有当三点不在同一直线上时才能确定圆，因此平面上的三个已知点不能确定一个圆，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定条件
【点评】
本题考查圆的确定的基础概念，核心是掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，易错点在于忽略三点共线时无法确定圆的情况，属于基础概念题，难度不大。
【难度系数】
0.3

2. 已知点 $A,B$, 且 $AB＜4$, 画经过 $A,B$ 两点且半径为 2 的圆有（）

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.无数个

2. C 提示:根据题意作图如下,由图可知经过A,B两点且半径为2的圆有2个。

【分析】要确定经过A、B两点且半径为2的圆，需明确：经过两点的圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上，且圆心到A（或B）的距离等于半径。因此，只需判断以A为圆心、2为半径的弧与AB的垂直平分线的交点数量，即可确定符合条件的圆的个数。由于AB＜4，AB的一半小于2，根据几何性质，以A为圆心2为半径的弧与AB的垂直平分线会有2个交点，对应2个不同的圆心，因此能画出2个符合条件的圆。
【解析】1. 确定圆心位置：经过A、B两点的圆的圆心必在AB的垂直平分线上；
2. 确定圆心个数：要使圆半径为2，圆心到A的距离需为2，因此以A为圆心、2为半径作弧，该弧与AB垂直平分线的交点即为符合条件的圆心。因为AB＜4，所以AB中点到A的距离为AB/2＜2，说明垂直平分线上存在2个点到A的距离等于2，即有2个符合条件的圆心，对应2个圆。
【答案】C
【知识点】圆的确定、线段垂直平分线
【点评】本题考查圆的确定条件，核心是利用“经过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”的性质，结合半径长度分析圆心个数，属于几何基础题，需掌握垂直平分线与圆的交点判断方法。
【难度系数】0.5

3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,则四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）

A.①
B.②
C.③
D.④

3. A

【分析】要配出与原来大小一样的圆形镜子，需先确定圆的圆心和半径，根据圆的确定原理：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此碎片上需要有一段完整的圆弧，这样就能在这段弧上选取三个点，进而确定对应的圆，还原原来的镜子。观察四块碎片，只有①包含一段较完整的圆弧，其余碎片的圆弧均不完整，无法找到三个点确定圆，因此①最有可能配到一样的镜子。
【解析】根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，要确定圆形镜子的大小，需碎片上有完整的圆弧，以便选取三个点确定圆心和半径。碎片①有一段完整的圆弧，可通过弧上三点确定对应的圆；碎片②、③、④的圆弧不完整，无法确定对应的圆，因此选A。
【答案】A
【知识点】圆的确定
【点评】本题结合实际场景考查圆的确定的应用，核心是理解确定圆的条件，难度适中。
【难度系数】0.5

4. 在正方形网格中,$△ ABC$的位置如图所示，且顶点在格点上,在$△ ABC$内部有$E,F$,$G,H$四个格点,到$△ ABC$三个顶点距离相等的点是（）

A.点$E$
B.点$F$
C.点$G$
D.点$H$

4. B

【分析】要找到到△ABC三个顶点距离相等的点，需依据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此满足条件的点是△ABC三边垂直平分线的交点（即三角形的外心）。结合网格图，判断E、F、G、H四个点中，哪个是△ABC三边垂直平分线的交点即可。
【解析】根据线段垂直平分线的性质，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。观察网格中的四个点：点E、H不在△ABC三边垂直平分线的交点位置，点G到三个顶点的距离不相等，而点F是△ABC三边垂直平分线的交点，因此点F到△ABC三个顶点的距离相等。
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外心
【点评】本题考查线段垂直平分线性质的应用，核心是理解“到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点”，结合网格图的直观性即可判断，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5

5.（2024 盐城市大丰区期中）如果某直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，那么这个三角形的外接圆半径等于.

5. $\frac{5}{2}$或2

【分析】
要解决这个问题，需先明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，因此外接圆半径为斜边长度的一半。题目仅给出直角三角形的两条边长3和4，未说明这两条边是直角边还是斜边，因此需分两种情况讨论，避免漏解：情况1，3和4均为直角边，先通过勾股定理求斜边；情况2，4为斜边，3为直角边，直接用斜边计算半径。
【解析】
根据直角三角形外接圆性质，外接圆半径 = 斜边长度 ÷ 2，分两种情况计算：
1. 若3和4均为直角边，由勾股定理得斜边长度为：$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，则外接圆半径为 $5 ÷ 2 = \frac{5}{2}$；
2. 若4为斜边，3为直角边，则外接圆半径为 $4 ÷ 2 = 2$；
综上，该三角形的外接圆半径为 $\frac{5}{2}$ 或 2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
直角三角形外接圆性质、勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形外接圆半径的计算，核心是利用“直角三角形外接圆直径为斜边”的性质，需注意题目未明确给定的两条边是否为直角边，需分情况讨论，避免漏解，属于易错题。
【难度系数】
0.5

6. 边长为6 cm的等边三角形的外接圆的半径是。

6. $2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

【分析】
要计算边长为6cm的等边三角形的外接圆半径，需利用等边三角形的性质：等边三角形的外心（外接圆圆心）在其高上，且外心将高分为2:1的比例。首先计算等边三角形的高，再根据比例求出外接圆半径。
【解析】
设边长为6cm的等边三角形为△ABC，其外接圆圆心为O，过A作AD⊥BC于D。
1. 计算等边三角形的高：等边三角形的高AD = (√3/2)×边长 = (√3/2)×6 = 3√3 cm。
2. 利用外心的性质：等边三角形的外心O在高AD上，且AO:OD = 2:1，因此外接圆半径AO = (2/3)×AD = (2/3)×3√3 = 2√3 cm。
【答案】
$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等边三角形的外接圆半径，三角形的外接圆
【点评】
本题考查等边三角形外接圆半径的计算，属于基础题型，核心是利用等边三角形外心的位置性质，难度较低。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,3)$,$B(4,1)$,$C(2,5)$,则$△ ABC$外接圆的圆心坐标是.

7. $(5,4)$

【分析】要找△ABC外接圆的圆心，需明确外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（即外心），因此只需求出任意两边的垂直平分线，它们的交点就是外接圆圆心。先观察点A、C的坐标特征，快速得到AC边的垂直平分线，再求出AB边的垂直平分线，联立两条垂直平分线的方程即可得到交点坐标。
【解析】
1. 求AC边的垂直平分线：
已知A(2,3)，C(2,5)，两点横坐标相同，故AC为竖直线段，AC的中点坐标为$(\frac{2+2}{2},\frac{3+5}{2})=(2,4)$；竖直线段的垂直平分线是水平直线，因此AC的垂直平分线为$y=4$。
2. 求AB边的垂直平分线：
已知A(2,3)，B(4,1)，AB的中点坐标为$(\frac{2+4}{2},\frac{3+1}{2})=(3,2)$；
AB的斜率$k_{AB}=\frac{1-3}{4-2}=-1$，则AB垂直平分线的斜率为其负倒数，即$1$；
根据点斜式，AB的垂直平分线方程为$y-2=1×(x-3)$，整理得$y=x-1$。
3. 求两条垂直平分线的交点：
联立$y=4$和$y=x-1$，代入得$4=x-1$，解得$x=5$，因此交点坐标为$(5,4)$，即△ABC外接圆的圆心坐标为$(5,4)$。
【答案】$(5,4)$
【知识点】三角形外接圆、垂直平分线、平面直角坐标系
【点评】本题考查三角形外心的性质，核心是利用垂直平分线的交点确定外接圆圆心，解题时可先观察特殊边简化计算，结合中点和斜率求垂直平分线，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5

8. 已知等腰三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$. 若 $\odot O$ 的半径为 5,底边 $BC$ 的长为 6,则腰 $AB$ 的长为.

8. $3\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$

【分析】
要解决这个问题，需明确等腰三角形ABC的顶点A在⊙O上的位置有两种情况（BC所对的优弧或劣弧），解题时先通过垂径定理求出BC的弦心距，再结合勾股定理分情况计算腰AB的长度。
【解析】
1. 过圆心O作OD⊥BC于点D，根据垂径定理，OD垂直平分BC，故BD = BC/2 = 6/2 = 3。
2. 在Rt△OBD中，⊙O半径OB=5，由勾股定理得：OD = √(OB² - BD²) = √(5² - 3²) = 4。
3. 分两种情况讨论顶点A的位置：
（1）当A在BC所对的优弧上时，AD = AO + OD = 5 + 4 = 9，在Rt△ABD中，AB = √(AD² + BD²) = √(9² + 3²) = √90 = 3√10；
（2）当A在BC所对的劣弧上时，AD = AO - OD = 5 - 4 = 1，在Rt△ABD中，AB = √(AD² + BD²) = √(1² + 3²) = √10。
综上，腰AB的长为3√10或√10。
【答案】
3√10或√10
【知识点】
垂径定理、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题考查圆内接等腰三角形的边长计算，核心是利用垂径定理求弦心距，再结合勾股定理求解，需注意分情况讨论顶点位置，避免漏解，是圆与三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.4

9. 如图,小明家的房前有一块矩形空地,空地上有三棵树A,B,C.小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1) 请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2) 若在$△ ABC$中,$AB=8\ \mathrm{m}$,$AC=6\ \mathrm{m}$,$∠ BAC=90°$,试求小明家圆形花坛的面积.

9. 解:(1) 如图,⊙O即为所求作的花坛的位置.
(2) 因为$∠BAC=90°$,所以$△ABC$是直角三角形,由作图可知,外接圆圆心在斜边BC的中点处,即BC是$△ABC$外接圆的直径.
因为$AB=8\ \mathrm{m}$,$AC=6\ \mathrm{m}$,所以$BC=10\ \mathrm{m}$,
所以$△ABC$外接圆的半径为5 m,所以小明家圆形花坛的面积为$π·5^2=25π(\mathrm{m}^2)$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需作△ABC的外接圆，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，直径为斜边；第(2)问利用直角三角形外接圆的性质，结合勾股定理求斜边长度，进而计算圆的面积。
【解析】
(1) 尺规作图：分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心O，以O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为所求的花坛位置（保留垂直平分线的交点及作图痕迹）。
(2) 因为∠BAC=90°，所以△ABC是直角三角形，其外接圆的直径为斜边BC。根据勾股定理：
BC = √(AB² + AC²) = √(8² + 6²) = 10(m)，
因此外接圆的半径r = BC/2 = 5(m)，
圆形花坛的面积S = πr² = π×5² = 25π(m²)。
【答案】
(1) 如图，⊙O即为所求作的花坛的位置。 (2) 25π m²
【知识点】
三角形外接圆、直角三角形性质、圆的面积
【点评】
本题结合尺规作图考查直角三角形外接圆的性质，需掌握直角三角形外接圆圆心在斜边中点的特点，利用勾股定理计算边长，进而求圆的面积，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6