10. (★★★)如图,在长方形ABCD中,AB=10 cm,BC=6 cm,试问:将长方形ABCD沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形EFGH与原来的长方形ABCD重叠部分(阴影部分)的面积为24 cm²?

解：设平移的距离为$ x \, \mathrm{cm} $。
平移后重叠部分为长方形，其垂直于AB的边长等于原长方形的宽$ BC = 6 \, \mathrm{cm} $，平行于AB的边长为$ (10 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据重叠部分面积为$ 24 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ 6(10 - x) = 24 $
解方程：
$ 10 - x = 24 ÷ 6 = 4 $
$ x = 10 - 4 = 6 $
答：将长方形ABCD沿着AB方向平移6 cm才能使平移后的长方形与原来的长方形重叠部分的面积为$ 24 \, \mathrm{cm}^2 $。

房间里有12个人聊天，其中有些人总说假话，其余的人总说真话。其中一个人说：“这里没有一个老实人。”第二个人说：“这里至多有一个老实人。”第三个人说：“这里至多有两个老实人。”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有十一个老实人。”聪明的你知道这个房间里究竟有多少个老实人吗？

解：设房间里有$n$个老实人（$n$为整数，$0≤ n≤11$）。
第$k$个人（$k=1,2,\dots,12$）说“这里至多有$(k-1)$个老实人”。
因为老实人说真话，骗子说假话，所以：
当第$k$个人说的话为真时，即$k-1≥ n$，得$k≥ n+1$，此时该人是老实人；
当第$k$个人说的话为假时，即$k-1＜ n$，得$k≤ n$，此时该人是骗子。
因此，老实人的数量等于满足$k≥ n+1$的$k$的个数，即$12-(n+1)+1=12-n$。
可得方程：$n=12-n$，
解得：$2n=12$，$n=6$。
答：房间里有6个老实人。