登录
12. 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法.
如：①用配方法分解因式：$a^2 + 6a + 8$.
解：原式$=a^2 + 6a + 9 - 1 = (a + 3)^2 - 1 = (a + 3 - 1)(a + 3 + 1) = (a + 2)(a + 4)$.
②$M = a^2 - 2ab + 2b^2 - 2b + 2$，利用配方法求$M$的最小值.
解：$a^2 - 2ab + 2b^2 - 2b + 2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2b + 1 + 1 = (a - b)^2 + (b - 1)^2 + 1$.
因为$(a - b)^2 ≥ 0, (b - 1)^2 ≥ 0$，
所以当$a = b = 1$时，$M$的最小值是$1$.
请根据上述材料，解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：$x^2 - \frac{2}{3}x + \_\_\_\_\_\_$；
(2)用配方法分解因式：$x^2 - 4xy + 3y^2$；
(3)已知$M = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 1$，求$M$的最小值.
如：①用配方法分解因式：$a^2 + 6a + 8$.
解：原式$=a^2 + 6a + 9 - 1 = (a + 3)^2 - 1 = (a + 3 - 1)(a + 3 + 1) = (a + 2)(a + 4)$.
②$M = a^2 - 2ab + 2b^2 - 2b + 2$，利用配方法求$M$的最小值.
解：$a^2 - 2ab + 2b^2 - 2b + 2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2b + 1 + 1 = (a - b)^2 + (b - 1)^2 + 1$.
因为$(a - b)^2 ≥ 0, (b - 1)^2 ≥ 0$，
所以当$a = b = 1$时，$M$的最小值是$1$.
请根据上述材料，解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：$x^2 - \frac{2}{3}x + \_\_\_\_\_\_$；
(2)用配方法分解因式：$x^2 - 4xy + 3y^2$；
(3)已知$M = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 1$，求$M$的最小值.
答案
12.解:(1)$\frac{1}{9}$
(2)原式$=x^2-4xy+4y^2-y^2=(x-2y)^2-y^2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y).$
(3)$M=\frac{1}{4}x^2+2x-1=\frac{1}{4}x^2+2x+4-5=(\frac{1}{2}x+2)^2-5.$因为$(\frac{1}{2}x+2)^2≥0$,所以$M$的最小值是$-5.$
(2)原式$=x^2-4xy+4y^2-y^2=(x-2y)^2-y^2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y).$
(3)$M=\frac{1}{4}x^2+2x-1=\frac{1}{4}x^2+2x+4-5=(\frac{1}{2}x+2)^2-5.$因为$(\frac{1}{2}x+2)^2≥0$,所以$M$的最小值是$-5.$
解析
【分析】
(1) 完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，本题中$x^2$对应$a^2$，一次项$-\frac{2}{3}x$对应$\pm2ab$，由此可算出$b=\frac{1}{3}$，需要添加的常数就是$b^2$，计算即可得到结果。
(2) 参照材料中的配方法因式分解思路，先将含$x、y$的二次项配成完全平方式：$x^2-4xy$加上$4y^2$可凑成$(x-2y)^2$，为保证原式不变，需再减去$y^2$，此时原式转化为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(3) 求代数式的最小值，先将含$x$的项配成完全平方式：$\frac{1}{4}x^2+2x$加上4可凑成$(\frac{1}{2}x+2)^2$，为保证原式不变，需再减去4，结合原式的常数项-1，整理后得到完全平方加常数的形式，根据平方的非负性，完全平方的最小值为0，即可求出$M$的最小值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式，一次项系数为$-\frac{2}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，故应填$\frac{1}{9}$。
(2) 对$x^2-4xy+3y^2$进行配方：
原式$=x^2-4xy+4y^2-y^2$
$=(x-2y)^2 - y^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$=(x-2y+y)(x-2y-y)$
$=(x-y)(x-3y)$
(3) 对$M=\frac{1}{4}x^2 + 2x -1$进行配方：
$M=\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 - 4 -1$
$=(\frac{1}{2}x + 2)^2 -5$
$\because (\frac{1}{2}x + 2)^2 ≥ 0$
$\therefore$当$(\frac{1}{2}x + 2)^2=0$时，$M$取得最小值，最小值为$-5$。
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) $(x-y)(x-3y)$；(3) $-5$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题以材料阅读的形式考查配方法的实际应用，需要准确掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方法解决构造完全平方式、因式分解、代数式最值等相关问题，是对公式应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.75
(1) 完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，本题中$x^2$对应$a^2$，一次项$-\frac{2}{3}x$对应$\pm2ab$，由此可算出$b=\frac{1}{3}$，需要添加的常数就是$b^2$，计算即可得到结果。
(2) 参照材料中的配方法因式分解思路，先将含$x、y$的二次项配成完全平方式：$x^2-4xy$加上$4y^2$可凑成$(x-2y)^2$，为保证原式不变，需再减去$y^2$，此时原式转化为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(3) 求代数式的最小值，先将含$x$的项配成完全平方式：$\frac{1}{4}x^2+2x$加上4可凑成$(\frac{1}{2}x+2)^2$，为保证原式不变，需再减去4，结合原式的常数项-1，整理后得到完全平方加常数的形式，根据平方的非负性，完全平方的最小值为0，即可求出$M$的最小值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式，一次项系数为$-\frac{2}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，故应填$\frac{1}{9}$。
(2) 对$x^2-4xy+3y^2$进行配方：
原式$=x^2-4xy+4y^2-y^2$
$=(x-2y)^2 - y^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$=(x-2y+y)(x-2y-y)$
$=(x-y)(x-3y)$
(3) 对$M=\frac{1}{4}x^2 + 2x -1$进行配方：
$M=\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 - 4 -1$
$=(\frac{1}{2}x + 2)^2 -5$
$\because (\frac{1}{2}x + 2)^2 ≥ 0$
$\therefore$当$(\frac{1}{2}x + 2)^2=0$时，$M$取得最小值，最小值为$-5$。
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) $(x-y)(x-3y)$；(3) $-5$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题以材料阅读的形式考查配方法的实际应用，需要准确掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方法解决构造完全平方式、因式分解、代数式最值等相关问题，是对公式应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.75
