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9 有下列各式：$-\dfrac{3}{4}x^2$，$2x - y$，$\dfrac{1}{2025x}$，$\dfrac{1}{a^3}$，$x^2y + 1$，$-2$，$\dfrac{1}{π}$。其中，整式有（
A.7个
B.6个
C.5个
D.4个
C
）A.7个
B.6个
C.5个
D.4个
答案
9. C
解析
【分析】
解题前先明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，核心判定依据是式子的分母中不能含有字母（注意π是圆周率，属于固定常数，不是字母）。解题时只需逐个排查给出的式子，排除分母含字母的式子，统计剩余符合要求的整式个数，对应选项即可。
【解析】
首先明确整式定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含有字母（π为常数，不属于字母）。对给出的式子逐个判断：
1. $-\dfrac{3}{4}x^2$：是单项式，分母无字母，属于整式；
2. $2x - y$：是多项式，属于整式；
3. $\dfrac{1}{2025x}$：分母含字母x，不属于整式；
4. $\dfrac{1}{a^3}$：分母含字母a，不属于整式；
5. $x^2y + 1$：是多项式，属于整式；
6. $-2$：是常数单项式，属于整式；
7. $\dfrac{1}{π}$：π为常数，分母无字母，是单项式，属于整式。
综上，符合要求的整式共有5个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式；多项式
【点评】
本题重点考查整式的判定，常见易错点是误将π当作字母，或忽略常数属于单项式的范畴，牢记整式分母不含字母的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题前先明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，核心判定依据是式子的分母中不能含有字母（注意π是圆周率，属于固定常数，不是字母）。解题时只需逐个排查给出的式子，排除分母含字母的式子，统计剩余符合要求的整式个数，对应选项即可。
【解析】
首先明确整式定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含有字母（π为常数，不属于字母）。对给出的式子逐个判断：
1. $-\dfrac{3}{4}x^2$：是单项式，分母无字母，属于整式；
2. $2x - y$：是多项式，属于整式；
3. $\dfrac{1}{2025x}$：分母含字母x，不属于整式；
4. $\dfrac{1}{a^3}$：分母含字母a，不属于整式；
5. $x^2y + 1$：是多项式，属于整式；
6. $-2$：是常数单项式，属于整式；
7. $\dfrac{1}{π}$：π为常数，分母无字母，是单项式，属于整式。
综上，符合要求的整式共有5个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的定义；单项式；多项式
【点评】
本题重点考查整式的判定，常见易错点是误将π当作字母，或忽略常数属于单项式的范畴，牢记整式分母不含字母的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10 [2026南通期中]若多项式$(m-2)x^4 + 3x^{|n|} + (n-3)x^2 +5$是关于$x$的三次三项式，则$m,n$的值分别是（
A.$m=2,n=3$
B.$m=2,n=-3$
C.$m=-2,n=3$
D.$m=-2,n=-3$
B
）A.$m=2,n=3$
B.$m=2,n=-3$
C.$m=-2,n=3$
D.$m=-2,n=-3$
答案
10. B
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣“三次三项式”的定义分步推导：第一步，多项式的次数是最高次项的次数，原式存在四次项，若要最高次为3，必须让四次项的系数为0，先求出m的值；第二步，根据最高次为3，确定含|n|的项的次数为3，得到n的可能取值；第三步，结合“三项式”的要求，排除会导致项数不足3的n值，最终确定m、n的取值。
【解析】
∵ 多项式$(m-2)x^4 + 3x^{|n|} + (n-3)x^2 +5$是关于$x$的三次三项式
1. 处理四次项：要使多项式无四次项（否则最高次为4，不符合三次的要求），则四次项系数为0，即：
$m-2=0$，解得$m=2$，可排除选项C、D。
2. 确定最高次项次数：多项式最高次为3，因此$3x^{|n|}$是最高次项，其次数为3，即：
$|n|=3$，解得$n=3$或$n=-3$。
3. 验证三项式要求：若$n=3$，则二次项系数$n-3=0$，二次项消失，此时多项式变为$3x^3+5$，仅2项，不符合三项式要求，故$n≠3$；
当$n=-3$时，二次项系数为$-3-3=-6≠0$，此时多项式为$3x^3-6x^2+5$，共3项，最高次为3，符合要求。
综上，$m=2$，$n=-3$。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、多项式的次数、多项式的项
【点评】
本题核心是对多项式次数和项数定义的准确理解，易错点是仅考虑最高次的要求，忽略三项式的限制，误选A选项，解题时要注意：系数为0的项不计入多项式的项数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣“三次三项式”的定义分步推导：第一步，多项式的次数是最高次项的次数，原式存在四次项，若要最高次为3，必须让四次项的系数为0，先求出m的值；第二步，根据最高次为3，确定含|n|的项的次数为3，得到n的可能取值；第三步，结合“三项式”的要求，排除会导致项数不足3的n值，最终确定m、n的取值。
【解析】
∵ 多项式$(m-2)x^4 + 3x^{|n|} + (n-3)x^2 +5$是关于$x$的三次三项式
1. 处理四次项：要使多项式无四次项（否则最高次为4，不符合三次的要求），则四次项系数为0，即：
$m-2=0$，解得$m=2$，可排除选项C、D。
2. 确定最高次项次数：多项式最高次为3，因此$3x^{|n|}$是最高次项，其次数为3，即：
$|n|=3$，解得$n=3$或$n=-3$。
3. 验证三项式要求：若$n=3$，则二次项系数$n-3=0$，二次项消失，此时多项式变为$3x^3+5$，仅2项，不符合三项式要求，故$n≠3$；
当$n=-3$时，二次项系数为$-3-3=-6≠0$，此时多项式为$3x^3-6x^2+5$，共3项，最高次为3，符合要求。
综上，$m=2$，$n=-3$。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、多项式的次数、多项式的项
【点评】
本题核心是对多项式次数和项数定义的准确理解，易错点是仅考虑最高次的要求，忽略三项式的限制，误选A选项，解题时要注意：系数为0的项不计入多项式的项数。
【难度系数】
0.7
11 多项式$\dfrac{3a^2 -1}{2}$的常数项为
$-\dfrac{1}{2}$
。答案
11. $-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要求多项式的常数项，首先回忆常数项的定义：多项式中不含字母的项叫做常数项。首先将给定的分数形式的多项式拆分为若干个单项式的和，拆分时注意每一项都要除以分母，同时保留原有符号，再从中找出不含字母的项即可。
【解析】
先对多项式进行变形：
$\dfrac{3a^2 -1}{2} = \dfrac{3a^2}{2} + \dfrac{-1}{2} = \dfrac{3}{2}a^2 - \dfrac{1}{2}$
根据常数项的定义，多项式中不含字母的项为常数项。该多项式中$\dfrac{3}{2}a^2$是含字母$a$的二次项，$-\dfrac{1}{2}$不含字母，即为常数项。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
多项式的项；常数项的概念
【点评】
本题考查多项式的基本概念，解题的关键是正确拆分多项式，同时注意常数项需要包含前面的符号，避免忽略负号出现错误。
【难度系数】
0.7
要求多项式的常数项，首先回忆常数项的定义：多项式中不含字母的项叫做常数项。首先将给定的分数形式的多项式拆分为若干个单项式的和，拆分时注意每一项都要除以分母，同时保留原有符号，再从中找出不含字母的项即可。
【解析】
先对多项式进行变形：
$\dfrac{3a^2 -1}{2} = \dfrac{3a^2}{2} + \dfrac{-1}{2} = \dfrac{3}{2}a^2 - \dfrac{1}{2}$
根据常数项的定义，多项式中不含字母的项为常数项。该多项式中$\dfrac{3}{2}a^2$是含字母$a$的二次项，$-\dfrac{1}{2}$不含字母，即为常数项。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
多项式的项；常数项的概念
【点评】
本题考查多项式的基本概念，解题的关键是正确拆分多项式，同时注意常数项需要包含前面的符号，避免忽略负号出现错误。
【难度系数】
0.7
12（易错题）如图，一个长方形和一个大正方形有一部分重叠在一起，已知重叠部分（图中的空白部分）是边长为3的小正方形，则涂色部分的面积是
$mn+a^2-18$
。答案
12. $mn+a^2-18$
解析
【分析】
要计算涂色部分的总面积，可拆分思路求解：首先分别求出长方形、正方形的涂色面积，再相加得到总涂色面积。解题时先回忆基础图形的面积公式，注意重叠的空白小正方形在长方形和正方形中各占一块未涂色区域，因此两个图形的涂色面积都需要各自减去空白小正方形的面积，不要只减一次空白面积，这是本题的易错点。
【解析】
1. 计算各基础图形的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $mn$
边长为$a$的正方形面积 = 边长×边长 = $a^2$
重叠空白小正方形的面积 = $3×3=9$
2. 分别计算两个图形的涂色面积：
长方形的涂色面积 = 长方形面积 - 空白面积 = $mn-9$
正方形的涂色面积 = 正方形面积 - 空白面积 = $a^2-9$
3. 计算总涂色面积：
总涂色面积 = 长方形涂色面积 + 正方形涂色面积 = $(mn-9)+(a^2-9)=mn+a^2-18$
【答案】
$mn+a^2-18$
【知识点】
面积计算，整式加减，重叠问题处理
【点评】
本题是易错题，解题核心是明确重叠的空白区域在两个图形中都属于未涂色部分，需要分别扣除对应面积，避免出现仅扣除一次空白面积的错误。
【难度系数】
0.7
要计算涂色部分的总面积，可拆分思路求解：首先分别求出长方形、正方形的涂色面积，再相加得到总涂色面积。解题时先回忆基础图形的面积公式，注意重叠的空白小正方形在长方形和正方形中各占一块未涂色区域，因此两个图形的涂色面积都需要各自减去空白小正方形的面积，不要只减一次空白面积，这是本题的易错点。
【解析】
1. 计算各基础图形的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $mn$
边长为$a$的正方形面积 = 边长×边长 = $a^2$
重叠空白小正方形的面积 = $3×3=9$
2. 分别计算两个图形的涂色面积：
长方形的涂色面积 = 长方形面积 - 空白面积 = $mn-9$
正方形的涂色面积 = 正方形面积 - 空白面积 = $a^2-9$
3. 计算总涂色面积：
总涂色面积 = 长方形涂色面积 + 正方形涂色面积 = $(mn-9)+(a^2-9)=mn+a^2-18$
【答案】
$mn+a^2-18$
【知识点】
面积计算，整式加减，重叠问题处理
【点评】
本题是易错题，解题核心是明确重叠的空白区域在两个图形中都属于未涂色部分，需要分别扣除对应面积，避免出现仅扣除一次空白面积的错误。
【难度系数】
0.7
13 已知关于$x$的多项式$ax^3+(a-6)x^2+(b+2)x+a$的次数为3.
（1）若不含二次项和一次项，求$\frac{a}{b}$的值.
（2）该多项式的常数项可能为0吗？为什么？
（1）若不含二次项和一次项，求$\frac{a}{b}$的值.
（2）该多项式的常数项可能为0吗？为什么？
答案
13.（1）由题意，得$a-6=0,b+2=0$，即$a=6,b=-2$. 所以$\frac{a}{b}=\frac{6}{-2}=-3$ （2）该多项式的常数项不可能为0 因为若常数项为0，则$a=0$，此时$ax^3=0$，这与条件“多项式的次数为3”矛盾，所以该多项式的常数项不可能为0
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心思路：首先明确多项式的基本规则，若多项式不含某一项，说明该项的系数为0。本题中不含二次项和一次项，即二次项系数$a-6$、一次项系数$b+2$都等于0，据此求出$a$、$b$的值后，代入$\frac{a}{b}$计算即可，同时要结合“多项式次数为3”的条件，验证三次项系数$a$不为0，保证结果符合要求。
（2）解决第二问的核心思路：先找到多项式的常数项为$a$，假设常数项为0，可推出$a=0$，此时三次项$ax^3$也为0，多项式最高次数就小于3，和题目给出的“次数为3”的条件矛盾，因此可得出结论。
【解析】
（1）由题意，多项式不含二次项和一次项，因此二次项、一次项的系数均为0，可得：
$a-6=0$，$b+2=0$
解得$a=6$，$b=-2$，且$a=6≠0$，符合多项式次数为3的条件。
代入得$\frac{a}{b}=\frac{6}{-2}=-3$。
（2）该多项式的常数项不可能为0，理由如下：
若常数项为0，则$a=0$，此时三次项$ax^3=0$，多项式最高次项的次数小于3，与“多项式的次数为3”的已知条件矛盾，因此常数项不可能为0。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3}$；（2）不可能，若常数项为0则$a=0$，此时三次项为0，与多项式次数为3的条件矛盾。
【知识点】
多项式的次数、多项式的项与系数、代数式求值
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题的关键是掌握两个核心规则：一是不含某一项等价于该项的系数为0，二是多项式次数为$n$时，最高次项的系数不能为0，后者是本题的隐含条件，解题时容易遗漏。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心思路：首先明确多项式的基本规则，若多项式不含某一项，说明该项的系数为0。本题中不含二次项和一次项，即二次项系数$a-6$、一次项系数$b+2$都等于0，据此求出$a$、$b$的值后，代入$\frac{a}{b}$计算即可，同时要结合“多项式次数为3”的条件，验证三次项系数$a$不为0，保证结果符合要求。
（2）解决第二问的核心思路：先找到多项式的常数项为$a$，假设常数项为0，可推出$a=0$，此时三次项$ax^3$也为0，多项式最高次数就小于3，和题目给出的“次数为3”的条件矛盾，因此可得出结论。
【解析】
（1）由题意，多项式不含二次项和一次项，因此二次项、一次项的系数均为0，可得：
$a-6=0$，$b+2=0$
解得$a=6$，$b=-2$，且$a=6≠0$，符合多项式次数为3的条件。
代入得$\frac{a}{b}=\frac{6}{-2}=-3$。
（2）该多项式的常数项不可能为0，理由如下：
若常数项为0，则$a=0$，此时三次项$ax^3=0$，多项式最高次项的次数小于3，与“多项式的次数为3”的已知条件矛盾，因此常数项不可能为0。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3}$；（2）不可能，若常数项为0则$a=0$，此时三次项为0，与多项式次数为3的条件矛盾。
【知识点】
多项式的次数、多项式的项与系数、代数式求值
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题的关键是掌握两个核心规则：一是不含某一项等价于该项的系数为0，二是多项式次数为$n$时，最高次项的系数不能为0，后者是本题的隐含条件，解题时容易遗漏。
【难度系数】
0.8
14 某旅游团乘轮船出游，轮船顺流航行4 h，逆流航行2 h. 已知轮船在静水中航行的速度为x km/h，水流的速度为y km/h，则轮船一共航行了多少千米？当x=30，y=10时，轮船一共航行了多少千米？
答案
14. 轮船一共航行了$[4(x+y)+2(x-y)]\mathrm{km}$. 当$x=30,y=10$时，$4(x+y)+2(x-y)=4×(30+10)+2×(30-10)=200$，所以轮船一共航行了200 km
解析
【分析】
要解决这个问题，首先结合行程问题的核心公式“路程=速度×时间”思考：第一步先明确轮船顺流、逆流的航行速度，顺流时水流推动轮船，所以顺流速度=静水速度+水流速度；逆流时水流阻碍轮船，所以逆流速度=静水速度-水流速度。第二步分别计算顺流、逆流的航行路程，相加即可得到总路程的代数式。第三步将x、y的取值代入代数式，就能算出具体的总航行路程。
【解析】
解：1. 计算两段航行的路程：
轮船顺流速度为$(x+y)\ \mathrm{km/h}$，顺流航行4h的路程为$4(x+y)\ \mathrm{km}$；
轮船逆流速度为$(x-y)\ \mathrm{km/h}$，逆流航行2h的路程为$2(x-y)\ \mathrm{km}$；
因此轮船的总航行路程为$[4(x+y)+2(x-y)]\ \mathrm{km}$。
2. 代入数值计算：
当$x=30$，$y=10$时，
$\begin{aligned}4(x+y)+2(x-y)&=4×(30+10)+2×(30-10)\\&=4×40+2×20\\&=160+40\\&=200\end{aligned}$
【答案】
轮船一共航行了$[4(x+y)+2(x-y)]\mathrm{km}$；当$x=30,y=10$时，轮船一共航行了200 km
【知识点】
1. 流水行船速度关系 2. 列代数式 3. 代数式求值
【点评】
本题结合行程场景考查整式的基础应用，解题关键是正确区分顺流、逆流的速度表示方法，再结合路程公式列出代数式并代入计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先结合行程问题的核心公式“路程=速度×时间”思考：第一步先明确轮船顺流、逆流的航行速度，顺流时水流推动轮船，所以顺流速度=静水速度+水流速度；逆流时水流阻碍轮船，所以逆流速度=静水速度-水流速度。第二步分别计算顺流、逆流的航行路程，相加即可得到总路程的代数式。第三步将x、y的取值代入代数式，就能算出具体的总航行路程。
【解析】
解：1. 计算两段航行的路程：
轮船顺流速度为$(x+y)\ \mathrm{km/h}$，顺流航行4h的路程为$4(x+y)\ \mathrm{km}$；
轮船逆流速度为$(x-y)\ \mathrm{km/h}$，逆流航行2h的路程为$2(x-y)\ \mathrm{km}$；
因此轮船的总航行路程为$[4(x+y)+2(x-y)]\ \mathrm{km}$。
2. 代入数值计算：
当$x=30$，$y=10$时，
$\begin{aligned}4(x+y)+2(x-y)&=4×(30+10)+2×(30-10)\\&=4×40+2×20\\&=160+40\\&=200\end{aligned}$
【答案】
轮船一共航行了$[4(x+y)+2(x-y)]\mathrm{km}$；当$x=30,y=10$时，轮船一共航行了200 km
【知识点】
1. 流水行船速度关系 2. 列代数式 3. 代数式求值
【点评】
本题结合行程场景考查整式的基础应用，解题关键是正确区分顺流、逆流的速度表示方法，再结合路程公式列出代数式并代入计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
15 四人做传数游戏，甲任取一个数传给乙，乙把这个数加1传给丙，丙再把所听到的数平方后传给丁，丁把所听到的数减1报出来。设甲任取的一个数为a。
（1）请把游戏过程用代数式的形式写出来；
（2）若甲取的数为19，则丁报出来的数是多少？
（1）请把游戏过程用代数式的形式写出来；
（2）若甲取的数为19，则丁报出来的数是多少？
答案
15.（1）$(a+1)^2-1$ （2）当$a=19$时，$(a+1)^2-1=(19+1)^2-1=399$，即丁报出来的数是399
解析
【分析】
（1）解决第一问时，需按照传数的顺序逐步推导：先确定甲传出的数是a，再根据乙、丙、丁每一步的运算规则，依次写出每一步传递的数，最终整理出丁报出的数对应的代数式，注意加法运算后再平方时，要给加法部分加上括号保证运算顺序正确。
（2）解决第二问时，只需将a=19代入第一问得到的代数式中，按照先算括号内、再算乘方、最后算减法的顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）甲取的数为a：
①乙接到数后加1，传给丙的数为：$a+1$；
②丙接到数后平方，传给丁的数为：$(a+1)^2$；
③丁接到数后减1，最终报出的代数式为：$(a+1)^2 -1$。
（2）当$a=19$时，代入代数式$(a+1)^2 -1$计算：
$\begin{aligned}(a+1)^2 -1&=(19+1)^2 -1\\&=20^2 -1\\&=400 -1\\&=399\end{aligned}$
【答案】
（1）$(a+1)^2-1$ （2）399
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是理清传数过程中每一步的运算顺序，列代数式时注意括号的正确使用，代入求值时严格遵循有理数的运算规则即可。
【难度系数】
0.85
（1）解决第一问时，需按照传数的顺序逐步推导：先确定甲传出的数是a，再根据乙、丙、丁每一步的运算规则，依次写出每一步传递的数，最终整理出丁报出的数对应的代数式，注意加法运算后再平方时，要给加法部分加上括号保证运算顺序正确。
（2）解决第二问时，只需将a=19代入第一问得到的代数式中，按照先算括号内、再算乘方、最后算减法的顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）甲取的数为a：
①乙接到数后加1，传给丙的数为：$a+1$；
②丙接到数后平方，传给丁的数为：$(a+1)^2$；
③丁接到数后减1，最终报出的代数式为：$(a+1)^2 -1$。
（2）当$a=19$时，代入代数式$(a+1)^2 -1$计算：
$\begin{aligned}(a+1)^2 -1&=(19+1)^2 -1\\&=20^2 -1\\&=400 -1\\&=399\end{aligned}$
【答案】
（1）$(a+1)^2-1$ （2）399
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是理清传数过程中每一步的运算顺序，列代数式时注意括号的正确使用，代入求值时严格遵循有理数的运算规则即可。
【难度系数】
0.85
