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1.若$a+b=4,a-b=1$,则$(a-1)^2-(b+1)^2$的值为
-4
。答案
-4
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，是两个整式的平方相减，符合平方差公式的特征，因此优先考虑用平方差公式对其因式分解，无需单独求解a、b的值，分解后将式子整理为含有已知条件$a+b$、$a-b$的形式，再代入数值计算即可，这种方法比先解方程组求a、b再代入更简便，也能减少计算错误。
【解析】
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，对所求式子因式分解：
$\begin{aligned}(a-1)^2 - (b+1)^2&=[(a-1)+(b+1)][(a-1)-(b+1)]\\&=(a-1+b+1)(a-1-b-1)\\&=(a+b)(a-b-2)\end{aligned}$
已知$a+b=4$，$a-b=1$，代入上式得：
原式$=4×(1 - 2)=4×(-1)=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题时先观察代数式的结构特征，选择合适的方法化简，能大幅简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，是两个整式的平方相减，符合平方差公式的特征，因此优先考虑用平方差公式对其因式分解，无需单独求解a、b的值，分解后将式子整理为含有已知条件$a+b$、$a-b$的形式，再代入数值计算即可，这种方法比先解方程组求a、b再代入更简便，也能减少计算错误。
【解析】
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，对所求式子因式分解：
$\begin{aligned}(a-1)^2 - (b+1)^2&=[(a-1)+(b+1)][(a-1)-(b+1)]\\&=(a-1+b+1)(a-1-b-1)\\&=(a+b)(a-b-2)\end{aligned}$
已知$a+b=4$，$a-b=1$，代入上式得：
原式$=4×(1 - 2)=4×(-1)=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题时先观察代数式的结构特征，选择合适的方法化简，能大幅简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2.利用因式分解计算：$2027^2 - 2026^2 + 2025^2 - 2024^2 =$
8102
.答案
8102
解析
【分析】
观察算式可知，式子是两组相邻整数的平方差的和，符合平方差公式的结构特征。解题思路为：先将式子分组为两组平方差的形式，分别套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$进行因式分解，再化简计算即可，无需直接计算高次幂，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：利用平方差公式因式分解计算：
$\begin{aligned}原式&=(2027^2 - 2026^2)+(2025^2 - 2024^2)\\&=(2027-2026)(2027+2026)+(2025-2024)(2025+2024)\\&=1×(2027+2026)+1×(2025+2024)\\&=2027+2026+2025+2024\\&=(2027+2024)+(2026+2025)\\&=4051+4051\\&=8102\end{aligned}$
【答案】
8102
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解简便应用
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题核心是识别出算式中的平方差结构，通过分组套用平方差公式将高次运算转化为加法运算，降低计算难度，减少计算出错概率。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，式子是两组相邻整数的平方差的和，符合平方差公式的结构特征。解题思路为：先将式子分组为两组平方差的形式，分别套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$进行因式分解，再化简计算即可，无需直接计算高次幂，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：利用平方差公式因式分解计算：
$\begin{aligned}原式&=(2027^2 - 2026^2)+(2025^2 - 2024^2)\\&=(2027-2026)(2027+2026)+(2025-2024)(2025+2024)\\&=1×(2027+2026)+1×(2025+2024)\\&=2027+2026+2025+2024\\&=(2027+2024)+(2026+2025)\\&=4051+4051\\&=8102\end{aligned}$
【答案】
8102
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解简便应用
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题核心是识别出算式中的平方差结构，通过分组套用平方差公式将高次运算转化为加法运算，降低计算难度，减少计算出错概率。
【难度系数】
0.8
3.已知$a,b,c$是三角形三边,则代数式$(a-b)^2 - c^2$的值为(
A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
B
)A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
首先观察代数式的结构，发现是两个整式的平方差形式，符合平方差公式因式分解的特征，因此第一步优先考虑用平方差公式对代数式因式分解；再结合三角形三边的关系，分别判断分解后两个因式的正负性，最终根据有理数乘法的符号法则即可确定代数式的符号。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
∴$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$
同时$b + c ＞ a$，移项可得$a - b - c ＜ 0$
∵正数乘负数的乘积为负数
∴$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即代数式的值为负数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质结合的典型题目，解题的核心是先对代数式正确因式分解，再结合三边关系判断因式的符号，难度不大，侧重对基础知识的综合运用能力考查。
【难度系数】
0.8
首先观察代数式的结构，发现是两个整式的平方差形式，符合平方差公式因式分解的特征，因此第一步优先考虑用平方差公式对代数式因式分解；再结合三角形三边的关系，分别判断分解后两个因式的正负性，最终根据有理数乘法的符号法则即可确定代数式的符号。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
∴$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$
同时$b + c ＞ a$，移项可得$a - b - c ＜ 0$
∵正数乘负数的乘积为负数
∴$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即代数式的值为负数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质结合的典型题目，解题的核心是先对代数式正确因式分解，再结合三边关系判断因式的符号，难度不大，侧重对基础知识的综合运用能力考查。
【难度系数】
0.8
4.分解因式：
(1)$(2x-3y)^2 - 4x^2$；
(2)$16(a+b)^2 - 9(a-b)^2$；
(3)$3x^3 - 3x$；
(4)$x^4 - 1$；
(5)$2x - 2x^5$；
(6)$81 - x^4$。
(1)$(2x-3y)^2 - 4x^2$；
(2)$16(a+b)^2 - 9(a-b)^2$；
(3)$3x^3 - 3x$；
(4)$x^4 - 1$；
(5)$2x - 2x^5$；
(6)$81 - x^4$。
答案
解:(1)原式$=(2x-3y+2x)(2x-3y-2x)$
$=-3y(4x-3y)$；
(2)原式$=[4(a+b)]^2-[3(a-b)]^2$
$=[4(a+b)+3(a-b)][4(a+b)-3(a-b)]$
$=(7a+b)(a+7b)$；
(3)原式$=3x(x^2-1)$
$=3x(x+1)(x-1)$；
(4)原式$=(x^2-1)(x^2+1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$；
(5)原式$=2x(1-x^4)$
$=2x(1+x)(1-x)(1+x^2)$；
(6)原式$=9^2-(x^2)^2$
$=(9+x^2)(9-x^2)$
$=(9+x^2)(3+x)(3-x)$。
$=-3y(4x-3y)$；
(2)原式$=[4(a+b)]^2-[3(a-b)]^2$
$=[4(a+b)+3(a-b)][4(a+b)-3(a-b)]$
$=(7a+b)(a+7b)$；
(3)原式$=3x(x^2-1)$
$=3x(x+1)(x-1)$；
(4)原式$=(x^2-1)(x^2+1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$；
(5)原式$=2x(1-x^4)$
$=2x(1+x)(1-x)(1+x^2)$；
(6)原式$=9^2-(x^2)^2$
$=(9+x^2)(9-x^2)$
$=(9+x^2)(3+x)(3-x)$。
解析
【分析】
这几道因式分解题可遵循以下思路求解：1. 先观察式子是否有公因式，若有公因式要先提取公因式；2. 再判断剩余的式子是否符合平方差公式的结构特征，即是否是两个数的平方相减的形式（$a^2 - b^2$），若符合则准确找到对应的$a$和$b$，套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行分解；3. 最后检查分解得到的每一个因式，看是否还能继续分解，要保证分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式符合平方差结构，对应$a=2x-3y$，$b=2x$：
原式$=(2x-3y+2x)(2x-3y-2x)$
$=-3y(4x-3y)$
(2) 先将原式变形为平方差形式，对应$a=4(a+b)$，$b=3(a-b)$：
原式$=[4(a+b)]^2-[3(a-b)]^2$
$=[4(a+b)+3(a-b)][4(a+b)-3(a-b)]$
$=(7a+b)(a+7b)$
(3) 先提取公因式$3x$，再对剩余部分用平方差分解：
原式$=3x(x^2-1)$
$=3x(x+1)(x-1)$
(4) 先套用平方差分解，再对可分解的因式继续分解：
原式$=(x^2-1)(x^2+1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(5) 先提取公因式$2x$，再逐步用平方差分解到不能分解为止：
原式$=2x(1-x^4)$
$=2x(1+x^2)(1-x^2)$
$=2x(1+x)(1-x)(1+x^2)$
(6) 先变形为平方差形式，再逐步分解彻底：
原式$=9^2-(x^2)^2$
$=(9+x^2)(9-x^2)$
$=(9+x^2)(3+x)(3-x)$
【答案】
(1) $-3y(4x-3y)$
(2) $(7a+b)(a+7b)$
(3) $3x(x+1)(x-1)$
(4) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(5) $2x(1+x^2)(1+x)(1-x)$
(6) $(9+x^2)(3+x)(3-x)$
【知识点】
提公因式法、平方差公式因式分解、因式分解彻底性
【点评】
这组是因式分解的基础题型，解题时要牢记“先提公因式、再套用公式、最后检查分解是否彻底”的步骤，准确识别平方差公式的结构特征是解题关键。
【难度系数】
0.8
这几道因式分解题可遵循以下思路求解：1. 先观察式子是否有公因式，若有公因式要先提取公因式；2. 再判断剩余的式子是否符合平方差公式的结构特征，即是否是两个数的平方相减的形式（$a^2 - b^2$），若符合则准确找到对应的$a$和$b$，套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行分解；3. 最后检查分解得到的每一个因式，看是否还能继续分解，要保证分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式符合平方差结构，对应$a=2x-3y$，$b=2x$：
原式$=(2x-3y+2x)(2x-3y-2x)$
$=-3y(4x-3y)$
(2) 先将原式变形为平方差形式，对应$a=4(a+b)$，$b=3(a-b)$：
原式$=[4(a+b)]^2-[3(a-b)]^2$
$=[4(a+b)+3(a-b)][4(a+b)-3(a-b)]$
$=(7a+b)(a+7b)$
(3) 先提取公因式$3x$，再对剩余部分用平方差分解：
原式$=3x(x^2-1)$
$=3x(x+1)(x-1)$
(4) 先套用平方差分解，再对可分解的因式继续分解：
原式$=(x^2-1)(x^2+1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(5) 先提取公因式$2x$，再逐步用平方差分解到不能分解为止：
原式$=2x(1-x^4)$
$=2x(1+x^2)(1-x^2)$
$=2x(1+x)(1-x)(1+x^2)$
(6) 先变形为平方差形式，再逐步分解彻底：
原式$=9^2-(x^2)^2$
$=(9+x^2)(9-x^2)$
$=(9+x^2)(3+x)(3-x)$
【答案】
(1) $-3y(4x-3y)$
(2) $(7a+b)(a+7b)$
(3) $3x(x+1)(x-1)$
(4) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(5) $2x(1+x^2)(1+x)(1-x)$
(6) $(9+x^2)(3+x)(3-x)$
【知识点】
提公因式法、平方差公式因式分解、因式分解彻底性
【点评】
这组是因式分解的基础题型，解题时要牢记“先提公因式、再套用公式、最后检查分解是否彻底”的步骤，准确识别平方差公式的结构特征是解题关键。
【难度系数】
0.8
5.求证:无论$n$取何整数时，$(n+5)^2 - (n-1)^2$一定是12的整数倍；
答案
证明:$(n+5)^2-(n-1)^2$
$=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]$
$=12(n+2)$，
又$\because n$为整数，故$(n+5)^2-(n-1)^2$一定是12的整数倍。
$=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]$
$=12(n+2)$，
又$\because n$为整数，故$(n+5)^2-(n-1)^2$一定是12的整数倍。
解析
【分析】
观察待证式子是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此首先考虑用平方差公式对式子因式分解，再对分解后的式子化简，判断化简结果是否包含因数12，最后结合n为整数的条件，即可证明式子是12的整数倍。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}(n+5)^2 - (n-1)^2&=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]\\&=(2n+4)×6\\&=12(n+2)\end{aligned}$
因为n为整数，所以n+2也是整数，因此$12(n+2)$是12的整数倍，即$(n+5)^2 - (n-1)^2$一定是12的整数倍。
【答案】
无论n取何整数时，$(n+5)^2 - (n-1)^2$一定是12的整数倍，得证。
【知识点】
平方差公式因式分解、整式化简、整除判定
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别式子的平方差结构，正确套用公式化简，再结合整数的性质完成整除的证明，属于基础类题型，熟练掌握公式结构能快速解题。
【难度系数】
0.8
观察待证式子是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此首先考虑用平方差公式对式子因式分解，再对分解后的式子化简，判断化简结果是否包含因数12，最后结合n为整数的条件，即可证明式子是12的整数倍。
【解析】
证明：
$\begin{aligned}(n+5)^2 - (n-1)^2&=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]\\&=(2n+4)×6\\&=12(n+2)\end{aligned}$
因为n为整数，所以n+2也是整数，因此$12(n+2)$是12的整数倍，即$(n+5)^2 - (n-1)^2$一定是12的整数倍。
【答案】
无论n取何整数时，$(n+5)^2 - (n-1)^2$一定是12的整数倍，得证。
【知识点】
平方差公式因式分解、整式化简、整除判定
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别式子的平方差结构，正确套用公式化简，再结合整数的性质完成整除的证明，属于基础类题型，熟练掌握公式结构能快速解题。
【难度系数】
0.8
6.(2026·黄冈)阅读材料并解决问题:分解因式$x^2 -4y^2 -2x +4y$时,过程为:$x^2 -4y^2 -2x +4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2)$,这种分解因式的方法叫做分组分解法.利用这种方法解决问题:
(1)分解因式:$x^2 -9y^2 +2x +6y$;
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$ac +a^2 -ab -bc=0$,试判断$△ ABC$的形状.
(1)分解因式:$x^2 -9y^2 +2x +6y$;
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$ac +a^2 -ab -bc=0$,试判断$△ ABC$的形状.
答案
解:(1)$x^2 -9y^2 +2x +6y$
$=(x-3y)(x+3y)+2(x+3y)$
$=(x+3y)(x-3y+2)$；
(2)$ac+a^2-ab-bc$
$=a(a+c)-b(a+c)$
$=(a+c)(a-b)$
$\therefore (a+c)(a-b)=0$，
$\therefore a=b$，$\therefore △ABC$为等腰三角形。
$=(x-3y)(x+3y)+2(x+3y)$
$=(x+3y)(x-3y+2)$；
(2)$ac+a^2-ab-bc$
$=a(a+c)-b(a+c)$
$=(a+c)(a-b)$
$\therefore (a+c)(a-b)=0$，
$\therefore a=b$，$\therefore △ABC$为等腰三角形。
解析
【分析】
（1）观察待分解的式子结构，$x^2-9y^2$符合平方差公式的特征，$2x+6y$有公共因式2，因此采用两两分组的思路，先分别对两组分解因式，再提取两组共有的公因式，即可完成因式分解。
（2）要判断三角形的形状，需先推导三边的数量关系。对等式左边的多项式合理分组，将含$a^2$、$ac$的项分为一组，含$-ab$、$-bc$的项分为另一组，分别提取公因式后再提取整体公因式，将左边转化为乘积形式，结合三角形边长为正数的隐含条件，即可得到边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 分解$x^2 -9y^2 +2x +6y$：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-9y^2)+(2x+6y)\\&=(x-3y)(x+3y)+2(x+3y)\\&=(x+3y)(x-3y+2)\end{aligned}$
(2) 化简等式$ac +a^2 -ab -bc=0$：
$\begin{aligned}左边&=(a^2+ac)+(-ab-bc)\\&=a(a+c)-b(a+c)\\&=(a+c)(a-b)\end{aligned}$
因此$(a+c)(a-b)=0$，
∵$a、c$是$△ ABC$的边长，
∴$a+c＞0$，
∴$a-b=0$，即$a=b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+3y)(x-3y+2)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC为等腰三角形}$
【知识点】
1.分组分解法
2.平方差公式因式分解
3.等腰三角形判定
【点评】
本题重点考查分组分解法的应用，解题关键是根据多项式的结构特征合理分组，保证分组后可通过提取公因式或套用公式继续分解，涉及几何应用时要注意挖掘边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8
（1）观察待分解的式子结构，$x^2-9y^2$符合平方差公式的特征，$2x+6y$有公共因式2，因此采用两两分组的思路，先分别对两组分解因式，再提取两组共有的公因式，即可完成因式分解。
（2）要判断三角形的形状，需先推导三边的数量关系。对等式左边的多项式合理分组，将含$a^2$、$ac$的项分为一组，含$-ab$、$-bc$的项分为另一组，分别提取公因式后再提取整体公因式，将左边转化为乘积形式，结合三角形边长为正数的隐含条件，即可得到边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 分解$x^2 -9y^2 +2x +6y$：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-9y^2)+(2x+6y)\\&=(x-3y)(x+3y)+2(x+3y)\\&=(x+3y)(x-3y+2)\end{aligned}$
(2) 化简等式$ac +a^2 -ab -bc=0$：
$\begin{aligned}左边&=(a^2+ac)+(-ab-bc)\\&=a(a+c)-b(a+c)\\&=(a+c)(a-b)\end{aligned}$
因此$(a+c)(a-b)=0$，
∵$a、c$是$△ ABC$的边长，
∴$a+c＞0$，
∴$a-b=0$，即$a=b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+3y)(x-3y+2)}$
(2) $\boldsymbol{△ ABC为等腰三角形}$
【知识点】
1.分组分解法
2.平方差公式因式分解
3.等腰三角形判定
【点评】
本题重点考查分组分解法的应用，解题关键是根据多项式的结构特征合理分组，保证分组后可通过提取公因式或套用公式继续分解，涉及几何应用时要注意挖掘边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8
