【例1】分解因式：
(1)$x^2 - y^2 =$ ；
(2)$x^2 - 9 =$ ；
(3)$4x^2 - 9 =$ ；
(4)$-m^2 + 1 =$ 。

(1)$(x+y)(x-y)$
(2)$(x+3)(x-3)$
(3)$(2x+3)(2x-3)$
(4)$(1+m)(1-m)$

【分析】
这几道题都是运用平方差公式因式分解的基础题，首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。解题时先判断式子是否符合“两项、异号、两项均为平方形式”的特征，再找准式子中对应公式里的$a$和$b$，代入公式即可完成分解。
【解析】
(1) 式子$x^2-y^2$直接符合平方差结构，其中$a=x$，$b=y$，代入公式得：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$；
(2) 先将$9$改写为$3^2$，式子变为$x^2-3^2$，其中$a=x$，$b=3$，代入公式得：$x^2 - 9=(x+3)(x-3)$；
(3) 先将$4x^2$改写为$(2x)^2$，$9$改写为$3^2$，式子变为$(2x)^2-3^2$，其中$a=2x$，$b=3$，代入公式得：$4x^2 - 9=(2x+3)(2x-3)$；
(4) 先调整顺序将式子改写为$1^2-m^2$，其中$a=1$，$b=m$，代入公式得：$-m^2 + 1=(1+m)(1-m)$。
【答案】
(1)$(x+y)(x-y)$
(2)$(x+3)(x-3)$
(3)$(2x+3)(2x-3)$
(4)$(1+m)(1-m)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题重点考察对平方差公式结构的识别能力，属于因式分解的基础题型，熟练掌握平方项的变形技巧、准确对应公式中的$a$和$b$即可快速解题，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.9

练习1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.$x^2+y^2$
B.$x^2-y^2$
C.$-x^2-y^2$
D.$x^2+(-y)^2$

B

【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要牢记平方差公式分解因式的结构特征：平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，适用的多项式需满足两个条件：①仅含两项，且两项都能写成某个整式平方的形式；②两项符号相反，即一项为正、一项为负。接下来按这个标准逐一排查选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的结构为：两个整式的平方作差，即$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$，逐项分析如下：
A. $x^2+y^2$：两项均为正号，符号相同，不符合“差”的要求，不能用平方差公式分解；
B. $x^2-y^2$：完全符合$a^2-b^2$的形式（其中$a=x$，$b=y$），可分解为$(x+y)(x-y)$，符合要求；
C. $-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$：括号内两项均为正号，符号相同，不能用平方差公式分解；
D. $x^2+(-y)^2=x^2+y^2$：两项均为正号，符号相同，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式的乘方运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方差公式分解因式的结构特征，只要牢记“两项、平方、异号”三个判断要点，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9

练习2.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b).把余下的部分剪拼成一个长方形，如图2，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

A.$a^2 -2ab +b^2=(a-b)^2$
B.$a^2 -ab =a(a-b)$
C.$a^2 -b^2=(a-b)^2$
D.$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$

D

【分析】
解题思路：本题利用剪拼前后阴影部分面积不变的特点求解，先分别计算剪拼前正方形挖去小正方形的阴影面积，再计算剪拼后长方形的阴影面积，令两个面积相等即可得到对应等式，匹配选项即可得出答案。
【解析】
1. 计算图1的阴影面积：
图1是边长为$a$的大正方形挖去边长为$b$的小正方形，根据正方形面积公式，可得阴影面积$S_1=a^2 - b^2$。
2. 计算图2的阴影面积：
剪拼后的长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式，可得阴影面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
3. 推导等式：
剪拼前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；面积法验证恒等式；图形剪拼性质
【点评】
本题通过几何图形剪拼的方式推导平方差公式，体现了数形结合的思想，掌握面积不变的核心是解决这类验证类问题的关键。
【难度系数】
0.8

练习3.(教材P129T1改编)分解因式：
(1)$16x^2 - 1$；
(2)$a^2 - 4b^2$；
(3)$-x^4 + y^2$；
(4)$a^2 - \frac{1}{25}b^2$；
(5)$-25x^2 + 49y^2$；
(6)$(x - 1)^2 - 9$。

解:(1)原式$=(4x+1)(4x-1)$；
(2)原式$=(a+2b)(a-2b)$；
(3)原式$=(y+x^2)(y-x^2)$；
(4)原式$=(a+\frac{1}{5}b)(a-\frac{1}{5}b)$；
(5)原式$=(7y+5x)(7y-5x)$；
(6)原式$=(x+2)(x-4)$。

【分析】
这6道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，即均为两项式、两项符号相反、每一项都可写成某个整式的平方的形式。解题思路为：①先观察式子特征，若两项符号相同先调整顺序，使两项异号；②分别确定平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$中对应的$a$和$b$，若式子含括号，要把括号内的式子看作整体作为$a$或$b$；③代入平方差公式展开，最后合并同类项，检查结果是否已化为最简、不能再分解。
【解析】
利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$逐一分解：
(1) $16x^2-1=(4x)^2 - 1^2$，对应$a=4x$，$b=1$，代入得$(4x+1)(4x-1)$；
(2) $a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，对应$a=a$，$b=2b$，代入得$(a+2b)(a-2b)$；
(3) 调整顺序得$-x^4+y^2=y^2 - (x^2)^2$，对应$a=y$，$b=x^2$，代入得$(y+x^2)(y-x^2)$；
(4) $a^2-\frac{1}{25}b^2=a^2 - (\frac{1}{5}b)^2$，对应$a=a$，$b=\frac{1}{5}b$，代入得$(a+\frac{1}{5}b)(a-\frac{1}{5}b)$；
(5) 调整顺序得$-25x^2+49y^2=(7y)^2-(5x)^2$，对应$a=7y$，$b=5x$，代入得$(7y+5x)(7y-5x)$；
(6) 把$(x-1)$看作整体，得$(x-1)^2 -9=(x-1)^2 -3^2$，对应$a=x-1$，$b=3$，代入得$(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)$。
【答案】
(1)$(4x+1)(4x-1)$；
(2)$(a+2b)(a-2b)$；
(3)$(y+x^2)(y-x^2)$；
(4)$(a+\frac{1}{5}b)(a-\frac{1}{5}b)$；
(5)$(7y+5x)(7y-5x)$；
(6)$(x+2)(x-4)$。
【知识点】
平方差公式因式分解，整体代换，整式化简
【点评】
这组是平方差公式分解因式的基础典型题，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，找准公式对应的$a$和$b$，遇到整体式时先将整体看作一项，分解后注意合并同类项，保证结果无法再分解。
【难度系数】
0.8

【例2】(教材P129T2改编)分解因式：
(1)$x^2y - y^3$；
(2)$ax^2 - 4a$；
(3)$2x^2 - 2$。
练习.(1)$a^3 - a$；
(2)$3(a+b)^2 - 27c^2$；
(3)$(a-b)b^2 - 4(a-b)$。

【例2】解:(1)原式$=y(x^2-y^2)$
$=y(x+y)(x-y)$；
(2)原式$=a(x^2-4)$
$=a(x+2)(x-2)$；
(3)原式$=2(x^2-1)$
$=2(x+1)(x-1)$。
练习.解:(1)原式$=a(a^2-1)$
$=a(a+1)(a-1)$；
(2)原式$=3[(a+b)^2-(3c)^2]$
$=3(a+b+3c)(a+b-3c)$；
(3)原式$=(a-b)(b^2-4)$
$=(a-b)(b+2)(b-2)$。

【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式中是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，本题剩余部分均为两项且符号相反，满足平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此可套用平方差公式继续分解；第三步检查最终得到的每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底即可。
【解析】
【例2】
(1) 先提取公因式$y$，得原式$=y(x^2-y^2)$，再对$x^2-y^2$套用平方差公式，得$y(x+y)(x-y)$；
(2) 先提取公因式$a$，得原式$=a(x^2-4)$，再对$x^2-4$套用平方差公式，得$a(x+2)(x-2)$；
(3) 先提取公因式$2$，得原式$=2(x^2-1)$，再对$x^2-1$套用平方差公式，得$2(x+1)(x-1)$。
【练习】
(1) 先提取公因式$a$，得原式$=a(a^2-1)$，再对$a^2-1$套用平方差公式，得$a(a+1)(a-1)$；
(2) 先提取公因式$3$，得原式$=3[(a+b)^2-(3c)^2]$，将$a+b$、$3c$看作整体套用平方差公式，得$3(a+b+3c)(a+b-3c)$；
(3) 先提取公因式$(a-b)$，得原式$=(a-b)(b^2-4)$，再对$b^2-4$套用平方差公式，得$(a-b)(b+2)(b-2)$。
【答案】
【例2】(1)$y(x+y)(x-y)$；(2)$a(x+2)(x-2)$；(3)$2(x+1)(x-1)$
【练习】(1)$a(a+1)(a-1)$；(2)$3(a+b+3c)(a+b-3c)$；(3)$(a-b)(b+2)(b-2)$
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，按照“先提公因式、后套公式、最后检查”的步骤即可完成求解，解题时需注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，遇到可看作整体的部分优先用整体思想处理，可降低出错率。
【难度系数】
0.8