1.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$为角平分线，$CD=2$，$S_{△ ABC}=6$，则$AC+AB=$。

6

【分析】
遇到角平分线和直角的组合，首先考虑角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们可以过点D作AB的垂线段，得到该垂线段长度等于CD。已知△ABC的总面积，可将其拆分为△ACD和△ABD的面积之和，两个小三角形的高都已知，分别用AC、AB表示两个小三角形的面积，相加等于总面积，即可直接求出AC+AB的和，无需单独计算AC和AB的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），
∴根据角平分线的性质，$DE = CD = 2$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}$，
其中$S_{△ACD}=\frac{1}{2} × AC × CD$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，
代入$CD=DE=2$，$S_{△ABC}=6$可得：
$6=\frac{1}{2} × AC × 2 + \frac{1}{2} × AB × 2$，
化简得：$AC+AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的灵活应用，解题时通过拆分整体三角形面积建立等量关系，运用整体思想直接求出目标和，无需单独求解各线段长度，解题关键是正确作出辅助线得到两个小三角形的相等高。
【难度系数】
0.7

2.如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE=2，则AF的长为 .

$\frac{10}{3}$

【分析】
解题时先利用角平分线的性质得到点D到BC边的距离等于DE的长度，再通过“割补法”将△ABC的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，同时△ABC的面积也可以用底BC和高AF表示，最后通过面积相等建立等式即可求出AF的长度。
【解析】
过点D作DG⊥BC于点G。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DG⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：$DG=DE=2$。
分别计算两个小三角形的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×2=4$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DG=\frac{1}{2}×6×2=6$，
因此$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=4+6=10$。
又
∵AF⊥BC，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AF$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×6× AF=10$，
解得$AF=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，等积法
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题目，解题的核心是灵活运用面积法，通过拆分与合并三角形面积建立等量关系，不需要复杂的几何证明，对学生的转化思维有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6

3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)利用直尺与圆规作$∠ CAB$的平分线交$BC$于点$H$；
(2)在(1)的条件下,若$CH=2$,$AB+AC=10$,求$△ ABC$的面积.

3.解:(1)如图所示；
(2)过点H作HM⊥AB于点M，
∵AH平分∠BAC，
∴HC=HM=2，
∴$S_{△ABC}=S_{△ACH}+S_{△ABH}$
$=\frac{1}{2}AC×2+\frac{1}{2}AB×2$
$=AC+AB$
$=10.$

【分析】
(1) 作∠CAB的平分线可按照尺规作角平分线的标准步骤操作：先以A为圆心画弧交角的两边得两个交点，再分别以两交点为圆心、大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内的交点和A的连线就是角平分线。
(2) 求△ABC面积时，已知角平分线和CH的长度，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过H作AB的垂线可得该垂线段长度等于CH=2。再将△ABC的面积拆为△ACH和△ABH的面积之和，两个小三角形的高分别为CH和所作垂线段，底对应AC、AB，代入面积公式后可直接利用已知的AB+AC=10计算，无需单独求各边长度，简化计算。
【解析】
(1) 作图步骤：①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC、AB于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径作弧，两弧在∠CAB内部交于点D；③作射线AD交BC于点H，AH即为所求的∠CAB的平分线，作图结果如图所示。
(2) 过点H作HM⊥AB于点M，
∵AH平分∠BAC，∠C=90°即HC⊥AC，HM⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得$HC=HM=2$，
△ABC的面积可拆分为两个小三角形的面积和：
$S_{△ABC}=S_{△ACH}+S_{△ABH}$
$=\frac{1}{2}×AC×CH+\frac{1}{2}×AB×HM$
$=\frac{1}{2}×AC×2+\frac{1}{2}×AB×2$
$=AC+AB$
已知$AB+AC=10$，因此$S_{△ABC}=10$。
【答案】
(1) 如图所示；
(2) $△ ABC$的面积为$\boxed{10}$。
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；割补法求面积
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，核心考查角平分线性质的灵活应用，解题关键是通过作辅助线得到角平分线上的点到角两边的等距离线段，再用分割法转化面积计算，避免了复杂的边长求解，体现了几何计算的技巧性。
【难度系数】
0.7

4.(教材P53T6变式)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.

4.证明:在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB，
而PM⊥AD,PN⊥CD，
∴PM=PN.

【分析】
要证明PM=PN，已知PM⊥AD、PN⊥CD，根据角平分线的性质，只需证明BD平分∠ADC即可。首先由BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，结合已知AB=BC，以及公共边BD，可通过SAS判定△ABD≌△CBD，再利用全等三角形对应角相等，即可得到∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC，最后结合角平分线的性质即可得证。
【解析】
证明：在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN。
【答案】
证明：在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB，
而PM⊥AD,PN⊥CD，
∴PM=PN。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是先通过已知的边角条件证明三角形全等，得到角相等的结论，再利用角平分线的性质证明线段相等，侧重考查对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8

5.(1)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在坐标轴上,∠AOP=45°,PA⊥PB,求证:PA=PB;
(2)如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,点E在AD上,点F在直线AB上,∠F=∠ECA.求证:EC=EF;
(3)如图,A,B分别在坐标轴上,AP⊥BP,∠OPB=45°,求证:OA=OB.

5.证明:(1)作PC⊥y轴,PD⊥x轴,垂足分别为C,D，
∵OP平分∠BOA，
∴PC=PD，
在△APC和△BPD中，
$\begin{cases}∠APC=∠BPD,\\PC=PD,\\∠ACP=∠PDB,\end{cases}$
∴△PAC≌△PBD(ASA)，
∴PA=PB；
(2)作EM⊥AB于点M,EN⊥AC于点N，
∵∠BAD=∠CAD，
∴EM=EN，
在△EMF和△ENC中，
$\begin{cases}∠F=∠ECN,\\∠EMF=∠ENC,\\EM=EN,\end{cases}$
∴△FEM≌△CEN(AAS)，
∴EC=EF；
(3)过O点作OC⊥AP，OD⊥BP分别交直线AP，BP于点C,D，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}∠OAC=∠OBD,\\∠OCA=∠ODB,\\OC=OD,\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OA=OB.

【分析】
（1）要证PA=PB，可通过证明两条线段所在三角形全等求解。已知∠AOP=45°，可知OP平分∠AOB，根据角平分线的性质，过P作x轴、y轴的垂线可得到两条相等的垂线段，再结合PA⊥PB推导对应角相等，用ASA证三角形全等即可得证。
（2）要证EC=EF，同样考虑证明对应三角形全等。已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，过E作AB、AC的垂线得到相等的垂线段，结合已知∠F=∠ECA，用AAS证明两个直角三角形全等，即可得到对应边相等。
（3）要证OA=OB，可证OA、OB所在的三角形全等。已知AP⊥BP，∠OPB=45°，可得OP平分∠APB，根据角平分线的性质，过O作AP、BP的垂线得到相等的垂线段，再结合直角条件推导对应角相等，用AAS证三角形全等即可得证。
【解析】
(1)作PC⊥y轴,PD⊥x轴,垂足分别为C,D，
∵OP平分∠BOA，
∴PC=PD，
在△APC和△BPD中，
$\begin{cases}∠APC=∠BPD,\\PC=PD,\\∠ACP=∠PDB,\end{cases}$
∴△PAC≌△PBD(ASA)，
∴PA=PB；
(2)作EM⊥AB于点M,EN⊥AC于点N，
∵∠BAD=∠CAD，
∴EM=EN，
在△EMF和△ENC中，
$\begin{cases}∠F=∠ECN,\\∠EMF=∠ENC,\\EM=EN,\end{cases}$
∴△FEM≌△CEN(AAS)，
∴EC=EF；
(3)过O点作OC⊥AP，OD⊥BP分别交直线AP，BP于点C,D，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}∠OAC=∠OBD,\\∠OCA=∠ODB,\\OC=OD,\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OA=OB.
【答案】
(1)PA=PB；(2)EC=EF；(3)OA=OB，均得证。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题核心考查角平分线性质与全等三角形的结合应用，解题关键是遇到角平分线时，尝试向角的两边作垂线得到等线段，为全等三角形的判定创造条件，这类辅助线作法是几何证明的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6