【例1】两个完全一样的三角板如图1摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（）

A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上

【例1】A

【分析】
解题时先逐一明确各选项对应的判定要求：A选项需满足点到角两边距离相等，B选项需满足点与AC边的连线垂直于AC，C选项需满足点到B、C两点距离相等，D选项需满足点在AB边中点与对角顶点的连线上。再结合题干“两个完全一样的三角板顶点重合于M”的条件，可推出M到∠A的两条边AB、AC的距离相等（距离为全等三角板的对应直角边长度），恰好符合角平分线的判定条件，由此可确定答案。
【解析】
已知两个三角板完全相同，因此点M到边AB的距离与点M到边AC的距离相等，二者为全等三角板的对应直角边，长度一致。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可得点M在∠A的平分线上。
其余选项均无对应条件支撑：没有证据证明M与AC边的连线垂直于AC，排除B；没有条件说明M到B、C两点的距离相等，排除C；没有信息表明M在AB边中点与对角顶点的连线上，排除D。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
这道题是角平分线判定定理的基础应用，解题关键是从三角板摆放的场景中提炼出“点M到∠A两边距离相等”的隐含条件，熟练掌握判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7

练习1.如图2，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=3cm，当PD=时，P点在∠AOB的平分线上。

练习1.3cm

【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心需求：找到PD的长度使点P在∠AOB的平分线上。首先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。题中PC⊥OA，说明PC是点P到OA边的距离，长度为3cm；PD⊥OB，说明PD是点P到OB边的距离。根据判定定理，要让P在角平分线上，只需两个距离相等，即PD=PC，就能直接推出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
已知PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC是点P到OA的距离，PD是点P到OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则需满足PD=PC，
因为PC=3cm，所以PD=3cm。
【答案】
3cm
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查角平分线判定定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速求解，是角平分线相关知识的入门级题型。
【难度系数】
0.9

练习2.如图3，$l_1$，$l_2$，$l_3$是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（）

A.1处
B.2处
C.3处
D.4处

练习2.D

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合角平分线的性质和判定来思考：首先，到两条相交直线距离相等的点，一定在这两条直线所夹角的角平分线上。接下来分两类找符合条件的点：第一类是三条公路围成的三角形内部的点，第二类是三角形外部的点。内部的三个内角平分线会交于1个符合条件的点；外部每两个外角的角平分线交点也符合要求，这类点共有3个，汇总后即可得到总位置数。
【解析】
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
1. 三条两两相交的公路构成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离都相等，是1处符合要求的位置。
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会交于1点，该点到三条公路所在直线的距离同样相等，这类外角平分线的交点共有3个。
3. 综上，符合条件的加油站位置总共有$1+3=4$处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的性质；三角形内外角平分线
【点评】
本题易错点是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，遗漏外部的外角平分线交点，解题时要全面思考，既要关注内角平分线也要兼顾外角平分线，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

练习3.如图4，若AB//CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE=4 cm，则AB与CD之间的距离为()

A.4 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm

练习3.D

【分析】
要计算两条平行线AB与CD之间的距离，需找到两条平行线间公垂线段的长度。已知AP、CP分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，且PE⊥AC，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此过点P分别作AB、CD的垂线，两条垂线段的长度都与PE相等，又因为AB//CD，两条垂线段共线，相加即可得到AB与CD之间的距离。
【解析】
过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N。
∵AB//CD，
∴M、P、N三点共线，线段MN的长度即为AB与CD之间的距离。
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PM⊥AB，
∴PM=PE=4cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠ACD，PE⊥AC，PN⊥CD，
∴PN=PE=4cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴AB与CD之间的距离MN=PM+PN=4+4=8cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的关键是通过作辅助线将平行线间的距离转化为两条垂线段的和，结合角平分线的性质快速求解，熟练掌握角平分线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

练习4.(教材P52T2变式)如图，$BF⊥ AC$于$F$，$CE⊥ AB$于$E$.$CE$交$BF$于$D$，$BD=CD$.求证:点$D$在$∠ BAC$的平分线上.

练习4.证明:在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD=90°,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC,
即点 D 在∠BAC 的平分线上.

【分析】
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察图形，DE、DF分别在△BDE和△CDF中，已知BD=CD，由CE⊥AB、BF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，再结合对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，可通过AAS判定△BDE≌△CDF，利用全等三角形对应边相等即可得到DE=DF，进而推导出结论。
【解析】
证明:在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD=90°,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC,
即点 D 在∠BAC 的平分线上。
【答案】
证明:在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD=90°,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC,
即点 D 在∠BAC 的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定；AAS证全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角平分线判定定理的应用，解题关键是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，需熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的相关性质、判定定理。
【难度系数】
0.8

【例2】如图，$△ ABC$的$∠ B$，$∠ C$的外角平分线交于点$P$.
(1)求证:$PA$平分$∠ BAC$；
(2)若$∠ BPC＝50°$,则$∠ BAP$的度数为.

【例2】(1)证明:过 P 作 PM⊥BC 于 M，PN⊥AC 于 N，PH⊥AB 于 H，
∴PM=PN,PM=PH，
∴PH=PN，
∴PA 平分∠BAC；

(2)解:设∠PBC=α,∠PCB=β，
在△PBC 中,α+β=130°，
∴2α+2β=260°，
∴∠ACB+∠ABC=360°−260°=100°，
∴∠BAC=80°,
∴∠BAP=40°.

【分析】
(1) 要证明PA平分∠BAC，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点P到∠BAC的两边AB、AC的距离相等即可。已知PB、PC分别是∠B、∠C的外角平分线，根据角平分线的性质，我们可以过点P作BC、AC、AB所在直线的垂线，通过等量代换得到P到AB、AC的垂线段长度相等，即可证明结论。
(2) 要求∠BAP的度数，由(1)可知PA平分∠BAC，因此只需先求出∠BAC的度数。已知∠BPC=50°，先在△BPC中利用三角形内角和求出两个底角的和，再结合外角平分线的定义，得到△ABC两个内角的外角总和，进而求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，最后利用三角形内角和180°算出∠BAC，除以2即可得到∠BAP的度数。
【解析】
(1) 证明：过P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PH⊥AB于H。
∵PB是∠B的外角平分线，PM⊥BC，PH⊥AB，
∴PM=PH；
∵PC是∠C的外角平分线，PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM=PN；
∴PH=PN，又
∵PN⊥AC，PH⊥AB，
∴PA平分∠BAC。

(2) 解：设∠PBC=α，∠PCB=β，
在△PBC中，根据三角形内角和定理，α+β+∠BPC=180°，已知∠BPC=50°，
∴α+β=180°-50°=130°，
∴2α+2β=260°，即∠ABC的外角+∠ACB的外角=260°，
∴∠ACB+∠ABC=360°−260°=100°，
在△ABC中，∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-100°=80°，
由(1)知PA平分∠BAC，
∴∠BAP=½∠BAC=40°。
【答案】
(1) 证明见解析，；
(2) $\boxed{40°}$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角平分线的相关性质与判定，以及三角形角度计算的相关知识，解题的关键是合理作出垂线段辅助线，利用角平分线的性质转化线段关系，角度计算时要理清内角与外角的数量关系，是角平分线章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7