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7. 如图9，已知$EA ⊥ AB$，$∠ E = 45°$，$AB // CD$，$AB = CD$，且$AE = 170$，$CE = 50\sqrt{2}$，则$BD$的长为
130
。答案
7. 130
解析
【分析】
解题时首先观察到AB与CD平行且相等，可判定四边形ABDC是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得BD=AC，因此将求BD的长度转化为求AC的长度即可。接下来结合已知条件∠E=45°、CE的长度，过点C作AE的垂线构造等腰直角三角形，先求出该三角形的直角边长，再得到线段AF的长度，最后在直角三角形AFC中用勾股定理求出AC的长度，即为BD的长度。
【解析】
1. 连接AC，
∵AB//CD，且AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BD=AC（平行四边形的对边相等）。
2. 过点C作CF⊥AE于点F，则∠EFC=∠AFC=90°。
3. 在Rt△EFC中，∠E=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，EF=CF。
由勾股定理得：$EF^2 + CF^2 = CE^2$，代入$CE=50\sqrt{2}$，得$2CF^2=(50\sqrt{2})^2=5000$，解得$CF=EF=50$。
4.
∵AE=170，
∴$AF=AE - EF=170 - 50=120$。
5. 在Rt△AFC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AF^2 + CF^2}=\sqrt{120^2 + 50^2}=\sqrt{16900}=130$。
∴BD=AC=130。
【答案】
130
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查了几何图形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形的性质实现线段的转化，再通过作辅助线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理计算线段长度，较好地考察了转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到AB与CD平行且相等，可判定四边形ABDC是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得BD=AC，因此将求BD的长度转化为求AC的长度即可。接下来结合已知条件∠E=45°、CE的长度，过点C作AE的垂线构造等腰直角三角形，先求出该三角形的直角边长，再得到线段AF的长度，最后在直角三角形AFC中用勾股定理求出AC的长度，即为BD的长度。
【解析】
1. 连接AC，
∵AB//CD，且AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BD=AC（平行四边形的对边相等）。
2. 过点C作CF⊥AE于点F，则∠EFC=∠AFC=90°。
3. 在Rt△EFC中，∠E=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，EF=CF。
由勾股定理得：$EF^2 + CF^2 = CE^2$，代入$CE=50\sqrt{2}$，得$2CF^2=(50\sqrt{2})^2=5000$，解得$CF=EF=50$。
4.
∵AE=170，
∴$AF=AE - EF=170 - 50=120$。
5. 在Rt△AFC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AF^2 + CF^2}=\sqrt{120^2 + 50^2}=\sqrt{16900}=130$。
∴BD=AC=130。
【答案】
130
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查了几何图形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形的性质实现线段的转化，再通过作辅助线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理计算线段长度，较好地考察了转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图10，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(-1，3)，C(-2，-1)，找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（
A.(2，4)
B.(-4，2)
C.(0，-4)
D.(-3，2)
D
）。A.(2，4)
B.(-4，2)
C.(0，-4)
D.(-3，2)
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们利用平行四边形对角线互相平分的性质，即平行四边形两组相对顶点的中点坐标相同。由于题目没有明确平行四边形的对角线是哪一组，因此需要分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，结合中点坐标公式计算出对应的D点坐标，再对比选项排除不符合的即可。
【解析】
设点D的坐标为$(x,y)$，平面直角坐标系中，两点$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况计算：
1. 若AB为平行四边形的对角线：
AB的中点坐标为$(\frac{1+(-1)}{2},\frac{0+3}{2})=(0,\frac{3}{2})$，该点也是CD的中点，因此可得：
$\frac{x+(-2)}{2}=0$，$\frac{y+(-1)}{2}=\frac{3}{2}$
解得$x=2,y=4$，即$D(2,4)$，对应选项A，符合要求。
2. 若AC为平行四边形的对角线：
AC的中点坐标为$(\frac{1+(-2)}{2},\frac{0+(-1)}{2})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，该点也是BD的中点，因此可得：
$\frac{x+(-1)}{2}=-\frac{1}{2}$，$\frac{y+3}{2}=-\frac{1}{2}$
解得$x=0,y=-4$，即$D(0,-4)$，对应选项C，符合要求。
3. 若BC为平行四边形的对角线：
BC的中点坐标为$(\frac{-1+(-2)}{2},\frac{3+(-1)}{2})=(-\frac{3}{2},1)$，该点也是AD的中点，因此可得：
$\frac{x+1}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{y+0}{2}=1$
解得$x=-4,y=2$，即$D(-4,2)$，对应选项B，符合要求。
综上，点D的坐标不可能是$(-3,2)$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角线性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分的性质，同时注意分三种情况讨论对角线的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们利用平行四边形对角线互相平分的性质，即平行四边形两组相对顶点的中点坐标相同。由于题目没有明确平行四边形的对角线是哪一组，因此需要分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，结合中点坐标公式计算出对应的D点坐标，再对比选项排除不符合的即可。
【解析】
设点D的坐标为$(x,y)$，平面直角坐标系中，两点$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况计算：
1. 若AB为平行四边形的对角线：
AB的中点坐标为$(\frac{1+(-1)}{2},\frac{0+3}{2})=(0,\frac{3}{2})$，该点也是CD的中点，因此可得：
$\frac{x+(-2)}{2}=0$，$\frac{y+(-1)}{2}=\frac{3}{2}$
解得$x=2,y=4$，即$D(2,4)$，对应选项A，符合要求。
2. 若AC为平行四边形的对角线：
AC的中点坐标为$(\frac{1+(-2)}{2},\frac{0+(-1)}{2})=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，该点也是BD的中点，因此可得：
$\frac{x+(-1)}{2}=-\frac{1}{2}$，$\frac{y+3}{2}=-\frac{1}{2}$
解得$x=0,y=-4$，即$D(0,-4)$，对应选项C，符合要求。
3. 若BC为平行四边形的对角线：
BC的中点坐标为$(\frac{-1+(-2)}{2},\frac{3+(-1)}{2})=(-\frac{3}{2},1)$，该点也是AD的中点，因此可得：
$\frac{x+1}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{y+0}{2}=1$
解得$x=-4,y=2$，即$D(-4,2)$，对应选项B，符合要求。
综上，点D的坐标不可能是$(-3,2)$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角线性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分的性质，同时注意分三种情况讨论对角线的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9. 如图 11，在平行四边形 ABCD 中，$∠ C = 120°$，$AD=8$，$AB=4$，H，G 分别是边 CD，BC 上的动点. 连接 AH，HG，E 为 AH 的中点，F 为 GH 的中点，连接 EF. 则 EF 的最大值与最小值的差为（
A.$4 - 2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3} - 2$
C.$\sqrt{3}$
D.2
C
）.A.$4 - 2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3} - 2$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
9.C
解析
【分析】
首先观察到E、F分别是AH、GH的中点，联想到三角形中位线定理，可推出EF是△AGH的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}AG$，将EF的最值问题转化为AG的最值问题。接下来AG是点A到BC边上动点G的线段，根据垂线段最短可求AG的最小值，AG的最大值为点A到BC端点C的距离，求出AG的最大值与最小值的差后，再乘以$\frac{1}{2}$即可得到EF的最值差。
【解析】
1. 连接AG，
∵E是AH的中点，F是GH的中点，
∴EF是△AHG的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EF=\dfrac{1}{2}AG}$。
因此EF的最大值与最小值的差 = $\dfrac{1}{2}$（AG的最大值 - AG的最小值）。
2. 在平行四边形ABCD中，∠B+∠C=180°，已知∠C=120°，
∴∠B=60°，且$BC=AD=8$。
3. 求AG的最小值：根据垂线段最短，当$AG⊥ BC$时，AG长度最小。
过A作$AM⊥ BC$于M，在$Rt△ ABM$中，$AB=4$，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，$BM=\dfrac{1}{2}AB=2$，
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，即$AG_{\mathrm{最小}}=2\sqrt{3}$。
4. 求AG的最大值：G在BC上运动，当G与点C重合时，AG长度最大，此时$AG=AC$。
∵$MC=BC-BM=8-2=6$，在$Rt△ AMC$中，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AM^2+MC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=4\sqrt{3}$，即$AG_{\mathrm{最大}}=4\sqrt{3}$。
5. 计算EF的最值差：$\dfrac{1}{2}×(4\sqrt{3}-2\sqrt{3})=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短
【点评】
本题解题核心是利用中位线定理将未知线段EF的最值转化为已知边上的线段AG的最值，再结合勾股定理计算线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握平行四边形性质和中位线定理才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
首先观察到E、F分别是AH、GH的中点，联想到三角形中位线定理，可推出EF是△AGH的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}AG$，将EF的最值问题转化为AG的最值问题。接下来AG是点A到BC边上动点G的线段，根据垂线段最短可求AG的最小值，AG的最大值为点A到BC端点C的距离，求出AG的最大值与最小值的差后，再乘以$\frac{1}{2}$即可得到EF的最值差。
【解析】
1. 连接AG，
∵E是AH的中点，F是GH的中点，
∴EF是△AHG的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EF=\dfrac{1}{2}AG}$。
因此EF的最大值与最小值的差 = $\dfrac{1}{2}$（AG的最大值 - AG的最小值）。
2. 在平行四边形ABCD中，∠B+∠C=180°，已知∠C=120°，
∴∠B=60°，且$BC=AD=8$。
3. 求AG的最小值：根据垂线段最短，当$AG⊥ BC$时，AG长度最小。
过A作$AM⊥ BC$于M，在$Rt△ ABM$中，$AB=4$，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，$BM=\dfrac{1}{2}AB=2$，
由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，即$AG_{\mathrm{最小}}=2\sqrt{3}$。
4. 求AG的最大值：G在BC上运动，当G与点C重合时，AG长度最大，此时$AG=AC$。
∵$MC=BC-BM=8-2=6$，在$Rt△ AMC$中，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AM^2+MC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=4\sqrt{3}$，即$AG_{\mathrm{最大}}=4\sqrt{3}$。
5. 计算EF的最值差：$\dfrac{1}{2}×(4\sqrt{3}-2\sqrt{3})=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短
【点评】
本题解题核心是利用中位线定理将未知线段EF的最值转化为已知边上的线段AG的最值，再结合勾股定理计算线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握平行四边形性质和中位线定理才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
10. 如图12，在$□ ABCD$中，两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，请你用图中的任意四点（即点A，B，C，D，E，F，G，H，O中的任意四点）作为顶点画三种不同的平行四边形.（直接在图上作出）
答案
10. 图略，答案不唯一，如：$□ EFGH$，$□ BGDE$，$□ AFCH$
解析
【分析】
解题时先回顾平行四边形的性质与判定定理，已知四边形ABCD是平行四边形，可得其对角线互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$。结合E、F、G、H是对应线段中点的条件，可优先利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定方法寻找符合要求的四点：只需找到两组分别被同一点平分的线段，其四个端点即可构成平行四边形。
【解析】
1. 构造第一种平行四边形：取E、F、G、H四点。
因为E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，所以$OE=\frac{1}{2}OA$，$OG=\frac{1}{2}OC$，$OF=\frac{1}{2}OB$，$OH=\frac{1}{2}OD$。
又因为$□ABCD$中$OA=OC$，$OB=OD$，所以$OE=OG$，$OF=OH$，即四边形EFGH的对角线互相平分，故$□EFGH$为平行四边形，顺次连接E、F、G、H即可。
2. 构造第二种平行四边形：取B、G、D、E四点。
四边形BGDE的对角线为BD和EG，$□ABCD$中$OB=OD$，又$OE=\frac{1}{2}OA$，$OG=\frac{1}{2}OC$，$OA=OC$，故$OE=OG$，对角线互相平分，因此$□BGDE$是平行四边形，顺次连接B、G、D、E即可。
3. 构造第三种平行四边形：取A、F、C、H四点。
四边形AFCH的对角线为AC和FH，$□ABCD$中$OA=OC$，又$OF=\frac{1}{2}OB$，$OH=\frac{1}{2}OD$，$OB=OD$，故$OF=OH$，对角线互相平分，因此$□AFCH$是平行四边形，顺次连接A、F、C、H即可。
（注：答案不唯一，合理即可）
【答案】
图略，答案不唯一，如：$□ EFGH$，$□ BGDE$，$□ AFCH$
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题为开放性作图题，核心考查平行四边形性质与判定的灵活运用，选择对角线互相平分的判定方法能快速定位符合条件的点，解题时注意答案的多样性，只要符合平行四边形判定规则即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回顾平行四边形的性质与判定定理，已知四边形ABCD是平行四边形，可得其对角线互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$。结合E、F、G、H是对应线段中点的条件，可优先利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定方法寻找符合要求的四点：只需找到两组分别被同一点平分的线段，其四个端点即可构成平行四边形。
【解析】
1. 构造第一种平行四边形：取E、F、G、H四点。
因为E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，所以$OE=\frac{1}{2}OA$，$OG=\frac{1}{2}OC$，$OF=\frac{1}{2}OB$，$OH=\frac{1}{2}OD$。
又因为$□ABCD$中$OA=OC$，$OB=OD$，所以$OE=OG$，$OF=OH$，即四边形EFGH的对角线互相平分，故$□EFGH$为平行四边形，顺次连接E、F、G、H即可。
2. 构造第二种平行四边形：取B、G、D、E四点。
四边形BGDE的对角线为BD和EG，$□ABCD$中$OB=OD$，又$OE=\frac{1}{2}OA$，$OG=\frac{1}{2}OC$，$OA=OC$，故$OE=OG$，对角线互相平分，因此$□BGDE$是平行四边形，顺次连接B、G、D、E即可。
3. 构造第三种平行四边形：取A、F、C、H四点。
四边形AFCH的对角线为AC和FH，$□ABCD$中$OA=OC$，又$OF=\frac{1}{2}OB$，$OH=\frac{1}{2}OD$，$OB=OD$，故$OF=OH$，对角线互相平分，因此$□AFCH$是平行四边形，顺次连接A、F、C、H即可。
（注：答案不唯一，合理即可）
【答案】
图略，答案不唯一，如：$□ EFGH$，$□ BGDE$，$□ AFCH$
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题为开放性作图题，核心考查平行四边形性质与判定的灵活运用，选择对角线互相平分的判定方法能快速定位符合条件的点，解题时注意答案的多样性，只要符合平行四边形判定规则即可。
【难度系数】
0.8
