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4. 已知 AE//BF，连接 AB，要作平行四边形 ABCD，现有如下两套方案，下列判断正确的是（
A.方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行
B.方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行
D.方案Ⅰ、方案Ⅱ都不可行
C
）.A.方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行
B.方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行
D.方案Ⅰ、方案Ⅱ都不可行
答案
4.C
解析
【分析】
我们结合平行四边形的判定定理分别验证两个方案的可行性：首先看方案Ⅰ，已知$AE// BF$，可直接得到$AD// BC$，再结合截取的$AD=BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判断可行性；再看方案Ⅱ，先利用BD中点的性质得到$BO=OD$，再结合$AE// BF$得到的内错角相等，证明三角形全等得到$AD=BC$，结合$AD// BC$即可判断可行性。
【解析】
验证方案Ⅰ：
已知$AE// BF$，点D在AE上，点C在BF上，因此$AD// BC$。
又因为方案中截取$AD=BC$，即四边形ABCD的一组对边AD、BC平行且相等，根据平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD是平行四边形，故方案Ⅰ可行。
验证方案Ⅱ：
已知O是BD的中点，因此$BO=OD$。
因为$AE// BF$，所以内错角相等，即$∠ ADO=∠ CBO$，$∠ OAD=∠ OCB$。
在$△ AOD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ OCB\\∠ ADO=∠ CBO\\OD=OB\end{cases}$
因此$△ AOD≌△ COB$（AAS），可得$AD=BC$。
又因为$AD// BC$（$AE// BF$），即四边形ABCD的一组对边平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形，故方案Ⅱ可行。
综上，方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形判定的应用，解题核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，结合平行线性质、全等三角形的性质推导即可，属于基础的几何判定类题目。
【难度系数】
0.8
我们结合平行四边形的判定定理分别验证两个方案的可行性：首先看方案Ⅰ，已知$AE// BF$，可直接得到$AD// BC$，再结合截取的$AD=BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判断可行性；再看方案Ⅱ，先利用BD中点的性质得到$BO=OD$，再结合$AE// BF$得到的内错角相等，证明三角形全等得到$AD=BC$，结合$AD// BC$即可判断可行性。
【解析】
验证方案Ⅰ：
已知$AE// BF$，点D在AE上，点C在BF上，因此$AD// BC$。
又因为方案中截取$AD=BC$，即四边形ABCD的一组对边AD、BC平行且相等，根据平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD是平行四边形，故方案Ⅰ可行。
验证方案Ⅱ：
已知O是BD的中点，因此$BO=OD$。
因为$AE// BF$，所以内错角相等，即$∠ ADO=∠ CBO$，$∠ OAD=∠ OCB$。
在$△ AOD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ OCB\\∠ ADO=∠ CBO\\OD=OB\end{cases}$
因此$△ AOD≌△ COB$（AAS），可得$AD=BC$。
又因为$AD// BC$（$AE// BF$），即四边形ABCD的一组对边平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形，故方案Ⅱ可行。
综上，方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形判定的应用，解题核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，结合平行线性质、全等三角形的性质推导即可，属于基础的几何判定类题目。
【难度系数】
0.8
5. 如图6，已知DE是$△ ABC$的中位线，求证：$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$. 小嘉根据图7，把下面打乱的证明步骤进行整理，你认为正确的证明排序是（
①又∵$DE=\frac{1}{2}DF$，
②∴四边形ADCF是平行四边形，∴$CF// DA$，$CF=DA$.
③∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$.
④延长DE到F，使$EF=DE$，连接FC，DC，AF.
⑤∵$AE=EC$，$EF=DE$，
⑥∴$CF// BD$，$CF=BD$，∴四边形DBCF是平行四边形，∴$DF// BC$，$DF=BC$.
A.④③②①⑥⑤
B.④⑤②⑥①③
C.④⑤③⑥②①
D.④⑤①②⑥③
B
）.①又∵$DE=\frac{1}{2}DF$，
②∴四边形ADCF是平行四边形，∴$CF// DA$，$CF=DA$.
③∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$.
④延长DE到F，使$EF=DE$，连接FC，DC，AF.
⑤∵$AE=EC$，$EF=DE$，
⑥∴$CF// BD$，$CF=BD$，∴四边形DBCF是平行四边形，∴$DF// BC$，$DF=BC$.
A.④③②①⑥⑤
B.④⑤②⑥①③
C.④⑤③⑥②①
D.④⑤①②⑥③
答案
5.B
解析
【分析】
这道题是对三角形中位线定理证明步骤的排序，解题时先回忆平行四边形的判定与性质：首先几何证明题第一步先作辅助线，因此先确定首步为步骤④；接下来利用辅助线构造的条件，结合已知E是AC中点、EF=DE，用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ADCF是平行四边形，得到CF和DA的关系；再结合D是AB中点，得到CF和BD的关系，进而判定四边形DBCF是平行四边形，得到DF和BC平行且相等的关系；最后结合DE是DF的一半，推导出最终结论，按这个逻辑顺次对应步骤即可选出正确排序。
【解析】
我们按逻辑推导对步骤排序：
1. 首先构造辅助线，故第一步为④：延长DE到F，使$EF=DE$，连接FC，DC，AF。
2. 辅助线构造完成后，DE是△ABC的中位线可得E是AC中点，即$AE=EC$，结合所作$EF=DE$，对应步骤⑤：
∵$AE=EC$，$EF=DE$。
3. 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形，因此$CF// DA$，$CF=DA$，对应步骤②：
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴$CF// DA$，$CF=DA$。
4. DE是△ABC的中位线可得D是AB中点，即$DA=BD$，等量代换得$CF=BD$，且$CF// DA$即$CF// BD$，因此四边形DBCF是平行四边形，得到$DF// BC$，$DF=BC$，对应步骤⑥：
∴$CF// BD$，$CF=BD$，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴$DF// BC$，$DF=BC$。
5. 由所作辅助线$EF=DE$，可得$DF=2DE$，即$DE=\frac{1}{2}DF$，对应步骤①：又
∵$DE=\frac{1}{2}DF$。
6. 最后等量代换得到最终结论，对应步骤③：
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
综上，正确排序为④⑤②⑥①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的推导过程，核心是通过构造辅助线，两次运用平行四边形的判定和性质推导结论，需要熟练掌握平行四边形的判定定理，理清证明的逻辑顺序。
【难度系数】
0.7
这道题是对三角形中位线定理证明步骤的排序，解题时先回忆平行四边形的判定与性质：首先几何证明题第一步先作辅助线，因此先确定首步为步骤④；接下来利用辅助线构造的条件，结合已知E是AC中点、EF=DE，用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ADCF是平行四边形，得到CF和DA的关系；再结合D是AB中点，得到CF和BD的关系，进而判定四边形DBCF是平行四边形，得到DF和BC平行且相等的关系；最后结合DE是DF的一半，推导出最终结论，按这个逻辑顺次对应步骤即可选出正确排序。
【解析】
我们按逻辑推导对步骤排序：
1. 首先构造辅助线，故第一步为④：延长DE到F，使$EF=DE$，连接FC，DC，AF。
2. 辅助线构造完成后，DE是△ABC的中位线可得E是AC中点，即$AE=EC$，结合所作$EF=DE$，对应步骤⑤：
∵$AE=EC$，$EF=DE$。
3. 根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形，因此$CF// DA$，$CF=DA$，对应步骤②：
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴$CF// DA$，$CF=DA$。
4. DE是△ABC的中位线可得D是AB中点，即$DA=BD$，等量代换得$CF=BD$，且$CF// DA$即$CF// BD$，因此四边形DBCF是平行四边形，得到$DF// BC$，$DF=BC$，对应步骤⑥：
∴$CF// BD$，$CF=BD$，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴$DF// BC$，$DF=BC$。
5. 由所作辅助线$EF=DE$，可得$DF=2DE$，即$DE=\frac{1}{2}DF$，对应步骤①：又
∵$DE=\frac{1}{2}DF$。
6. 最后等量代换得到最终结论，对应步骤③：
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
综上，正确排序为④⑤②⑥①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的推导过程，核心是通过构造辅助线，两次运用平行四边形的判定和性质推导结论，需要熟练掌握平行四边形的判定定理，理清证明的逻辑顺序。
【难度系数】
0.7
6. 如图8所示是某小区门口汽车出入道闸示意图，四边形ABCD在长方形道闸（AB＝DC）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为
平行且相等
.答案
6. 平行且相等
解析
【分析】
解题时先从题目给出的已知条件入手：首先明确边AB与DC长度相等，且转动过程中DC始终保持与AB平行。回忆平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由此可先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形对边的性质即可得出AD与BC的关系。
【解析】
解：由题意可知，AB=DC，且在转动过程中DC始终//AB，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，因此AD与BC平行且相等。
【答案】
平行且相等
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查平行四边形的相关知识，解题核心是抓住变化过程中不变的数量和位置关系，结合判定定理确定图形形状，再利用性质推导结论，属于基础类应用题，侧重对基础知识的灵活应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目给出的已知条件入手：首先明确边AB与DC长度相等，且转动过程中DC始终保持与AB平行。回忆平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由此可先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形对边的性质即可得出AD与BC的关系。
【解析】
解：由题意可知，AB=DC，且在转动过程中DC始终//AB，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，因此AD与BC平行且相等。
【答案】
平行且相等
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查平行四边形的相关知识，解题核心是抓住变化过程中不变的数量和位置关系，结合判定定理确定图形形状，再利用性质推导结论，属于基础类应用题，侧重对基础知识的灵活应用考查。
【难度系数】
0.8
