14. 如图,在矩形ABCD中,O为对角线BD的中点,直线EF过点O且与边AD,BC分别交于点E,F,EF⊥BD,连结BE,DF。
(1)求证:四边形EBFD是菱形。
(2)若$AD=2AB=4$,求菱形EBFD的周长。

(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以$AD// BC,AD=BC$,所以$∠ EDO=∠ OBF$。因为O是BD中点,所以$BO=DO$。在$△ DEO$和$△ BFO$中，$\begin{cases}∠ EDO=∠ OBF,\\DO=BO,\\∠ EOD=∠ BOF,\end{cases}$所以$△ DEO≌△ BFO$(ASA),所以$OE=OF$,所以四边形EBFD是平行四边形。又因为$EF⊥ BD$,所以四边形EBFD是菱形。
(2)解:因为四边形EBFD是菱形,所以$ED=EB,EF⊥ BD$。因为$AD=2AB=4$,所以$AB=2$。设$AE=x$,则$ED=EB=4-x$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$BE^2-AB^2=AE^2$,即$(4-x)^2=2^2+x^2$,所以$x=\dfrac{3}{2}$,所以$AE=\dfrac{3}{2}$,所以$DE=4-\dfrac{3}{2}=2.5$,所以菱形EBFD的周长$=4×2.5=10$。

15. 如图，某校准备在校园里利用25 m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60 m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为x m。
(1)BC的长为m；x的取值范围是。
(2)当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400 m²？
(3)嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500 m²。”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由。

(1)$(60-2x)$ $17.5≤ x＜30$ 解析:因为$AB=x$ m,所以$BC=(60-2x)$m,因为$0＜BC≤25$,所以$17.5≤ x＜30$。
(2)根据题意得$x(60-2x)=400$,整理得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$(舍),$x_2=20$。答:当$x$为20时,矩形花园ABCD的面积为400 m²。
(3)嘉嘉的说法不正确。理由如下:根据题意得$x^2-30x+250=0$,因为$\Delta=b^2-4ac=(-30)^2-4×1×250=-100＜0$,所以该方程无实数根,所以矩形花园ABCD的面积不可以为500 m²,即嘉嘉的说法不正确。