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1. 如图,在四边形ABCD中,∠A=100°,∠C=70°.点M,N分别在AB,BC上,将四边形ABCD沿MN对折得到△FMN,若MF//AD,FN//DC,则∠D等于 ()
A.$35°$
B.$70°$
C.$95°$
D.$125°$
A.$35°$
B.$70°$
C.$95°$
D.$125°$
答案
C
解析
根据平行线性质，MF//AD得∠BMF=∠A=100°，FN//DC得∠BNF=∠C=70°；由折叠性质，∠BMN=∠FMN=½∠BMF=50°，∠BNM=∠FNM=½∠BNF=35°；在△BMN中，∠B=180°-50°-35°=95°；四边形内角和为360°，故∠D=360°-100°-95°-70°=95°。
2. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF⊥BE于G,AB=4,DE=1,则AF的长为 （）
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B
解析
在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠BAE=∠ADF=90°，AE=AD-DE=4-1=3。因为AF⊥BE，所以∠AGB=90°，得∠ABE+∠BAG=90°，又∠BAG+∠DAF=90°，故∠ABE=∠DAF。可证△ABE≌△DAF（ASA），则AF=BE。在Rt△ABE中，BE=√(AB²+AE²)=√(4²+3²)=5，所以AF=5。
3. 在一个多边形中，小于$140°$的内角最多有个.
答案
8
解析
多边形的内角与相邻外角互补，若内角小于140°，则对应的外角大于40°。因为任意多边形的外角和为360°，设小于140°的内角有k个，则这k个外角的和大于40k，可得不等式40k ＜ 360，解得k ＜9，所以k的最大整数值为8。
4. 已知$□ ABCD$的周长为40，且边AB，BC上的高分别为4和6，则AB=，BC=。
答案
12；8
解析
根据平行四边形对边相等，周长为40，可得$2(AB+BC)=40$，即$AB+BC=20$；平行四边形面积公式为底×高，因此面积$=4AB=6BC$，化简得$2AB=3BC$。联立方程组$\begin{cases}AB+BC=20 \\2AB=3BC \end{cases}$，将$AB=\frac{3}{2}BC$代入$AB+BC=20$，得$\frac{3}{2}BC + BC=20$，解得$BC=8$，则$AB=20-8=12$。
5. 如图,在菱形ABCD中,AB=5,过点A作AE⊥BC于点E,交BD于点F,G为DF的中点,若∠BAG=90°,求AG的长.
答案
5√3/3
解析
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以AD=AB=5，AD//BC，BD平分∠ADC，故∠ABD=∠ADB；2. 由AE⊥BC，得AE⊥AD，即∠DAF=90°，又G为DF中点，根据直角三角形斜边中线定理，AG=DG，所以∠GAD=∠ADB；3. 设∠ADB=θ，则∠ABD=∠GAD=θ，∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°+θ，菱形邻角互补，∠BAD+∠ABC=180°，且AD//BC得∠DBC=∠ADB=θ，故∠ABC=∠ABD+∠DBC=2θ，因此(90°+θ)+2θ=180°，解得θ=30°；4. 在Rt△ADF中，∠ADF=30°，AD=5，cos30°=AD/DF，得DF=5/(√3/2)=10√3/3，AG为DF中线，故AG=DF/2=5√3/3。
6. 小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹根A处3尺远。请解答：折断处B离地面有多高？
答案
5尺
解析
设折断处B离地面的高度为x尺，则折断部分BP的长度为(10 - x)尺。根据题意，BP、水平距离3尺、竖直距离(9 - x)尺构成直角三角形，由勾股定理得：3² + (9 - x)² = (10 - x)²。展开方程：9 + 81 - 18x + x² = 100 - 20x + x²，化简得2x = 10，解得x=5。
