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限x为
11.若命题“∀x∈R，$x^2 -4x +a≠0$”为假命题，则实数a的取值范围是
四 解答题(12题13分，13题15分，14题15分，共43分)
12.(1)若$0＜x＜2$，求$y=3x(2-x)$的最大值；
(2)已知$x＞0,y＞0,\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，求$x+y$的取值范围.
13.(1)$a,b,c$为实数，求证：$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)≥0$；
(2)设$a≥b＞0$，求证：$a^3 +b^3 ≥a^2b +ab^2$.
14.(1)若不等式$mx^2 +(1-m)x +m-2≥-2$对一切实数$x$恒成立，求实数$m$的取值范围；
(2)解关于$x$的不等式$mx^2 +(1-m)x +m-2 ＜ m-1$.
(提示：(1)由二次项系数为参数$m$，想到需要分$m=0$和$m≠0$进行讨论：当$m=0$时，代入判断；当$m≠0$时，结合二次函数的图象和性质列出不等式组求解.
(2)原式可化为$mx^2 +(1-m)x -1 ＜0$，对不等式左边进行因式分解，进而分类讨论求得不等式的解集)
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4
，此时年平均最低花费为32
万元.11.若命题“∀x∈R，$x^2 -4x +a≠0$”为假命题，则实数a的取值范围是
$\{a∣ a≤4\}$
.四 解答题(12题13分，13题15分，14题15分，共43分)
12.(1)若$0＜x＜2$，求$y=3x(2-x)$的最大值；
(2)已知$x＞0,y＞0,\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，求$x+y$的取值范围.
13.(1)$a,b,c$为实数，求证：$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)≥0$；
(2)设$a≥b＞0$，求证：$a^3 +b^3 ≥a^2b +ab^2$.
14.(1)若不等式$mx^2 +(1-m)x +m-2≥-2$对一切实数$x$恒成立，求实数$m$的取值范围；
(2)解关于$x$的不等式$mx^2 +(1-m)x +m-2 ＜ m-1$.
(提示：(1)由二次项系数为参数$m$，想到需要分$m=0$和$m≠0$进行讨论：当$m=0$时，代入判断；当$m≠0$时，结合二次函数的图象和性质列出不等式组求解.
(2)原式可化为$mx^2 +(1-m)x -1 ＜0$，对不等式左边进行因式分解，进而分类讨论求得不等式的解集)
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答案
10.4 32 因为此设备所花费的各种费用总和$y$与$x$满足的函数关系为$y=4x^2+64$,且$x\in\mathbf{N}^*$,所以年平均花费为$\dfrac{y}{x}=4x+\dfrac{64}{x}≥2\sqrt{4x·\dfrac{64}{x}}=32$,当且仅当$4x=\dfrac{64}{x}$,即$x=4$时,等号成立,故若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限$x$为4,此时年平均最低花费为32万元.
11.$\{a∣ a≤4\}$ 因为题中命题为假命题,所以其否定命题为真命题,即“$∃ x\in\mathbf{R},x^2-4x+a=0$”为真命题,则方程$x^2-4x+a=0$有实数根,即$\Delta=16-4a≥0$,解得$a≤4$.
12.解:(1)由$0＜x＜2$,得$y=3x(2-x)≤3×(\dfrac{x+2-x}{2})^2=3$,当且仅当$x=2-x$,即$x=1$时,等号成立,所以$y=3x(2-x)$的最大值为3.
(2)因为$x＞0,y＞0,\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=1$,所以$x+y=(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y})=\dfrac{4x}{y}+\dfrac{y}{x}+5≥2\sqrt{\dfrac{4x}{y}·\dfrac{y}{x}}+5=9$,当且仅当$\dfrac{4x}{y}=\dfrac{y}{x}$,即$x=3,y=6$时,等号成立,所以$x+y$的取值范围为$[9,+∞)$.
13.证明:(1)要证$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)≥0$,需证$a^2+b^2+c^2≥ ab+bc+ca$.
因为$a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,c^2+a^2≥2ca$,(当且仅当$a=b,b=c,c=a$时,等号成立)
三式相加,得$2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca$,
所以$a^2+b^2+c^2≥ ab+bc+ca$,
即$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)≥0$.
(2)$(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2$.
因为$a＞0,b＞0$,所以$a+b＞0$.
又因为$(a-b)^2≥0$,所以$(a+b)(a-b)^2≥0$,故$(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)≥0$,即$a^3+b^3≥ a^2b+ab^2$.
14.解:(1)由题意可知,$mx^2+(1-m)x+m-2≥-2$,即$mx^2+(1-m)x+m≥0$对一切实数$x$恒成立.
当$m=0$时,$mx^2+(1-m)x+m=x≥0$不恒成立,故不符合题意;
当$m≠0$时,$\begin{cases}m＞0,\\\Delta=(1-m)^2-4m^2≤0,\end{cases}$解得$m≥\dfrac{1}{3}$.
综上,实数$m$的取值范围为$\{m∣ m≥\dfrac{1}{3}\}$.
(2)$mx^2+(1-m)x+m-2＜m-1$可化为$mx^2+(1-m)x-1＜0$,即$(mx+1)(x-1)＜0$.
①当$m=0$时,$x＜1$,故原不等式的解集为$\{x∣ x＜1\}$.
②当$m＜0$时,$(x+\dfrac{1}{m})(x-1)＞0$.
当$-\dfrac{1}{m}＞1$,即$-1＜m＜0$时,解得$x＜1$或$x＞-\dfrac{1}{m}$,故原不等式的解集为$\{x∣ x＜1,或x＞-\dfrac{1}{m}\}$;
当$-\dfrac{1}{m}=1$,即$m=-1$时,解得$x≠1$,故原不等式的解集为$\{x∣ x≠1\}$;
当$-\dfrac{1}{m}＜1$,即$m＜-1$时,解得$x＜-\dfrac{1}{m}$或$x＞1$,故原不等式的解集为$\{x∣ x＜-\dfrac{1}{m},或x＞1\}$.
③当$m＞0$时,$(x+\dfrac{1}{m})(x-1)＜0$,解得$-\dfrac{1}{m}＜x＜1$,故原不等式的解集为$\{x∣ -\dfrac{1}{m}＜x＜1\}$.
综上,当$m=0$时,原不等式的解集为$\{x∣ x＜1\}$;
当$-1＜m＜0$时,原不等式的解集为$\{x∣ x＜1,或x＞-\dfrac{1}{m}\}$;
当$m=-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ x≠1\}$;
当$m＜-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ x＜-\dfrac{1}{m},或x＞1\}$;
当$m＞0$时,原不等式的解集为$\{x∣ -\dfrac{1}{m}＜x＜1\}$.
11.$\{a∣ a≤4\}$ 因为题中命题为假命题,所以其否定命题为真命题,即“$∃ x\in\mathbf{R},x^2-4x+a=0$”为真命题,则方程$x^2-4x+a=0$有实数根,即$\Delta=16-4a≥0$,解得$a≤4$.
12.解:(1)由$0＜x＜2$,得$y=3x(2-x)≤3×(\dfrac{x+2-x}{2})^2=3$,当且仅当$x=2-x$,即$x=1$时,等号成立,所以$y=3x(2-x)$的最大值为3.
(2)因为$x＞0,y＞0,\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=1$,所以$x+y=(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y})=\dfrac{4x}{y}+\dfrac{y}{x}+5≥2\sqrt{\dfrac{4x}{y}·\dfrac{y}{x}}+5=9$,当且仅当$\dfrac{4x}{y}=\dfrac{y}{x}$,即$x=3,y=6$时,等号成立,所以$x+y$的取值范围为$[9,+∞)$.
13.证明:(1)要证$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)≥0$,需证$a^2+b^2+c^2≥ ab+bc+ca$.
因为$a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,c^2+a^2≥2ca$,(当且仅当$a=b,b=c,c=a$时,等号成立)
三式相加,得$2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca$,
所以$a^2+b^2+c^2≥ ab+bc+ca$,
即$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)≥0$.
(2)$(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2$.
因为$a＞0,b＞0$,所以$a+b＞0$.
又因为$(a-b)^2≥0$,所以$(a+b)(a-b)^2≥0$,故$(a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)≥0$,即$a^3+b^3≥ a^2b+ab^2$.
14.解:(1)由题意可知,$mx^2+(1-m)x+m-2≥-2$,即$mx^2+(1-m)x+m≥0$对一切实数$x$恒成立.
当$m=0$时,$mx^2+(1-m)x+m=x≥0$不恒成立,故不符合题意;
当$m≠0$时,$\begin{cases}m＞0,\\\Delta=(1-m)^2-4m^2≤0,\end{cases}$解得$m≥\dfrac{1}{3}$.
综上,实数$m$的取值范围为$\{m∣ m≥\dfrac{1}{3}\}$.
(2)$mx^2+(1-m)x+m-2＜m-1$可化为$mx^2+(1-m)x-1＜0$,即$(mx+1)(x-1)＜0$.
①当$m=0$时,$x＜1$,故原不等式的解集为$\{x∣ x＜1\}$.
②当$m＜0$时,$(x+\dfrac{1}{m})(x-1)＞0$.
当$-\dfrac{1}{m}＞1$,即$-1＜m＜0$时,解得$x＜1$或$x＞-\dfrac{1}{m}$,故原不等式的解集为$\{x∣ x＜1,或x＞-\dfrac{1}{m}\}$;
当$-\dfrac{1}{m}=1$,即$m=-1$时,解得$x≠1$,故原不等式的解集为$\{x∣ x≠1\}$;
当$-\dfrac{1}{m}＜1$,即$m＜-1$时,解得$x＜-\dfrac{1}{m}$或$x＞1$,故原不等式的解集为$\{x∣ x＜-\dfrac{1}{m},或x＞1\}$.
③当$m＞0$时,$(x+\dfrac{1}{m})(x-1)＜0$,解得$-\dfrac{1}{m}＜x＜1$,故原不等式的解集为$\{x∣ -\dfrac{1}{m}＜x＜1\}$.
综上,当$m=0$时,原不等式的解集为$\{x∣ x＜1\}$;
当$-1＜m＜0$时,原不等式的解集为$\{x∣ x＜1,或x＞-\dfrac{1}{m}\}$;
当$m=-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ x≠1\}$;
当$m＜-1$时,原不等式的解集为$\{x∣ x＜-\dfrac{1}{m},或x＞1\}$;
当$m＞0$时,原不等式的解集为$\{x∣ -\dfrac{1}{m}＜x＜1\}$.
