登录
1.命题“$∀ x \in \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$是无理数”的否定是（
A.$∃ x \in \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
B.$∀ x \in \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
C.$∃ x ∉ \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
D.$∀ x ∉ \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
A
）A.$∃ x \in \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
B.$∀ x \in \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
C.$∃ x ∉ \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
D.$∀ x ∉ \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数
答案
1.A 首先转换量词:将“∀”改为“∃”;然后否定结论:将“$x+\sqrt{5}$是无理数”改为“$x+\sqrt{5}$不是无理数”.故原命题的否定是“$∃ x \in \mathbb{Q}, x+\sqrt{5}$不是无理数”.
2.已知$a＞0$,则$a+\frac{1}{a}+1$的最小值为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.B 因为$a＞0$,所以$a+\dfrac{1}{a}+1≥2\sqrt{a·\dfrac{1}{a}}+1=3$,当且仅当$a=\dfrac{1}{a}$,即$a=1$时,等号成立.
3.已知$A=\{x|0≤ x≤2\},B=\{1,2\}$，下列各图能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（
C
）答案
3.C 已知函数的定义域$A=\{x|0≤ x≤2\}$,值域$B=\{1,2\}$.对于A,函数的值域为$[0,2]$,不符合题意;对于B,函数的值域为$[1,2]$,不符合题意;对于C,函数的定义域为$\{x|0≤ x≤2\}$,值域为$\{1,2\}$,符合题意;对于D,不符合函数的定义,不符合题意.
4.设 $ a ＜ b ＜ 0 $，则下列不等式一定成立的是（
A.$ ab ＞ b^2 $
B.$ \frac{b}{a} ＞ \frac{a}{b} $
C.$ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $
D.$ \frac{a+b}{b} ＜ 1 $
A
）A.$ ab ＞ b^2 $
B.$ \frac{b}{a} ＞ \frac{a}{b} $
C.$ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $
D.$ \frac{a+b}{b} ＜ 1 $
答案
4.A 因为$a＜b＜0$,所以$a· b＞b· b$,即$ab＞b^2$,A选项正确;因为$a＜b＜0$,所以$ab＞0,b+a＜0,b-a＞0$,所以$\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}=\dfrac{(b+a)(b-a)}{ab}＜0$,所以$\dfrac{b}{a}＜\dfrac{a}{b}$,B选项错误;因为$a＜b＜0$,所以$ab＞0$,所以$\dfrac{a}{ab}＜\dfrac{b}{ab}$,即$\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{a}$,C选项错误;因为$a＜b＜0$,所以$\dfrac{a+b}{b}-1=\dfrac{a}{b}＞0$,即$\dfrac{a+b}{b}＞1$,D选项错误.
5. “$\frac{x-1}{x+1} ≤ 1$”是“$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$”的（
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
）A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
5.B 解不等式$\dfrac{x-1}{x+1}≤1$,得$x＞-1$(注意分母不为0);解不等式$x^2-2x-3＜0$,得$-1＜x＜3$.因为集合$\{x|-1＜x＜3\}$真包含于集合$\{x|x＞-1\}$,所以“$\dfrac{x-1}{x+1}≤1$”是“$x^2-2x-3＜0$”的必要不充分条件.
6.若$A=-y^2+4x-3,B=x^2+2x+2y$,则
A,B的大小关系为 （
A.$A＞B$
B.$A＜B$
C.$A=B$
D.无法确定
A,B的大小关系为 （
B
）A.$A＞B$
B.$A＜B$
C.$A=B$
D.无法确定
答案
6.B 因为$B-A=x^2+2x+2y-(-y^2+4x-3)=x^2-2x+y^2+2y+3=(x-1)^2+(y+1)^2+1≥1＞0$,所以$B-A＞0$,所以$A＜B$.
7.已知$1＜a＜2,-3＜b＜-1$,则下列结论错误的是（
A.$-2＜a+b＜1$
B.$2＜a-b＜5$
C.$-6＜ab＜-1$
D.$-3＜\dfrac{b}{a}＜-2$
D
）A.$-2＜a+b＜1$
B.$2＜a-b＜5$
C.$-6＜ab＜-1$
D.$-3＜\dfrac{b}{a}＜-2$
答案
7.D 由于$1＜a＜2,-3＜b＜-1$,所以$-2＜a+b＜1$,故A正确,不符合题意;由于$1＜a＜2,-3＜b＜-1$,所以$1＜-b＜3$,所以$2＜a-b＜5$,故B正确,不符合题意;由于$1＜a＜2,-3＜b＜-1$,所以$-6＜ab＜-1$,故C正确,不符合题意;由于$1＜a＜2,-3＜b＜-1$,所以$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{1}{a}＜1$,所以$-3＜\dfrac{b}{a}＜-\dfrac{1}{2}$,故D错误,符合题意.
8.下列选项正确的是（
A.若$x≠0$，则$x+\frac{1}{x}$的最小值为2
B.若$x＞1$，则$x+\frac{1}{x-1}$的最小值为3
C.$y=\sqrt{x^2+3}+\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$的最小值为2
D.$y=2+x+\frac{1}{x}(x＜0)$的最大值为0
BD
）A.若$x≠0$，则$x+\frac{1}{x}$的最小值为2
B.若$x＞1$，则$x+\frac{1}{x-1}$的最小值为3
C.$y=\sqrt{x^2+3}+\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$的最小值为2
D.$y=2+x+\frac{1}{x}(x＜0)$的最大值为0
答案
8.BD 当$x＜0$时,$x+\dfrac{1}{x}＜0$,故$x+\dfrac{1}{x}$的最小值不为2,故A错误;当$x＞1$时,$x-1＞0$,$x+\dfrac{1}{x-1}=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1≥2\sqrt{(x-1)·\dfrac{1}{x-1}}+1=3$,当且仅当$x-1=\dfrac{1}{x-1}$,即$x=2$时,等号成立,故B正确;因为$\sqrt{x^2+3}≥\sqrt{3}$,所以$y=\sqrt{x^2+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3}}≥2$,当且仅当$\sqrt{x^2+3}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3}}$时,等号成立,但是$x^2+3=1$无实数根,所以取不到等号,故C错误;当$x＜0$时,$-x＞0$,$-x+\dfrac{1}{-x}≥2$,故$x+\dfrac{1}{x}≤-2$,因此$y=2+x+\dfrac{1}{x}≤0$,当且仅当$-x=\dfrac{1}{-x}$,即$x=-1$时,等号成立,故D正确.
9.已知关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c ≤ 0$的解集是$\{x|x ≤ -2,或x ≥ 6\}$，则下列说法正确的是（
A.$a ＜ 0$
B.不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$的解集是$\{x|-\frac{1}{6} ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$
C.$a + b + c ＞ 0$
D.不等式$bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|x ＜ -3\}$
ABC
）A.$a ＜ 0$
B.不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$的解集是$\{x|-\frac{1}{6} ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$
C.$a + b + c ＞ 0$
D.不等式$bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|x ＜ -3\}$
答案
9.ABC 因为关于$x$的不等式$ax^2+bx+c ≤ 0$的解集是$\{x|x≤-2,或x≥6\}$,所以$\begin{cases}a＜0,\\-2+6=-\dfrac{b}{a},\\-2×6=\dfrac{c}{a},\end{cases}$解得$\begin{cases}a＜0,\\b=-4a,\\c=-12a,\end{cases}$故A正确;$cx^2-bx+a＜0$可化为$-12ax^2+4ax+a＜0$,即$12x^2-4x-1＜0$,解得$-\dfrac{1}{6}＜x＜\dfrac{1}{2}$,故B正确;$a+b+c=a-4a-12a=-15a＞0$,故C正确;$bx+c＞0$可化为$-4ax-12a＞0$,即$x+3＞0$,解得$x＞-3$,故D错误.
10.某厂商更新设备，已知在未来$x(x\in \mathbf{N}^*)$年内，此设备所花费的各种费用总和$y$（万元）与$x$满足函数关系$y=4x^2 +64$。若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年
答案
解：
设该设备的年平均花费为$f(x)$，由题意得：
$f(x)=\frac{y}{x}=\frac{4x^2+64}{x}=4x+\frac{64}{x},\quad x\in \mathbf{N}^*$
由基本不等式，对正实数$a,b$有$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立，代入得：
$4x+\frac{64}{x}\ge 2\sqrt{4x· \frac{64}{x}}=2\sqrt{256}=32$
当且仅当$4x=\frac{64}{x}$时等号成立，整理得$x^2=16$，结合$x\in \mathbf{N}^*$解得$x=4$。
答：此设备使用4年时年平均花费最低，所求使用年数为4。
设该设备的年平均花费为$f(x)$，由题意得：
$f(x)=\frac{y}{x}=\frac{4x^2+64}{x}=4x+\frac{64}{x},\quad x\in \mathbf{N}^*$
由基本不等式，对正实数$a,b$有$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立，代入得：
$4x+\frac{64}{x}\ge 2\sqrt{4x· \frac{64}{x}}=2\sqrt{256}=32$
当且仅当$4x=\frac{64}{x}$时等号成立，整理得$x^2=16$，结合$x\in \mathbf{N}^*$解得$x=4$。
答：此设备使用4年时年平均花费最低，所求使用年数为4。
