【典例4】已知函数$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，且它们的定义域均为$\{x ∣ x ≠ \pm 1\}$。若$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，求$f(x),g(x)$的解析式。
解题指导 先将等式中的$x$换为$-x$，再根据函数的奇偶性进行化简，即可组成关于$f(x)$和$g(x)$的方程组，进而求解。
答案 解:因为$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，所以由$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，得$f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=-\frac{1}{x+1}$。
联立$\begin{cases} f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}, \\ g(x)-f(x)=-\frac{1}{x+1}, \end{cases}$
得$f(x)=\frac{x}{x^2 -1},g(x)=\frac{1}{x^2 -1}$。

解：
因为$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，
所以$f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$。
已知$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$ ①，
将式中$x$替换为$-x$，得：
$f(-x)+g(-x)=\frac{1}{-x-1}$，
代入奇偶性化简得：$-f(x)+g(x)=-\frac{1}{x+1}$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1} \\g(x)-f(x)=-\frac{1}{x+1}\end{cases}$
①$-$②，得$2f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x}{x^2-1}$，
解得$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$。
①$+$②，得$2g(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}$，
解得$g(x)=\frac{1}{x^2-1}$。
两函数定义域均为$\{x|x≠\pm1\}$，符合题意。
综上，$f(x)=\frac{x}{x^2-1}(x≠\pm1)$，$g(x)=\frac{1}{x^2-1}(x≠\pm1)$。

【变式3】(1)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x＜0$时，$f(x)=-x^3+3x+2$，则$f(x)$的解析式为________；
(2)已知函数$f(x),g(x),h(x)$的定义域都为$\mathbf{R}$，其中$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，且$f(x)=(x+1)h(x),g(x)=h(x)-x^3$，则函数$h(x)=\_\_\_\_\_\_$。

(1)由函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,得$f(0)=0$.
因为当$x＜0$时,$f(x)=-x^3+3x+2$,
所以当$x＞0$时,$-x＜0$,所以$f(-x)=-(-x)^3+3(-x)+2=x^3-3x+2$.
又因为$f(x)$是奇函数,
所以当$x＞0$时,$f(x)=-f(-x)=-x^3+3x-2$.
故$f(x)=\begin{cases} -x^3+3x+2,x＜0, \\ 0,x=0, \\ -x^3+3x-2,x＞0. \end{cases}$
(2)因为$g(x)$为偶函数,所以$g(-x)=g(x)$.
又$g(x)=h(x)-x^3$,
所以$h(-x)-(-x)^3=h(x)-x^3$,
即$h(-x)=h(x)-2x^3$.①
因为$f(x)$为奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$.
又$f(x)=(x+1)h(x)$,
所以$(-x+1)h(-x)=-(x+1)h(x)$.②
将①代入②,得$(-x+1)[h(x)-2x^3]=-(x+1)h(x)$,
所以$(-x+1)h(x)+2x^3(x-1)=-(x+1)h(x)$,
解得$h(x)=x^3-x^4$.

【典例5】已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x-4)=-f(x)$，且在区间$[0,2]$上单调递增，则（）

A.$f(-1)＜f(3)＜f(4)$
B.$f(4)＜f(3)＜f(-1)$
C.$f(3)＜f(4)＜f(-1)$
D.$f(-1)＜f(4)＜f(3)$
解题指导 第1步:利用奇函数性质$f(-x)=-f(x)$及条件$f(x-4)=-f(x)$，将$f(3)$和$f(4)$转化为区间$[0,2]$上的函数值.
第2步:根据函数在区间$[0,2]$上单调递增以及函数值的正负得出答案.
解析 因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且满足$f(x-4)=-f(x)$，
所以$f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=f(1)$，
$f(4)=-f(4-4)=-f(0)=f(0)=0$.
因为$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递增，
所以$f(1)＞f(0)=0$，即$f(3)＞f(4)=0$.
又因为$f(-1)=-f(1)＜0$，
所以$f(-1)＜f(4)＜f(3)$.
答案 D

D

因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且满足$f(x-4)=-f(x)$，所以$f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=f(1)$，$f(4)=-f(4-4)=-f(0)=f(0)=0$。由$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递增，得$f(1)＞f(0)=0$，即$f(3)＞f(4)=0$。又$f(-1)=-f(1)＜0$，因此$f(-1)＜f(4)＜f(3)$。

【变式4】设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的偶函数，且$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递增，则（）

A.$f(-π)＜f(-2)＜f(3)$
B.$f(-2)＜f(3)＜f(-π)$
C.$f(-π)＜f(3)＜f(-2)$
D.$f(3)＜f(-2)＜f(-π)$

B 因为$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的偶函数,所以$f(-2)=f(2)$,$f(-π)=f(π)$.又因为$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递增,且$2＜3＜π$,所以$f(2)＜f(3)＜f(π)$,即$f(-2)＜f(3)＜f(-π)$.