(3)$f(x)=\begin{cases} x^2 -2x +3, & x＞0, \\ 0, & $$=0, \\ -x^2 -2x -3, & x＜0. \end{cases}$

函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$,关于原点对称.
①当$x＞0$时,$-x＜0$,所以$f(-x)=-(-x)^2-2 · (-x)-3=-(x^2-2x+3)=-f(x)$;
②当$x＜0$时,$-x＞0$,所以$f(-x)=(-x)^2-2 · (-x)+3=-(-x^2-2x-3)=-f(x)$;
③当$x=0$时,$-x=0$,所以$f(-x)=f(0)=0$,$f(x)=f(0)=0$,所以$f(-x)=-f(x)$.
综上所述,函数$f(x)$为奇函数.

【典例2】设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x＜0$时，$f(x)=3x-1$，则$f(0)+f(4)=$.
解题指导 根据奇函数的性质：$f(0)=0$，$f(-x)=-f(x)$求解.
解析 因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，$f(4)=-f(-4)$.(利用奇函数的定义，将未知解析式的自变量转变为已知解析式的自变量去求解)因为当$x＜0$时，$f(x)=3x-1$，所以$f(4)=-f(-4)=-(-4×3-1)=13$，所以$f(0)+f(4)=0+13=13$.
答案 13

解：
因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
所以$f(0)=0$，且满足$f(-x)=-f(x)$。
已知当$x＜0$时，$f(x)=3x-1$，且$-4＜0$，
因此$f(-4)=3×(-4)-1=-13$，
由奇函数性质可得$f(4)=-f(-4)=-(-13)=13$，
所以$f(0)+f(4)=0+13=13$。

【变式2】(一题多解)已知函数$f(x)=ax^3 + bx + \frac{c}{x} + 3$，若$f(t)=4$，求$f(-t)$的值.

方法1:因为$f(x)=ax^3+bx+\frac{c}{x}+3(x ≠ 0)$,所以$f(x)-3=ax^3+bx+\frac{c}{x}$是奇函数,
所以$f(-t)-3=-[f(t)-3]=-(4-3)=-1$,
即$f(-t)=3-1=2$.
方法2:根据题意,得$at^3+bt+\frac{c}{t}+3=4$,即$at^3+bt+\frac{c}{t}=1$,所以$f(-t)=a(-t)^3-bt-\frac{c}{t}+3=-(at^3+bt+\frac{c}{t})+3=-1+3=2$.

【典例3】已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，且当$x＞0$时，$f(x)=\frac{3-x}{x+1}$。求函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上的解析式.
解题指导 第1步:设$x＜0$,则$-x＞0$.
第2步:根据已知解析式求得$f(-x)$.
第3步:用分段函数的形式写出答案.
答案 解:设$x＜0$,(求谁设谁)则$-x＞0$,
所以$f(-x)=\frac{3+x}{-x+1}$.
因为$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,
所以$f(-x)=-f(x),f(0)=0$,
所以$-f(x)=\frac{3+x}{-x+1}$,所以$f(x)=\frac{3+x}{x-1}$,
所以$f(x)=\begin{cases}\frac{3-x}{x+1},&x＞0,\\0,&x=0,\\\frac{3+x}{x-1},&x＜0.\end{cases}$

解：设$x＜0$，则$-x＞0$，
因为当$x＞0$时，$f(x)=\frac{3-x}{x+1}$，
所以$f(-x)=\frac{3-(-x)}{(-x)+1}=\frac{3+x}{-x+1}$。
又因为$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，
所以$f(-x)=-f(x)$，且$f(0)=0$，
因此$-f(x)=\frac{3+x}{-x+1}$，整理得$f(x)=\frac{3+x}{x-1}$。
综上，函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上的解析式为：
$f(x)=\begin{cases}\frac{3-x}{x+1},&x＞0,\\0,&x=0,\\\frac{3+x}{x-1},&x＜0.\end{cases}$