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1. 下列关于角平分线的说法正确的是 （
A.角的平分线是一条线段
B.角的平分线是平分这个角的直线
C.在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线
D.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线
D
）A.角的平分线是一条线段
B.角的平分线是平分这个角的直线
C.在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线
D.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确角平分线的核心定义，再结合直线、射线、线段的特征逐一辨析选项：首先回忆角平分线的定义要点：①位置在角的内部；②端点是角的顶点；③本质是射线，能将角分成两个相等的角。随后依次判断每个选项是否符合这几个要点即可得出正确答案。
【解析】
根据角平分线的定义：在角的内部，从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
对各选项逐一分析：
A. 角平分线是射线，不是有两个端点的线段，该选项错误；
B. 角平分线是有一个端点的射线，不是无端点、可向两端无限延伸的直线，直线会延伸到角的外部，不符合要求，该选项错误；
C. 角平分线不是直线，且直线没有端点，不符合“以角的顶点为端点”的特征，该选项错误；
D. 表述完全符合角平分线的定义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；直线、射线、线段的区别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握角平分线的定义，明确直线、射线、线段的特征差异，避免混淆相似概念导致失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确角平分线的核心定义，再结合直线、射线、线段的特征逐一辨析选项：首先回忆角平分线的定义要点：①位置在角的内部；②端点是角的顶点；③本质是射线，能将角分成两个相等的角。随后依次判断每个选项是否符合这几个要点即可得出正确答案。
【解析】
根据角平分线的定义：在角的内部，从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
对各选项逐一分析：
A. 角平分线是射线，不是有两个端点的线段，该选项错误；
B. 角平分线是有一个端点的射线，不是无端点、可向两端无限延伸的直线，直线会延伸到角的外部，不符合要求，该选项错误；
C. 角平分线不是直线，且直线没有端点，不符合“以角的顶点为端点”的特征，该选项错误；
D. 表述完全符合角平分线的定义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；直线、射线、线段的区别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握角平分线的定义，明确直线、射线、线段的特征差异，避免混淆相似概念导致失分。
【难度系数】
0.8
2. (2025 陕西) 如图 58-G-1,点 O 在直线 AB 上,OD 平分∠AOC.若∠1=52°,则∠2 的度数为 (
A.$76°$
B.$74°$
C.$64°$
D.$52°$
A
)A.$76°$
B.$74°$
C.$64°$
D.$52°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据角平分线的定义，可由已知∠1的度数求出∠AOC的度数；再结合点O在直线AB上，可知∠AOC与∠2组成平角，和为180°，用平角的度数减去∠AOC的度数就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOC，∠1=52°
∴∠AOC=2∠1=2×52°=104°
∵点O在直线AB上，∠AOB是平角，即∠AOC+∠2=180°
∴∠2=180°-∠AOC=180°-104°=76°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用角平分线的性质得到等角关系，再结合平角的和为180°计算未知角的度数，解题时注意理清图中各角的数量关系即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据角平分线的定义，可由已知∠1的度数求出∠AOC的度数；再结合点O在直线AB上，可知∠AOC与∠2组成平角，和为180°，用平角的度数减去∠AOC的度数就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOC，∠1=52°
∴∠AOC=2∠1=2×52°=104°
∵点O在直线AB上，∠AOB是平角，即∠AOC+∠2=180°
∴∠2=180°-∠AOC=180°-104°=76°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用角平分线的性质得到等角关系，再结合平角的和为180°计算未知角的度数，解题时注意理清图中各角的数量关系即可。
【难度系数】
0.8
3. (2025克州期末)如图58-G-2,OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠COD=25°,则∠AOB等于（
A.$50°$
B.$75°$
C.$100°$
D.$120°$
C
）A.$50°$
B.$75°$
C.$100°$
D.$120°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先梳理题目给出的角平分线条件，首先利用OD是∠AOC的平分线这一条件，结合已知的∠COD的度数，求出∠AOC的大小；再利用OC是∠AOB的平分线这一条件，由∠AOC的度数进一步求出∠AOB的度数即可得到答案。
【解析】
解：
∵OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，
∴∠AOC = 2∠COD = 2×25° = 50°，
又
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB = 2∠AOC = 2×50° = 100°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角度的计算
【点评】
本题属于角平分线定义的基础应用类题目，解题的关键是明确角平分线可将一个角分为两个相等的角，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目给出的角平分线条件，首先利用OD是∠AOC的平分线这一条件，结合已知的∠COD的度数，求出∠AOC的大小；再利用OC是∠AOB的平分线这一条件，由∠AOC的度数进一步求出∠AOB的度数即可得到答案。
【解析】
解：
∵OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，
∴∠AOC = 2∠COD = 2×25° = 50°，
又
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB = 2∠AOC = 2×50° = 100°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角度的计算
【点评】
本题属于角平分线定义的基础应用类题目，解题的关键是明确角平分线可将一个角分为两个相等的角，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠
BOC
=$\frac{1}{2}$
∠AOB，∠AOB=2
∠AOC=2
∠BOC.答案
4. BOC $\frac{1}{2}$ 2 2
解析
【分析】
本题考查角平分线定义的应用，解题思路如下：首先回忆角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做该角的角平分线。已知OC平分∠AOB，说明OC把∠AOB分成了两个相等的小角，由此可先得到两个小角的等量关系，再根据两个小角之和等于大角，推导得出小角和大角的倍数关系，即可完成填空。
【解析】
根据角平分线的定义可知：
若OC平分∠AOB，则OC将∠AOB分为两个大小相等的角，因此$∠ AOC=∠ BOC$；
又因为$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB$，所以$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$；
对上述式子变形可得$∠ AOB=2∠ AOC=2∠ BOC$。
因此四个空依次填BOC、$\frac{1}{2}$、2、2。
【答案】
BOC；$\frac{1}{2}$；2；2
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对角平分线定义的理解和直接应用，牢记相关概念即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线定义的应用，解题思路如下：首先回忆角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做该角的角平分线。已知OC平分∠AOB，说明OC把∠AOB分成了两个相等的小角，由此可先得到两个小角的等量关系，再根据两个小角之和等于大角，推导得出小角和大角的倍数关系，即可完成填空。
【解析】
根据角平分线的定义可知：
若OC平分∠AOB，则OC将∠AOB分为两个大小相等的角，因此$∠ AOC=∠ BOC$；
又因为$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB$，所以$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$；
对上述式子变形可得$∠ AOB=2∠ AOC=2∠ BOC$。
因此四个空依次填BOC、$\frac{1}{2}$、2、2。
【答案】
BOC；$\frac{1}{2}$；2；2
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对角平分线定义的理解和直接应用，牢记相关概念即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9
5. 如图58-G-3，OB，OC是$∠ AOD$的三等分线，则下列等式不正确的是（
A.$∠ AOD = 3∠ BOC$
B.$∠ AOD = 2∠ AOC$
C.$∠ AOB = ∠ BOC$
D.$∠ COD = \frac{1}{2}∠ AOC$
B
）A.$∠ AOD = 3∠ BOC$
B.$∠ AOD = 2∠ AOC$
C.$∠ AOB = ∠ BOC$
D.$∠ COD = \frac{1}{2}∠ AOC$
答案
5. B
解析
【分析】
首先明确已知条件：OB、OC是∠AOD的三等分线，根据角的三等分线定义，可推出∠AOB=∠BOC=∠COD。我们可以设这三个相等的角的度数均为x，将选项中涉及的角都用x表示，再逐一验证每个等式是否成立，即可找出不正确的选项。
【解析】
∵OB、OC是∠AOD的三等分线
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，设∠AOB=∠BOC=∠COD=x
则∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=3x
A选项：∠BOC=x，3∠BOC=3x=∠AOD，等式成立，不符合题意；
B选项：∠AOC=∠AOB+∠BOC=x+x=2x，2∠AOC=4x≠3x=∠AOD，等式不成立，符合题意；
C选项：由三等分线定义直接可得∠AOB=∠BOC，等式成立，不符合题意；
D选项：∠COD=x，∠AOC=2x，
∴∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC，等式成立，不符合题意。
综上，等式不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
角的三等分线；角的和差运算
【点评】
本题重点考查角的三等分线的性质，结合角的和差关系判断等式是否成立，核心是理解三等分线是将角平均分成三个相等的角，熟练掌握相关概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：OB、OC是∠AOD的三等分线，根据角的三等分线定义，可推出∠AOB=∠BOC=∠COD。我们可以设这三个相等的角的度数均为x，将选项中涉及的角都用x表示，再逐一验证每个等式是否成立，即可找出不正确的选项。
【解析】
∵OB、OC是∠AOD的三等分线
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，设∠AOB=∠BOC=∠COD=x
则∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=3x
A选项：∠BOC=x，3∠BOC=3x=∠AOD，等式成立，不符合题意；
B选项：∠AOC=∠AOB+∠BOC=x+x=2x，2∠AOC=4x≠3x=∠AOD，等式不成立，符合题意；
C选项：由三等分线定义直接可得∠AOB=∠BOC，等式成立，不符合题意；
D选项：∠COD=x，∠AOC=2x，
∴∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC，等式成立，不符合题意。
综上，等式不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
角的三等分线；角的和差运算
【点评】
本题重点考查角的三等分线的性质，结合角的和差关系判断等式是否成立，核心是理解三等分线是将角平均分成三个相等的角，熟练掌握相关概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图58-G -4，已知$∠ AOB = 75°$，$OC$，$OD$是$∠ AOB$的三等分线，则$∠ COD$的度数为
$25°$
。答案
6. $25°$
解析
【分析】
解题时首先明确角的三等分线的定义：角的三等分线是将一个角平均分成3个大小相等的角的两条射线，因此被三等分后的每个小角的度数都等于原角度数的三分之一。题目要求∠COD的度数，它是∠AOB被三等分后中间的那个小角，因此只需用∠AOB的度数除以3即可算出结果。
【解析】
解：
∵OC、OD是∠AOB的三等分线，
∴∠AOC = ∠COD = ∠DOB = $\frac{1}{3}$∠AOB，
已知∠AOB = 75°，代入得：
∠COD = $\frac{1}{3}$×75° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
角的三等分线定义、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对角的三等分线概念的掌握，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确角的三等分线的定义：角的三等分线是将一个角平均分成3个大小相等的角的两条射线，因此被三等分后的每个小角的度数都等于原角度数的三分之一。题目要求∠COD的度数，它是∠AOB被三等分后中间的那个小角，因此只需用∠AOB的度数除以3即可算出结果。
【解析】
解：
∵OC、OD是∠AOB的三等分线，
∴∠AOC = ∠COD = ∠DOB = $\frac{1}{3}$∠AOB，
已知∠AOB = 75°，代入得：
∠COD = $\frac{1}{3}$×75° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
角的三等分线定义、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对角的三等分线概念的掌握，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图58-G-5所示，$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$. 根据图形解答下列问题：
(1)是$∠2$的3倍的角是
(2)是$∠ AOD$的$\frac{1}{2}$的角有
(3)射线OC是哪个角的三等分线？又是哪个角的四等分线？
图58-G-5
(1)是$∠2$的3倍的角是
$∠AOE,∠BOC$
（用字母表示）；(2)是$∠ AOD$的$\frac{1}{2}$的角有
4
个；(3)射线OC是哪个角的三等分线？又是哪个角的四等分线？
图58-G-5
答案
7. 解:(1)$∠AOE,∠BOC$ (2)4
(3)因为$∠1=∠2=∠3$，
所以射线OC是$∠AOE$的三等分线。
因为$∠1=∠2=∠3=∠4$，
所以射线OC是$∠AOB$的四等分线。
(3)因为$∠1=∠2=∠3$，
所以射线OC是$∠AOE$的三等分线。
因为$∠1=∠2=∠3=∠4$，
所以射线OC是$∠AOB$的四等分线。
解析
【分析】
解题时先结合已知$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$的条件，根据各小问要求逐步推导：
(1) 先计算出$∠2$的3倍对应的度数，再在图中寻找由3个相邻等角组成的角，即可得到结果；
(2) 先计算$∠AOD$的度数，再求出它的$\frac{1}{2}$对应的度数，统计等于该度数的角的数量即可；
(3) 明确三等分线是将角平均分成3个相等小角的射线，四等分线是将角平均分成4个相等小角的射线，观察射线OC分得的大角包含的等角份数，就能找到对应的大角。
【解析】
(1) 先计算$∠2$的3倍的度数：$3×∠2=3×24°=72°$。
观察图形：$∠AOE=∠1+∠2+∠3=24°×3=72°$，$∠BOC=∠2+∠3+∠4=24°×3=72°$，符合要求。
(2) 先计算$∠AOD$的度数：$∠AOD=∠1+∠2=24°+24°=48°$，
则$\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×48°=24°$，
已知$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$，共4个等于24°的角，符合要求的角有4个。
(3) 观察$∠AOE$：$∠AOE=∠1+∠2+∠3=3×24°$，且$∠1=∠2=∠3$，说明射线OC、OD将$∠AOE$平均分为3个相等的角，因此OC是$∠AOE$的三等分线；
观察$∠AOB$：$∠AOB=∠1+∠2+∠3+∠4=4×24°$，且$∠1=∠2=∠3=∠4$，说明射线OC、OD、OE将$∠AOB$平均分为4个相等的角，因此OC是$∠AOB$的四等分线。
【答案】
(1)$∠AOE,∠BOC$
(2)4
(3)射线OC是$∠AOE$的三等分线，是$∠AOB$的四等分线。
【知识点】
角的和差计算；角的等分线定义
【点评】
本题侧重考查角的基础概念和和差运算，解题核心是结合图形准确识别角的组成，理清不同角之间的数量关系，属于基础类题型，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$的条件，根据各小问要求逐步推导：
(1) 先计算出$∠2$的3倍对应的度数，再在图中寻找由3个相邻等角组成的角，即可得到结果；
(2) 先计算$∠AOD$的度数，再求出它的$\frac{1}{2}$对应的度数，统计等于该度数的角的数量即可；
(3) 明确三等分线是将角平均分成3个相等小角的射线，四等分线是将角平均分成4个相等小角的射线，观察射线OC分得的大角包含的等角份数，就能找到对应的大角。
【解析】
(1) 先计算$∠2$的3倍的度数：$3×∠2=3×24°=72°$。
观察图形：$∠AOE=∠1+∠2+∠3=24°×3=72°$，$∠BOC=∠2+∠3+∠4=24°×3=72°$，符合要求。
(2) 先计算$∠AOD$的度数：$∠AOD=∠1+∠2=24°+24°=48°$，
则$\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×48°=24°$，
已知$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$，共4个等于24°的角，符合要求的角有4个。
(3) 观察$∠AOE$：$∠AOE=∠1+∠2+∠3=3×24°$，且$∠1=∠2=∠3$，说明射线OC、OD将$∠AOE$平均分为3个相等的角，因此OC是$∠AOE$的三等分线；
观察$∠AOB$：$∠AOB=∠1+∠2+∠3+∠4=4×24°$，且$∠1=∠2=∠3=∠4$，说明射线OC、OD、OE将$∠AOB$平均分为4个相等的角，因此OC是$∠AOB$的四等分线。
【答案】
(1)$∠AOE,∠BOC$
(2)4
(3)射线OC是$∠AOE$的三等分线，是$∠AOB$的四等分线。
【知识点】
角的和差计算；角的等分线定义
【点评】
本题侧重考查角的基础概念和和差运算，解题核心是结合图形准确识别角的组成，理清不同角之间的数量关系，属于基础类题型，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. 如图58-G-6所示的齿轮有16个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，则夹角$α$的度数为（
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$30°$
图58-G-6
B
）A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$30°$
图58-G-6
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先明确齿轮一周的角度是周角，为360°，已知齿轮共有16个齿，且每相邻两齿中心线的夹角相等，说明是把360°的周角平均分成16份，求其中1份的度数，用除法计算即可得到夹角α的度数。
【解析】
∵ 一周的角度为周角，大小是360°，齿轮共有16个齿，且每相邻两齿中心线的夹角相等
∴ 夹角α的度数为：$ α = 360° ÷ 16 = 22.5° $
【答案】
B
【知识点】
周角的认识；角度等分计算
【点评】
本题结合生活中常见的齿轮实物设计问题，解题的关键是明确周角的度数为360°，再结合等分的数量做除法计算即可，是基础的角度计算应用题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确齿轮一周的角度是周角，为360°，已知齿轮共有16个齿，且每相邻两齿中心线的夹角相等，说明是把360°的周角平均分成16份，求其中1份的度数，用除法计算即可得到夹角α的度数。
【解析】
∵ 一周的角度为周角，大小是360°，齿轮共有16个齿，且每相邻两齿中心线的夹角相等
∴ 夹角α的度数为：$ α = 360° ÷ 16 = 22.5° $
【答案】
B
【知识点】
周角的认识；角度等分计算
【点评】
本题结合生活中常见的齿轮实物设计问题，解题的关键是明确周角的度数为360°，再结合等分的数量做除法计算即可，是基础的角度计算应用题。
【难度系数】
0.9
9. 计算:(1)$22°16'×5$；(2)$42°15'÷5$；
(3)$62°24'17''×4$；
(4)$23°53'×3+107°43'÷5$。
(3)$62°24'17''×4$；
(4)$23°53'×3+107°43'÷5$。
答案
9. 解:(1)$22°16'×5$
$=110°80'$
$=111°20'$.
(2)$42°15'÷5$
$=8°+2°15'÷5$
$=8°+135'÷5$
$=8°27'$.
(3)$62°24'17''×4$
$=248°96'68''$
$=249°37'8''$.
(4)$23°53'×3+107°43'÷5$
$=71°39'+21°32'36''$
$=93°11'36''$.
$=110°80'$
$=111°20'$.
(2)$42°15'÷5$
$=8°+2°15'÷5$
$=8°+135'÷5$
$=8°27'$.
(3)$62°24'17''×4$
$=248°96'68''$
$=249°37'8''$.
(4)$23°53'×3+107°43'÷5$
$=71°39'+21°32'36''$
$=93°11'36''$.
解析
【分析】度、分、秒采用60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，解题可按以下思路推导：1. 乘法运算：分别将度、分、秒与乘数相乘，再从最低单位（秒）开始，每满60就向上一级单位进1；2. 除法运算：从最高单位（度）开始除，余数转化为下一级单位，和原有该级单位数值合并后继续除，依次计算到秒；3. 混合运算遵循先乘除后加减的规则，加减时同单位数值相加，满60向上一级进1，按规则逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) $22°16'×5$
$=110°80'$
$=111°20'$
(2) $42°15'÷5$
$=8°+2°15'÷5$
$=8°+135'÷5$
$=8°27'$
(3) $62°24'17''×4$
$=248°96'68''$
$=249°37'8''$
(4) $23°53'×3+107°43'÷5$
$=71°39'+21°32'36''$
$=93°11'36''$
【答案】
(1) $\boldsymbol{111°20'}$；(2) $\boldsymbol{8°27'}$；(3) $\boldsymbol{249°37'8''}$；(4) $\boldsymbol{93°11'36''}$
【知识点】
度分秒的换算、度分秒的运算
【点评】
本题核心考查度分秒的四则运算，解题关键是熟练掌握度分秒60进制的进位、单位转换规则，计算时注意每一步的单位转化，避免因进位、借位失误出错。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) $22°16'×5$
$=110°80'$
$=111°20'$
(2) $42°15'÷5$
$=8°+2°15'÷5$
$=8°+135'÷5$
$=8°27'$
(3) $62°24'17''×4$
$=248°96'68''$
$=249°37'8''$
(4) $23°53'×3+107°43'÷5$
$=71°39'+21°32'36''$
$=93°11'36''$
【答案】
(1) $\boldsymbol{111°20'}$；(2) $\boldsymbol{8°27'}$；(3) $\boldsymbol{249°37'8''}$；(4) $\boldsymbol{93°11'36''}$
【知识点】
度分秒的换算、度分秒的运算
【点评】
本题核心考查度分秒的四则运算，解题关键是熟练掌握度分秒60进制的进位、单位转换规则，计算时注意每一步的单位转化，避免因进位、借位失误出错。
【难度系数】
0.7
