10. 在同一平面内,若$∠ AOB=70°,∠ BOC=40°$,则$∠ AOC$的度数为.

10. $30°或110°$

【分析】
题目未明确OC与∠AOB的位置关系，需分两种情况讨论求解：①当OC在∠AOB内部时，∠AOC为两角之差；②当OC在∠AOB外部时，∠AOC为两角之和，分别计算即可得到所有可能的结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB的内部时：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70° - 40° = 30°$
2. 当OC在∠AOB的外部时：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70° + 40° = 110°$
综上，$∠ AOC$的度数为$30°$或$110°$。
【答案】
$30°或110°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略角的位置的不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时遇到未明确位置的角度计算问题，要全面分析所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6

11. 计算：
(1)$153°19'42''+26°40'28''$；
(2)$30°15'42''-18°50'32''$；
(3)$80°-57°44'33''$。

11. 解：(1)原式$=(153+26)°(19+40)'(42+28)''=179°59'70''=179°60'10''=180°10''$.
(2)原式$=29°75'42''-18°50'32''=11°25'10''$.
(3)原式$=79°59'60''-57°44'33''=22°15'27''$.

【分析】
度、分、秒采用60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$。计算角的加减法时，遵循同单位相加减的原则：①加法运算：度、分、秒分别相加，若某一单位的计算结果≥60，就向上一级进1，进位后剩余的数保留在本级；②减法运算：先对比同单位的数值，若某一级的数不够减，就向上一级借1，借来的1换算为下一级的60，再和本级原有数合并后进行减法计算。
【解析】
(1) 加法运算，先分别相加度、分、秒：
原式$=(153+26)°(19+40)'(42+28)''=179°59'70''$
因为$70''=60''+10''=1'10''$，换算后得$179°59'+1'10''=179°60'10''$
又因为$60'=1°$，再次换算得$179°+1°+10''=180°10''$。
(2) 减法运算，分位$15'＜50'$，需向度位借$1°$：
先将$30°15'42''$换算为$29°75'42''$（借的$1°=60'$，$15'+60'=75'$）
再同单位相减：原式$=29°75'42''-18°50'32''=(29-18)°(75-50)'(42-32)''=11°25'10''$。
(3) 被减数$80°$没有分、秒，需先换算单位：
将$80°$换算为$79°59'60''$（借$1°$为$60'$，再借$1'$为$60''$）
再同单位相减：原式$=79°59'60''-57°44'33''=(79-57)°(59-44)'(60-33)''=22°15'27''$。
【答案】
(1)$180°10''$；(2)$11°25'10''$；(3)$22°15'27''$
【知识点】
度分秒单位换算；角的加法运算；角的减法运算
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是掌握度分秒的60进制规则，解题时需注意加法的进位和减法的借位操作，避免混淆为10进制导致计算错误，熟练规则后可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

12. 如图57-G-10，O为直线AB上一点，OC，OD为从点O引出的两条射线，$∠ AOC = 70°$，$∠ BOD = \frac{3}{8}∠ COD$。
(1)$∠ COD$的度数为；
(2)在$∠ AOD$的内部作$∠ MON = 90°$，且$∠ AOM＞∠ AON$，设$∠ AON = x°$，用含$x$的代数式表示$∠ MOD$。

12. 解:(1)因为点O在直线AB上,所以$∠AOB=180°$,
即$∠AOC+∠COD+∠BOD=180°$.
因为$∠AOC=70°$,
所以$∠COD+∠BOD=180°-∠AOC=180°-70°=110°$.
因为$∠BOD=\frac{3}{8}∠COD$,所以$∠COD+\frac{3}{8}∠COD=110°$,
解得$∠COD=80°$.
(2)如图.
因为$∠AOC=70°,∠COD=80°$,
所以$∠AOD = ∠AOC + ∠COD =70°+80°=150°$.
因为$∠MON=90°,∠AON=x°$,
所以$∠MOD=∠AOD-∠AON-∠MON=150°-x°-90°=(60-x)°$.

【分析】
(1) 首先利用平角的性质：直线AB上的点O构成平角∠AOB=180°，可得∠AOC+∠COD+∠BOD=180°。已知∠AOC=70°，可先求出∠COD与∠BOD的度数和，再结合∠BOD=$\frac{3}{8}$∠COD的数量关系，代入即可求解∠COD的度数。
(2) 先通过角的和差关系求出∠AOD的总度数，再观察∠AOD内部的角的组成：∠AOD由∠AON、∠MON、∠MOD三部分构成，将已知的∠AOD、∠MON的度数和∠AON=x°代入和差公式，即可用含x的代数式表示出∠MOD。
【解析】
(1) 因为点O在直线AB上，所以$∠ AOB=180°$，即$∠ AOC+∠ COD+∠ BOD=180°$。
已知$∠ AOC=70°$，所以$∠ COD+∠ BOD=180°-∠ AOC=180°-70°=110°$。
又因为$∠ BOD=\frac{3}{8}∠ COD$，代入得：$∠ COD+\frac{3}{8}∠ COD=110°$，合并得$\frac{11}{8}∠ COD=110°$，解得$∠ COD=80°$。
(2) 如图

已知$∠ AOC=70°$，$∠ COD=80°$，所以$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=70°+80°=150°$。
因为$∠ MON=90°$，$∠ AON=x°$，且$∠ AON+∠ MON+∠ MOD=∠ AOD$，
所以$∠ MOD=∠ AOD-∠ AON-∠ MON=150°-x°-90°=(60-x)°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$
(2) $\boldsymbol{(60-x)°}$，对应辅助线图：
【知识点】
平角的定义，角的和差运算，角度计算
【点评】
本题属于角度运算的基础题，解题核心是准确梳理各角之间的和差关系，结合平角的性质建立等式求解，既考查了基础概念的掌握情况，也锻炼了结合图形分析角度关系的能力。
【难度系数】
0.8

1.（教材“探究”变式）把一副三角尺按图57-G-11所示的方式拼在一起，则$∠ ABC$的度数为（）

A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$135°$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确一副三角尺各个固定角的度数，再观察∠ABC是由哪两个三角尺的角拼接组成的，最后将这两个角的度数相加即可得到∠ABC的度数。
【解析】
我们常用的一副三角尺有两种，一种是等腰直角三角尺，三个角的度数分别为90°、45°、45°；另一种是锐角为30°和60°的直角三角尺，三个角的度数分别为90°、60°、30°。
观察图形可知，∠ABC是由30°的锐角和90°的直角拼接而成，因此：
$∠ ABC=30°+90°=120°$
【答案】
C
【知识点】
1. 三角尺角度特征
2. 角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角尺固有角度的记忆和角的和差运算能力，熟练掌握三角尺各角的度数是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 下列角度中,不能用一副三角尺画出来的是 （）

A.$15°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$165°$

2. C

【分析】
要判断哪个角度不能用一副三角尺画出，首先要明确一副三角尺包含的所有角度：30°、45°、60°、90°。能用一副三角尺画出的角，本质上都是这几个角度通过和、差运算得到的，且这类角一定是15°的整数倍。解题时可以逐个验证选项是否能通过上述角度的和差得到，即可得出答案。
【解析】
一副三角尺的角度为30°、45°、60°、90°，逐一分析选项：
A. $15° = 45° - 30°$，可以用三角尺画出，不符合题意；
B. $105° = 60° + 45°$，可以用三角尺画出，不符合题意；
C. 125°无法通过30°、45°、60°、90°的和或差运算得到，不能用三角尺画出，符合题意；
D. $165° = 90° + 45° + 30°$，可以用三角尺画出，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；角的和差运算
【点评】
本题核心考查对三角尺角度的掌握以及角的和差运算技巧，记住“能用一副三角尺画出的角均为15°的整数倍”这一规律，可快速完成判断。
【难度系数】
0.8

3. 如图57-G-12为一副三角尺，三角尺ABC的$45°$角的顶点B与三角尺BDE的$60°$角的顶点B重合.
(1) 如图①，当BE在$∠ ABC$内部，且$∠ CBD=90°$时，$∠ ABE$的度数为；
(2) 如图②，三角尺的顶点E，C，B在同一直线上，保持三角尺ABC不动，将三角尺BDE绕点B顺时针旋转，至点C，B，D第一次共线时停止.若$∠ ABD$的度数是$∠ ABE$的度数的2倍，请直接写出此时$∠ ABE$的度数.

3. 解:(1)因为$∠DBE=60°,∠CBD=90°$,
所以$∠CBE=∠CBD-∠DBE=90°-60°=30°$.
所以$∠ABE=∠ABC-∠CBE=45°-30°=15°$.
(2)如图.
当BE在$∠ABC$内部时,如图①.
设$∠ABE=x$,则$∠ABD=2∠ABE=2x$.
因为$∠ABE+∠ABD=∠DBE=60°$,
所以$x+2x=60°$,解得$x=20°$,即$∠ABE=20°$.
当BE在$∠ABC$外部时,如图②.
因为$∠ABD=∠ABE+∠DBE=2∠ABE$,
所以$∠ABE=∠DBE=60°$.
综上所述,此时$∠ABE$的度数为$20°或60°$.

【分析】
(1) 首先明确三角尺的固定角度：∠ABC=45°，∠DBE=60°。已知∠CBD=90°，先通过∠CBD与∠DBE的差求出∠CBE的度数，再用∠ABC减去∠CBE即可求得∠ABE的度数。
(2) 三角尺BDE绕点B顺时针旋转时，BE的位置存在两种情况：①BE在∠ABC内部；②BE在∠ABC外部。针对两种情况分别设∠ABE的度数为x，结合∠ABD=2∠ABE的数量关系和∠DBE=60°的固定角度列方程求解，最后验证结果符合旋转停止条件即可。
【解析】
(1) 由三角尺的角度特征得：∠DBE=60°，∠ABC=45°。
已知∠CBD=90°，因此：
$∠ CBE = ∠ CBD - ∠ DBE = 90° - 60° = 30°$
进一步计算∠ABE：
$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ CBE = 45° - 30° = 15°$
(2) 分两种情况讨论：
情况1：当BE在∠ABC内部时，如图。
设$∠ ABE=x$，则$∠ ABD=2∠ ABE=2x$。
观察角度和的关系可得：$∠ ABE + ∠ ABD = ∠ DBE=60°$，
代入得：$x + 2x = 60°$，解得$x=20°$，即$∠ ABE=20°$。
情况2：当BE在∠ABC外部时。
由角度关系得$∠ ABD = ∠ ABE + ∠ DBE$，结合题意$∠ ABD=2∠ ABE$，
因此：$2∠ ABE = ∠ ABE + 60°$，解得$∠ ABE=60°$。
两种情况均符合旋转停止的要求，均成立。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$；(2) $\boxed{20°或60°}$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的固定角度考查角度的运算，第二问需要根据旋转过程中边的位置分情况讨论，易错点是容易遗漏BE在∠ABC外部的情况，能有效考查学生思维的严谨性和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6