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9. 已知一个数$a$的绝对值是$\sqrt{3}$,则$2a+3\sqrt{3}$等于(
A.$3\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
C
).A.$3\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
答案
9. C
解析
【解析】
根据绝对值的定义，若$|a|=\sqrt{3}$，则$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$。
当$a=\sqrt{3}$时，$2a+3\sqrt{3}=2×\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
当$a=-\sqrt{3}$时，$2a+3\sqrt{3}=2×(-\sqrt{3})+3\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
因此$2a+3\sqrt{3}$的值为$5\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的定义；二次根式运算
【点评】
本题考查绝对值的性质与二次根式的加减运算，需注意绝对值为正数的数有两个，要分情况讨论计算，防止漏解。
根据绝对值的定义，若$|a|=\sqrt{3}$，则$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$。
当$a=\sqrt{3}$时，$2a+3\sqrt{3}=2×\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
当$a=-\sqrt{3}$时，$2a+3\sqrt{3}=2×(-\sqrt{3})+3\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
因此$2a+3\sqrt{3}$的值为$5\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的定义；二次根式运算
【点评】
本题考查绝对值的性质与二次根式的加减运算，需注意绝对值为正数的数有两个，要分情况讨论计算，防止漏解。
10. 有下列等式:$\sqrt[3]{2\dfrac{2}{7}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}}$,$\sqrt[3]{3\dfrac{3}{26}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{26}}$,$\sqrt[3]{4\dfrac{4}{63}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{63}}$,$···$.根据规律,可得出的一般结论是
$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^{3}-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）
.答案
10. $\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^{3}-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）
解析
【解析】
观察已知等式：
当$n=2$时，$\sqrt[3]{2+\dfrac{2}{2^3 - 1}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{2^3 - 1}}$；
当$n=3$时，$\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{3^3 - 1}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{3^3 - 1}}$；
当$n=4$时，$\sqrt[3]{4+\dfrac{4}{4^3 - 1}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{4^3 - 1}}$；
以此类推，可得出一般结论：$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^{3}-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）。
【答案】
$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^{3}-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）
【知识点】
根式规律探究
【点评】
本题通过观察具体等式归纳一般性规律，考查归纳推理能力，需准确分析等式中各部分的数字变化特征。
观察已知等式：
当$n=2$时，$\sqrt[3]{2+\dfrac{2}{2^3 - 1}}=2×\sqrt[3]{\dfrac{2}{2^3 - 1}}$；
当$n=3$时，$\sqrt[3]{3+\dfrac{3}{3^3 - 1}}=3×\sqrt[3]{\dfrac{3}{3^3 - 1}}$；
当$n=4$时，$\sqrt[3]{4+\dfrac{4}{4^3 - 1}}=4×\sqrt[3]{\dfrac{4}{4^3 - 1}}$；
以此类推，可得出一般结论：$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^{3}-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）。
【答案】
$\sqrt[3]{n+\dfrac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\dfrac{n}{n^{3}-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）
【知识点】
根式规律探究
【点评】
本题通过观察具体等式归纳一般性规律，考查归纳推理能力，需准确分析等式中各部分的数字变化特征。
11. 已知实数$a$,$b$,$c$,$d$,$e$,$f$,且$a$,$b$互为倒数,$c$,$d$互为相反数,$e$的绝对值为$\sqrt{2}$,$f$的算术平方根是$8$,求$\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{c+d}{5}+e^2+\sqrt[3]{f}$的值.
答案
11. $\dfrac{13}{2}$
解析
【解析】
根据题意，结合相关定义求出对应值：
1. 因为$a$，$b$互为倒数，所以$ab = 1$；
2. 因为$c$，$d$互为相反数，所以$c + d = 0$；
3. 因为$|e| = \sqrt{2}$，所以$e^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$；
4. 因为$f$的算术平方根是$8$，所以$f = 8^2 = 64$，则$\sqrt[3]{f} = \sqrt[3]{64} = 4$。
将上述值代入代数式计算：
$\begin{aligned}&\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{c+d}{5}+e^2+\sqrt[3]{f}\\=&\dfrac{1}{2}×1 + \dfrac{0}{5} + 2 + 4\\=&\dfrac{1}{2} + 0 + 2 + 4\\=&\dfrac{13}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{13}{2}$
【知识点】
倒数与相反数的定义，绝对值与算术平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题考查了基础数学概念的综合应用，熟练掌握倒数、相反数、绝对值、算术平方根、立方根的定义是解题关键，代入计算时需遵循运算顺序，保证计算准确。
根据题意，结合相关定义求出对应值：
1. 因为$a$，$b$互为倒数，所以$ab = 1$；
2. 因为$c$，$d$互为相反数，所以$c + d = 0$；
3. 因为$|e| = \sqrt{2}$，所以$e^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$；
4. 因为$f$的算术平方根是$8$，所以$f = 8^2 = 64$，则$\sqrt[3]{f} = \sqrt[3]{64} = 4$。
将上述值代入代数式计算：
$\begin{aligned}&\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{c+d}{5}+e^2+\sqrt[3]{f}\\=&\dfrac{1}{2}×1 + \dfrac{0}{5} + 2 + 4\\=&\dfrac{1}{2} + 0 + 2 + 4\\=&\dfrac{13}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{13}{2}$
【知识点】
倒数与相反数的定义，绝对值与算术平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题考查了基础数学概念的综合应用，熟练掌握倒数、相反数、绝对值、算术平方根、立方根的定义是解题关键，代入计算时需遵循运算顺序，保证计算准确。
12. 数学活动课上,数学兴趣小组的几名同学探究用$n$个面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形纸片剪拼成一个面积为$n\ \mathrm{dm}^2$的大正方形.下面是他们探究的部分结果.
(1) 如图①,当$n=2$时,拼成的大正方形$ABCD$的边长为
(2) 如图②,当$n=5$时,拼成的大正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为
(3) 如图③,当$n=10$时,①拼成的大正方形$A_2B_2C_2D_2$的边长为
(1) 如图①,当$n=2$时,拼成的大正方形$ABCD$的边长为
$\sqrt{2}\mathrm{ dm}$
.(2) 如图②,当$n=5$时,拼成的大正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长为
$\sqrt{5}\mathrm{ dm}$
.(3) 如图③,当$n=10$时,①拼成的大正方形$A_2B_2C_2D_2$的边长为
$\sqrt{10}\mathrm{ dm}$
;②沿着正方形纸片$A_2B_2C_2D_2$边的方向能否裁出一块面积为$8.64\ \mathrm{dm}^2$的长方形纸片,使它的长宽之比为$3:2$? 若能,请给出一种合适的裁剪方案;若不能,请说明理由.答案
12. (1) $\sqrt{2}\mathrm{ dm}$
(2) $\sqrt{5}\mathrm{ dm}$
(3) ① $\sqrt{10}\mathrm{ dm}$
② 设裁出的长方形纸片的长为$3x\mathrm{ dm}$，则宽为$2x\mathrm{ dm}$。
依题意，得$2x·3x=8.64$，
解得$x=\pm1.2$。
$\because x＞0$，
$\therefore x=1.2$。
则长为$3x=3.6\mathrm{ dm}$。
$\because3.6^{2}=12.96＞10$，$\therefore3.6＞\sqrt{10}$。
$\therefore$沿着正方形纸片$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$边的方向不能裁出一块长宽之比为$3:2$，且面积为$8.64\mathrm{ dm}^{2}$的长方形纸片。
(2) $\sqrt{5}\mathrm{ dm}$
(3) ① $\sqrt{10}\mathrm{ dm}$
② 设裁出的长方形纸片的长为$3x\mathrm{ dm}$，则宽为$2x\mathrm{ dm}$。
依题意，得$2x·3x=8.64$，
解得$x=\pm1.2$。
$\because x＞0$，
$\therefore x=1.2$。
则长为$3x=3.6\mathrm{ dm}$。
$\because3.6^{2}=12.96＞10$，$\therefore3.6＞\sqrt{10}$。
$\therefore$沿着正方形纸片$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$边的方向不能裁出一块长宽之比为$3:2$，且面积为$8.64\mathrm{ dm}^{2}$的长方形纸片。
