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1. 在$\sqrt{64}$，$\frac{1}{3}$，$π$，$\sqrt{2}-1$中，无理数的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)。A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1. C
解析
【解析】
先对各数逐一分析判断：
1. $\sqrt{64}=8$，是整数，属于有理数；
2. $\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{2}$是无理数，因此$\sqrt{2}-1$也是无理数。
综上，无理数有$π$、$\sqrt{2}-1$，共2个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、有理数的识别
【点评】
判断数是否为无理数时，需先将数化简，再依据无理数（无限不循环小数）的定义判定，常见无理数包括含$π$的数、开方开不尽的数等。
先对各数逐一分析判断：
1. $\sqrt{64}=8$，是整数，属于有理数；
2. $\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{2}$是无理数，因此$\sqrt{2}-1$也是无理数。
综上，无理数有$π$、$\sqrt{2}-1$，共2个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义、有理数的识别
【点评】
判断数是否为无理数时，需先将数化简，再依据无理数（无限不循环小数）的定义判定，常见无理数包括含$π$的数、开方开不尽的数等。
2. 在$-1$，$-\sqrt{2}$，$2$，$0$中，最小的数是(
A.$-1$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.0
B
)。A.$-1$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.0
答案
2. B
解析
【解析】
先判断数的正负：负数小于0和正数，故只需比较-1和$-\sqrt{2}$的大小。
因为$| -\sqrt{2} | = \sqrt{2} \approx1.414$，$| -1 | =1$，且$1.414＞1$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-\sqrt{2} ＜ -1$。
所以四个数的大小关系为：$-\sqrt{2} ＜ -1 ＜ 0 ＜ 2$，因此最小的数是$-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；负数比较法则
【点评】
本题考查实数的大小比较，核心是掌握负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的反而小。
先判断数的正负：负数小于0和正数，故只需比较-1和$-\sqrt{2}$的大小。
因为$| -\sqrt{2} | = \sqrt{2} \approx1.414$，$| -1 | =1$，且$1.414＞1$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-\sqrt{2} ＜ -1$。
所以四个数的大小关系为：$-\sqrt{2} ＜ -1 ＜ 0 ＜ 2$，因此最小的数是$-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；负数比较法则
【点评】
本题考查实数的大小比较，核心是掌握负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的反而小。
3. 已知$a$，$b$是两个连续的整数，且$a＜\sqrt{3}-1＜b$，则$a$，$b$分别是(
A.$-2$，$-1$
B.$-1$，0
C.0，1
D.1，2
C
)。A.$-2$，$-1$
B.$-1$，0
C.0，1
D.1，2
答案
3. C
解析
【解析】
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时减1，可得$0＜\sqrt{3}-1＜1$。
又因为$a$，$b$是两个连续的整数，且$a＜\sqrt{3}-1＜b$，所以$a=0$，$b=1$。
【答案】
C
【知识点】
估算无理数的大小、不等式的基本性质
【点评】
本题通过先估算$\sqrt{3}$的取值范围，再利用不等式的基本性质得到$\sqrt{3}-1$的范围，进而确定符合条件的连续整数，关键在于掌握无理数估算的方法。
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时减1，可得$0＜\sqrt{3}-1＜1$。
又因为$a$，$b$是两个连续的整数，且$a＜\sqrt{3}-1＜b$，所以$a=0$，$b=1$。
【答案】
C
【知识点】
估算无理数的大小、不等式的基本性质
【点评】
本题通过先估算$\sqrt{3}$的取值范围，再利用不等式的基本性质得到$\sqrt{3}-1$的范围，进而确定符合条件的连续整数，关键在于掌握无理数估算的方法。
4. 已知实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是(
A.$a+b＞0$
B.$a-b＞0$
C.$ab＞0$
D.$\frac{a}{b}＞0$
A
)。A.$a+b＞0$
B.$a-b＞0$
C.$ab＞0$
D.$\frac{a}{b}＞0$
答案
4. A
解析
【解析】
根据数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$b ＞ 1$。
选项A：因为$|b| ＞ |a|$，正数的绝对值更大，所以$a+b＞0$，该选项正确；
选项B：$a-b = a+(-b)$，$a$为负数，$-b$为负数，两负数相加结果为负，即$a-b＜0$，该选项错误；
选项C：$a$为负数，$b$为正数，异号两数相乘得负，即$ab＜0$，该选项错误；
选项D：$a$为负数，$b$为正数，异号两数相除得负，即$\frac{a}{b}＜0$，该选项错误。
综上，正确答案是A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的意义、有理数运算法则
【点评】
本题需先根据数轴判断出实数$a$、$b$的正负性及绝对值大小关系，再结合有理数的运算法则判断各选项的正误，关键是准确利用数轴信息分析数的特征。
根据数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$b ＞ 1$。
选项A：因为$|b| ＞ |a|$，正数的绝对值更大，所以$a+b＞0$，该选项正确；
选项B：$a-b = a+(-b)$，$a$为负数，$-b$为负数，两负数相加结果为负，即$a-b＜0$，该选项错误；
选项C：$a$为负数，$b$为正数，异号两数相乘得负，即$ab＜0$，该选项错误；
选项D：$a$为负数，$b$为正数，异号两数相除得负，即$\frac{a}{b}＜0$，该选项错误。
综上，正确答案是A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的意义、有理数运算法则
【点评】
本题需先根据数轴判断出实数$a$、$b$的正负性及绝对值大小关系，再结合有理数的运算法则判断各选项的正误，关键是准确利用数轴信息分析数的特征。
5. 若$\sqrt{12-n}$是整数$(n＞0)$，则$n$的最大值与最小值分别是(
A.12，0
B.11，0
C.12，3
D.11，3
C
)。A.12，0
B.11，0
C.12，3
D.11，3
答案
5. C
解析
【解析】
设$\sqrt{12-n}=k$（$k$为非负整数），则$12-n=k^2$，即$n=12-k^2$。
因为$n＞0$且$12-n≥0$，所以$0＜n≤12$。
当$k=0$时，$n=12-0=12$（$n$的最大值）；
当$k=3$时，$n=12-9=3$（$n$的最小值）；
当$k=4$时，$n=12-16=-4$，不符合$n＞0$，舍去。
因此$n$的最大值为12，最小值为3。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，整数的性质
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及整数的性质，通过设整数$k$将问题转化为方程求解，需严格遵循$n＞0$的限制条件，避免出现不符合题意的解。
设$\sqrt{12-n}=k$（$k$为非负整数），则$12-n=k^2$，即$n=12-k^2$。
因为$n＞0$且$12-n≥0$，所以$0＜n≤12$。
当$k=0$时，$n=12-0=12$（$n$的最大值）；
当$k=3$时，$n=12-9=3$（$n$的最小值）；
当$k=4$时，$n=12-16=-4$，不符合$n＞0$，舍去。
因此$n$的最大值为12，最小值为3。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，整数的性质
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及整数的性质，通过设整数$k$将问题转化为方程求解，需严格遵循$n＞0$的限制条件，避免出现不符合题意的解。
6. 若$x$，$y$为实数，且$|x-2|+\sqrt{y+3}=0$，则$(x+y)^{2025}$的值是
$-1$
。答案
6. $-1$
解析
【解析】
因为绝对值和算术平方根均为非负数，即$|x-2|≥0$，$\sqrt{y+3}≥0$，又因为$|x-2|+\sqrt{y+3}=0$，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，可得：
$x-2=0$，解得$x=2$；
$y+3=0$，解得$y=-3$；
则$x+y=2+(-3)=-1$，
所以$(x+y)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质、有理数的乘方
【点评】
本题考查非负数的性质与有理数乘方运算，利用非负数和为0的特点求出$x$、$y$的值是解题核心，需牢记负数的奇次幂为负数。
因为绝对值和算术平方根均为非负数，即$|x-2|≥0$，$\sqrt{y+3}≥0$，又因为$|x-2|+\sqrt{y+3}=0$，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，可得：
$x-2=0$，解得$x=2$；
$y+3=0$，解得$y=-3$；
则$x+y=2+(-3)=-1$，
所以$(x+y)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质、有理数的乘方
【点评】
本题考查非负数的性质与有理数乘方运算，利用非负数和为0的特点求出$x$、$y$的值是解题核心，需牢记负数的奇次幂为负数。
7. 已知$a_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a_{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$a_{3}=-\frac{\sqrt{7}}{10}$，$a_{4}=\frac{3}{17}$，$a_{5}=-\frac{\sqrt{11}}{26}$，…，依此规律，则$a_{8}=$。
答案
7. $\frac{\sqrt{17}}{65}$
解析
【解析】
观察数列各项：
1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，即符号为$(-1)^n$；
2. 分子规律：$a_1$分子为$\sqrt{3}$，$a_2$为$\sqrt{5}$，$a_3$为$\sqrt{7}$，$a_4$为$\sqrt{9}$，$a_5$为$\sqrt{11}$，可归纳为$\sqrt{2n+1}$；
3. 分母规律：$a_1$分母为$2=1^2+1$，$a_2$为$5=2^2+1$，$a_3$为$10=3^2+1$，$a_4$为$17=4^2+1$，$a_5$为$26=5^2+1$，可归纳为$n^2+1$。
因此通项公式为$a_n=(-1)^n · \frac{\sqrt{2n+1}}{n^2+1}$。
当$n=8$时，$(-1)^8=1$，分子为$\sqrt{2×8+1}=\sqrt{17}$，分母为$8^2+1=65$，故$a_8=\frac{\sqrt{17}}{65}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{17}}{65}$
【知识点】
数列规律探究、根式运算
【点评】
本题需从符号、分子、分母三方面分别归纳数列规律，推导通项公式后代入求值，考查观察与归纳推理能力。
观察数列各项：
1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，即符号为$(-1)^n$；
2. 分子规律：$a_1$分子为$\sqrt{3}$，$a_2$为$\sqrt{5}$，$a_3$为$\sqrt{7}$，$a_4$为$\sqrt{9}$，$a_5$为$\sqrt{11}$，可归纳为$\sqrt{2n+1}$；
3. 分母规律：$a_1$分母为$2=1^2+1$，$a_2$为$5=2^2+1$，$a_3$为$10=3^2+1$，$a_4$为$17=4^2+1$，$a_5$为$26=5^2+1$，可归纳为$n^2+1$。
因此通项公式为$a_n=(-1)^n · \frac{\sqrt{2n+1}}{n^2+1}$。
当$n=8$时，$(-1)^8=1$，分子为$\sqrt{2×8+1}=\sqrt{17}$，分母为$8^2+1=65$，故$a_8=\frac{\sqrt{17}}{65}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{17}}{65}$
【知识点】
数列规律探究、根式运算
【点评】
本题需从符号、分子、分母三方面分别归纳数列规律，推导通项公式后代入求值，考查观察与归纳推理能力。
8. 若两个连续整数$x$，$y$满足$x＜\sqrt{5}+1＜y$，则$x+y$的值是
7
。答案
8. 7
解析
【解析】
先估算$\sqrt{5}$的取值范围：因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时加1可得$3＜\sqrt{5}+1＜4$。
由于$x$，$y$是连续整数且$x＜\sqrt{5}+1＜y$，因此$x=3$，$y=4$，则$x+y=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
无理数的估算；不等式的性质
【点评】
本题主要考查无理数的估算，通过平方数确定$\sqrt{5}$的范围，进而得到$\sqrt{5}+1$的范围，找到对应的连续整数后计算和即可，难度较小。
先估算$\sqrt{5}$的取值范围：因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时加1可得$3＜\sqrt{5}+1＜4$。
由于$x$，$y$是连续整数且$x＜\sqrt{5}+1＜y$，因此$x=3$，$y=4$，则$x+y=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
无理数的估算；不等式的性质
【点评】
本题主要考查无理数的估算，通过平方数确定$\sqrt{5}$的范围，进而得到$\sqrt{5}+1$的范围，找到对应的连续整数后计算和即可，难度较小。
9. 已知$25(x-1)^{2}=49$，求$x$的值。
答案
9. $x=\frac{12}{5}$或$-\frac{2}{5}$.
解析
【解析】
1. 方程两边同时除以25，得：
$(x-1)^{2}=\frac{49}{25}$
2. 根据平方根的定义，开平方得：
$x-1=\pm\frac{7}{5}$
3. 分两种情况求解：
当$x-1=\frac{7}{5}$时，$x=\frac{7}{5}+1=\frac{12}{5}$；
当$x-1=-\frac{7}{5}$时，$x=-\frac{7}{5}+1=-\frac{2}{5}$。
【答案】
$x=\frac{12}{5}$或$-\frac{2}{5}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，运用直接开平方法即可解决，需注意一个正数的平方根有两个，求解时不要遗漏负根。
1. 方程两边同时除以25，得：
$(x-1)^{2}=\frac{49}{25}$
2. 根据平方根的定义，开平方得：
$x-1=\pm\frac{7}{5}$
3. 分两种情况求解：
当$x-1=\frac{7}{5}$时，$x=\frac{7}{5}+1=\frac{12}{5}$；
当$x-1=-\frac{7}{5}$时，$x=-\frac{7}{5}+1=-\frac{2}{5}$。
【答案】
$x=\frac{12}{5}$或$-\frac{2}{5}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，运用直接开平方法即可解决，需注意一个正数的平方根有两个，求解时不要遗漏负根。
