8. (2024·无锡宜兴)如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,长方形内有一点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB=90°,CP=CB,延长CP交AD于点E,则AE=.

$\frac{8}{3}$

9. (2024·海淀区期末)如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,∠BED的平分线恰好经过点C,则∠BCE=°.

67.5

10. 如图,在矩形ABCD中,P为矩形ABCD的边BC上任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F.若AB=5,BC=12,则PE+PF=.

$\frac{60}{13}$

11. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形,连接CF.
(1)若△PCD是等腰三角形,求AP的长;
(2)判断CF与AC有怎样的位置关系,并说明理由.

解：
$ (1)\because $在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∠ ADC=90°，$\therefore DC=AB=6$，
$ AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=10.$
若△ PCD是等腰三角形，则分以下3种情况：
①当CP=CD时，AP=AC-CP=10-6=4.
②当PD=PC时，∠ PDC=∠ PCD，
$ \because ∠ PCD+∠ PAD=∠ PDC+∠ PDA=90°$，
$ \therefore ∠ PAD=∠ PDA$，
$ \therefore PD=PA$，$\therefore PA=PC$，$\therefore AP=\frac{1}{2}AC=5.$
③当DP=DC时，如答图①，过点D作DQ⊥ AC于点Q，则PQ=CQ.
$ \because S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· DC=\frac{1}{2}AC· DQ$，
$ \therefore DQ=\frac{AD· DC}{AC}=\frac{24}{5}$，$\therefore CQ=\sqrt{DC^2-DQ^2}=\frac{18}{5}$，
$ \therefore PC=2CQ=\frac{36}{5}$，
$ \therefore AP=AC-PC=10-\frac{36}{5}=\frac{14}{5}.$
综上所述，AP的长为4或5或$\frac{14}{5}.$
(2)CF⊥ AC.理由如下：

如答图②，连接PF，DE，交于点O，连接OC.
$ \because $四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ BCD=90°.$
$ \because $四边形PEFD是矩形，$\therefore OE=OD$，$\therefore OC=\frac{1}{2}ED.$
$ \because $在矩形PEFD中，PF=DE，$\therefore OC=\frac{1}{2}PF.$
$ \because OP=OF=\frac{1}{2}PF$，$\therefore OC=OP=OF$，
$ \therefore ∠ OCF=∠ OFC$，∠ OCP=∠ OPC.
$ \because ∠ OPC+∠ OFC+∠ OCP+∠ OCF=180°$，
$ \therefore 2∠ OCP+2∠ OCF=180°$，
$ \therefore ∠ OCP+∠ OCF=90°$，
$ \therefore ∠ PCF=90°$，$\therefore CF⊥ AC.$

12. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,P为BC上一个动点,BP=m,点B关于直线AP的对称点是E.
(1)当m=2时,若直线PE恰好经过点D,求此时AD的长;
(2)若AD足够长,当点E到直线AD的距离不超过3时,求m的取值范围.

解：
(1)如答图①，$\because $点B关于直线AP的对称点是E，
$ \therefore AE=AB=5$，PE=PB=2，∠ AEP=∠ B，∠ APE=∠ APB.
$ \because $四边形ABCD是矩形，
$ \therefore ∠ B=90°$，AD// BC，
$ \therefore ∠ AEP=90°$，∠ BPA=∠ DAP，
$ \therefore ∠ AED=90°$，∠ DAP=∠ DPA，$\therefore DA=DP.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，设AD=PD=x，
$ \therefore DE=x-2$，AE=5，$\therefore (x-2)^2+5^2=x^2$，
解得$x=\frac{29}{4}$，即AD的长为$\frac{29}{4}.$
(2)当点E位于直线AD上方且到AD距离为3时，如答图②，过点E作GH⊥ AD，交BC于点G，交AD于点H.
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，AE=5，EH=3，$\therefore AH=4.$
在$\mathrm{Rt}△ EPG$中，PE=m，PG=4-m，EG=2，
$ \therefore (4-m)^2+2^2=m^2$，解得$m=\frac{5}{2}$；
当点E位于直线AD下方且到AD的距离为3时，如答图③，过点E作GH⊥ AB，交BA的延长线于点H，过点P作PG⊥ EH于点G.
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，AE=5，AH=3，$\therefore EH=4.$
在$\mathrm{Rt}△ EPG$中，PE=m，PG=8，EG=m-4，
$ \therefore (m-4)^2+8^2=m^2$，解得m=10，
$ \therefore $当点E到直线AD的距离不超过3时，m的取值范围为$\frac{5}{2}≤ m≤10.$