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4.对于任意的整数$n$,能整除$(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)$的整数是(
A.4
B.3
C.5
D.2
C
)。A.4
B.3
C.5
D.2
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的思路是先对给定的整式进行化简，直接观察原式无法判断能整除它的整数。首先利用平方差公式展开两个乘积项，再通过整式的加减运算合并同类项，得到一个常数结果，最后根据整除的概念，判断选项中哪个整数能整除这个常数即可。
【解析】
第一步，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开式子：
$(n+3)(n-3)=n^2-3^2=n^2-9$
$(n+2)(n-2)=n^2-2^2=n^2-4$
第二步，将展开后的式子代入原式进行计算：
$\begin{aligned}&(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)\\=&(n^2-9)-(n^2-4)\\=&n^2-9-n^2+4\\=&-5\end{aligned}$
第三步，分析整除性：因为原式化简结果为$-5$，选项中只有5能整除$-5$（$-5÷5=-1$，结果为整数），所以能整除原式的整数是5。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式化简、整数整除性
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的化简运算，解题关键是熟练运用平方差公式展开整式，通过化简得到常数后，结合整除的概念判断选项。题目难度较低，注重基础公式的掌握与运用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们的思路是先对给定的整式进行化简，直接观察原式无法判断能整除它的整数。首先利用平方差公式展开两个乘积项，再通过整式的加减运算合并同类项，得到一个常数结果，最后根据整除的概念，判断选项中哪个整数能整除这个常数即可。
【解析】
第一步，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开式子：
$(n+3)(n-3)=n^2-3^2=n^2-9$
$(n+2)(n-2)=n^2-2^2=n^2-4$
第二步，将展开后的式子代入原式进行计算：
$\begin{aligned}&(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)\\=&(n^2-9)-(n^2-4)\\=&n^2-9-n^2+4\\=&-5\end{aligned}$
第三步，分析整除性：因为原式化简结果为$-5$，选项中只有5能整除$-5$（$-5÷5=-1$，结果为整数），所以能整除原式的整数是5。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式化简、整数整除性
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的化简运算，解题关键是熟练运用平方差公式展开整式，通过化简得到常数后，结合整除的概念判断选项。题目难度较低，注重基础公式的掌握与运用。
【难度系数】
0.8
5.计算:(1)$(4m+3)(4m-3)=$
(2)$(2-5y)(2+5y)=$
(3)$(2b+3a)(3a-2b)=$
(4)$(-3x-2y)(-3x+2y)=$
(5)$(1+a)(a-1)(a^{2}+1)=$
(6)$(2x-3y)(-3y-2x)=$
$16m^{2}-9$
;(2)$(2-5y)(2+5y)=$
$4-25y^{2}$
;(3)$(2b+3a)(3a-2b)=$
$9a^{2}-4b^{2}$
;(4)$(-3x-2y)(-3x+2y)=$
$9x^{2}-4y^{2}$
;(5)$(1+a)(a-1)(a^{2}+1)=$
$a^{4}-1$
;(6)$(2x-3y)(-3y-2x)=$
$9y^{2}-4x^{2}$
。答案
5.(1)$16m^{2}-9$ (2)$4-25y^{2}$ (3)$9a^{2}-4b^{2}$
(4)$9x^{2}-4y^{2}$ (5)$a^{4}-1$ (6)$9y^{2}-4x^{2}$
(4)$9x^{2}-4y^{2}$ (5)$a^{4}-1$ (6)$9y^{2}-4x^{2}$
解析
【分析】
这几道题均可用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$求解，解题核心是先找准每个式子中的相同项（对应公式里的$a$）与互为相反数的项（对应公式里的$b$），再代入公式计算；需连续运算的题目，分步用平方差公式化简即可。具体思路如下：
1. 第(1)题：直接识别相同项为$4m$，相反项为$3$和$-3$，代入公式计算；
2. 第(2)题：相同项是$2$，相反项是$-5y$和$5y$，直接套用公式；
3. 第(3)题：先调整式子顺序为$(3a+2b)(3a-2b)$，确定相同项$3a$、相反项$2b$与$-2b$后计算；
4. 第(4)题：相同项为$-3x$，相反项为$-2y$和$2y$，代入公式运算；
5. 第(5)题：先将前两个式子变形为$(a+1)(a-1)$，用平方差公式得$a^2-1$，再与$(a^2+1)$再次用平方差公式计算；
6. 第(6)题：调整式子顺序为$(-3y+2x)(-3y-2x)$，确定相同项$-3y$、相反项$2x$与$-2x$后计算。
【解析】
(1) 由平方差公式可得：
$(4m+3)(4m-3)=(4m)^2 - 3^2=16m^2 - 9$
(2) 由平方差公式可得：
$(2-5y)(2+5y)=2^2 - (5y)^2=4 - 25y^2$
(3) 调整式子顺序后用平方差公式：
$(2b+3a)(3a-2b)=(3a+2b)(3a-2b)=(3a)^2 - (2b)^2=9a^2 - 4b^2$
(4) 由平方差公式可得：
$(-3x-2y)(-3x+2y)=(-3x)^2 - (2y)^2=9x^2 - 4y^2$
(5) 分步运用平方差公式：
$(1+a)(a-1)(a^2+1)=(a+1)(a-1)(a^2+1)=(a^2 - 1)(a^2+1)=(a^2)^2 - 1^2=a^4 - 1$
(6) 调整式子顺序后用平方差公式：
$(2x-3y)(-3y-2x)=(-3y+2x)(-3y-2x)=(-3y)^2 - (2x)^2=9y^2 - 4x^2$
【答案】
(1)$16m^{2}-9$；(2)$4-25y^{2}$；(3)$9a^{2}-4b^{2}$；(4)$9x^{2}-4y^{2}$；(5)$a^{4}-1$；(6)$9y^{2}-4x^{2}$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别式子中的相同项和相反项，对于非标准形式的式子，可通过调整项的顺序转化为平方差公式的标准形式；连续运算时需分步化简，保证每一步计算的准确性。
【难度系数】
0.7
这几道题均可用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$求解，解题核心是先找准每个式子中的相同项（对应公式里的$a$）与互为相反数的项（对应公式里的$b$），再代入公式计算；需连续运算的题目，分步用平方差公式化简即可。具体思路如下：
1. 第(1)题：直接识别相同项为$4m$，相反项为$3$和$-3$，代入公式计算；
2. 第(2)题：相同项是$2$，相反项是$-5y$和$5y$，直接套用公式；
3. 第(3)题：先调整式子顺序为$(3a+2b)(3a-2b)$，确定相同项$3a$、相反项$2b$与$-2b$后计算；
4. 第(4)题：相同项为$-3x$，相反项为$-2y$和$2y$，代入公式运算；
5. 第(5)题：先将前两个式子变形为$(a+1)(a-1)$，用平方差公式得$a^2-1$，再与$(a^2+1)$再次用平方差公式计算；
6. 第(6)题：调整式子顺序为$(-3y+2x)(-3y-2x)$，确定相同项$-3y$、相反项$2x$与$-2x$后计算。
【解析】
(1) 由平方差公式可得：
$(4m+3)(4m-3)=(4m)^2 - 3^2=16m^2 - 9$
(2) 由平方差公式可得：
$(2-5y)(2+5y)=2^2 - (5y)^2=4 - 25y^2$
(3) 调整式子顺序后用平方差公式：
$(2b+3a)(3a-2b)=(3a+2b)(3a-2b)=(3a)^2 - (2b)^2=9a^2 - 4b^2$
(4) 由平方差公式可得：
$(-3x-2y)(-3x+2y)=(-3x)^2 - (2y)^2=9x^2 - 4y^2$
(5) 分步运用平方差公式：
$(1+a)(a-1)(a^2+1)=(a+1)(a-1)(a^2+1)=(a^2 - 1)(a^2+1)=(a^2)^2 - 1^2=a^4 - 1$
(6) 调整式子顺序后用平方差公式：
$(2x-3y)(-3y-2x)=(-3y+2x)(-3y-2x)=(-3y)^2 - (2x)^2=9y^2 - 4x^2$
【答案】
(1)$16m^{2}-9$；(2)$4-25y^{2}$；(3)$9a^{2}-4b^{2}$；(4)$9x^{2}-4y^{2}$；(5)$a^{4}-1$；(6)$9y^{2}-4x^{2}$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别式子中的相同项和相反项，对于非标准形式的式子，可通过调整项的顺序转化为平方差公式的标准形式；连续运算时需分步化简，保证每一步计算的准确性。
【难度系数】
0.7
6.将一个长方形按如图方式剪开,恰好可以拼成一个缺角的正方形,缺角也是正方形。根据两个图形阴影部分的面积关系,可以解释的一个整式乘法公式是
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
。答案
6.$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过分别计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等的关系来推导整式乘法公式。首先观察第一个图形，它是一个长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式可求出阴影面积；再看第二个图形，阴影部分的面积等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积。由于两个图形的阴影部分是由同一个长方形剪开拼接而成，所以面积相等，由此就能得到对应的整式乘法公式。
【解析】
1. 计算第一个图形阴影部分的面积：
该图形是长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得阴影面积$S_1=(a+b)(a-b)$。
2. 计算第二个图形阴影部分的面积：
阴影部分面积等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，根据正方形面积公式$S = 边长^2$，可得阴影面积$S_2=a^2 - b^2$。
3. 利用面积相等推导公式：
因为两个图形的阴影部分是由同一图形剪开拼接而成，面积相等，即$S_1=S_2$，所以$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题通过数形结合的思想，利用图形面积的两种不同表示方法推导平方差公式，直观展现了整式乘法公式的几何意义，帮助理解公式的本质，同时考查了对长方形、正方形面积公式的运用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以通过分别计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等的关系来推导整式乘法公式。首先观察第一个图形，它是一个长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式可求出阴影面积；再看第二个图形，阴影部分的面积等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积。由于两个图形的阴影部分是由同一个长方形剪开拼接而成，所以面积相等，由此就能得到对应的整式乘法公式。
【解析】
1. 计算第一个图形阴影部分的面积：
该图形是长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得阴影面积$S_1=(a+b)(a-b)$。
2. 计算第二个图形阴影部分的面积：
阴影部分面积等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，根据正方形面积公式$S = 边长^2$，可得阴影面积$S_2=a^2 - b^2$。
3. 利用面积相等推导公式：
因为两个图形的阴影部分是由同一图形剪开拼接而成，面积相等，即$S_1=S_2$，所以$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题通过数形结合的思想，利用图形面积的两种不同表示方法推导平方差公式，直观展现了整式乘法公式的几何意义，帮助理解公式的本质，同时考查了对长方形、正方形面积公式的运用。
【难度系数】
0.8
7.化简$x^{2}-(x+2)(x-2)$的结果是
4
。答案
7.4
解析
【分析】
要化简这个式子，首先观察到式子中的$(x+2)(x-2)$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式将其展开，再进行整式的加减运算。具体步骤为：先展开乘法部分，再去括号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&x^{2}-(x+2)(x-2)\\=&x^{2}-(x^{2}-2^{2})\\=&x^{2}-(x^{2}-4)\\=&x^{2}-x^{2}+4\\=&4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整式的加减
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的加减运算，属于基础题。解题时需注意去括号时的符号变化，熟练掌握平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.9
要化简这个式子，首先观察到式子中的$(x+2)(x-2)$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式将其展开，再进行整式的加减运算。具体步骤为：先展开乘法部分，再去括号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&x^{2}-(x+2)(x-2)\\=&x^{2}-(x^{2}-2^{2})\\=&x^{2}-(x^{2}-4)\\=&x^{2}-x^{2}+4\\=&4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整式的加减
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的加减运算，属于基础题。解题时需注意去括号时的符号变化，熟练掌握平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.9
8.填空:(1)$4a^{2}-\_\_\_\_\_\_=(\_\_\_\_\_\_+3b)(\_\_\_\_\_\_-3b)$;
(2)$(2m-3n)(\_\_\_\_\_\_)=4m^{2}-9n^{2}$;
(3)$(-3x+2y)(\_\_\_\_\_\_)=4y^{2}-9x^{2}$。
(2)$(2m-3n)(\_\_\_\_\_\_)=4m^{2}-9n^{2}$;
(3)$(-3x+2y)(\_\_\_\_\_\_)=4y^{2}-9x^{2}$。
答案
8.(1)$9b^{2}$ $\pm 2a$ $\pm 2a$ (2)$2m+3n$ (3)$2y+3x$
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题核心是牢记平方差公式的结构：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，通过公式的正向和逆向推导来填空。
1. 对于第(1)题：右边是符合平方差公式的乘积形式，先将右边展开得到$□^2-(3b)^2$，对比左边的$4a^2-□$，可知右边的平方项对应左边的$4a^2$，由此确定右边的未知项，再算出左边的空缺项；
2. 对于第(2)题：右边是平方差的形式$4m^2-9n^2=(2m)^2-(3n)^2$，根据平方差公式的逆向，已知其中一个因式$(2m-3n)$，即可推出另一个因式；
3. 对于第(3)题：先将右边的$4y^2-9x^2$转化为平方差形式$(2y)^2-(3x)^2$，再看左边的因式$(-3x+2y)$可变形为$(2y-3x)$，结合平方差公式就能得到另一个因式。
【解析】
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，右边$(□+3b)(□-3b)=□^2-(3b)^2=□^2-9b^2$，
对比左边$4a^2-□$，可得$□^2=4a^2$，即$□=\pm2a$，左边空缺的项为$9b^2$，
所以$4a^2-9b^2=(\pm2a+3b)(\pm2a-3b)$；
(2) 因为$4m^2-9n^2=(2m)^2-(3n)^2$，根据平方差公式，
$(2m-3n)(2m+3n)=(2m)^2-(3n)^2=4m^2-9n^2$，故括号内应填$2m+3n$；
(3) 先将$4y^2-9x^2$变形为$(2y)^2-(3x)^2$，根据平方差公式$(2y-3x)(2y+3x)=(2y)^2-(3x)^2=4y^2-9x^2$，
而$(-3x+2y)=2y-3x$，所以括号内应填$2y+3x$。
【答案】
(1)$9b^{2}$ $\pm 2a$ $\pm 2a$；(2)$2m+3n$；(3)$2y+3x$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，重点考查对平方差公式结构特征的理解与灵活运用，需要准确识别公式中的对应项，同时注意符号的变化，通过正向展开和逆向分解两种思路来解题，有助于巩固对公式的掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查平方差公式的应用，解题核心是牢记平方差公式的结构：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，通过公式的正向和逆向推导来填空。
1. 对于第(1)题：右边是符合平方差公式的乘积形式，先将右边展开得到$□^2-(3b)^2$，对比左边的$4a^2-□$，可知右边的平方项对应左边的$4a^2$，由此确定右边的未知项，再算出左边的空缺项；
2. 对于第(2)题：右边是平方差的形式$4m^2-9n^2=(2m)^2-(3n)^2$，根据平方差公式的逆向，已知其中一个因式$(2m-3n)$，即可推出另一个因式；
3. 对于第(3)题：先将右边的$4y^2-9x^2$转化为平方差形式$(2y)^2-(3x)^2$，再看左边的因式$(-3x+2y)$可变形为$(2y-3x)$，结合平方差公式就能得到另一个因式。
【解析】
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，右边$(□+3b)(□-3b)=□^2-(3b)^2=□^2-9b^2$，
对比左边$4a^2-□$，可得$□^2=4a^2$，即$□=\pm2a$，左边空缺的项为$9b^2$，
所以$4a^2-9b^2=(\pm2a+3b)(\pm2a-3b)$；
(2) 因为$4m^2-9n^2=(2m)^2-(3n)^2$，根据平方差公式，
$(2m-3n)(2m+3n)=(2m)^2-(3n)^2=4m^2-9n^2$，故括号内应填$2m+3n$；
(3) 先将$4y^2-9x^2$变形为$(2y)^2-(3x)^2$，根据平方差公式$(2y-3x)(2y+3x)=(2y)^2-(3x)^2=4y^2-9x^2$，
而$(-3x+2y)=2y-3x$，所以括号内应填$2y+3x$。
【答案】
(1)$9b^{2}$ $\pm 2a$ $\pm 2a$；(2)$2m+3n$；(3)$2y+3x$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，重点考查对平方差公式结构特征的理解与灵活运用，需要准确识别公式中的对应项，同时注意符号的变化，通过正向展开和逆向分解两种思路来解题，有助于巩固对公式的掌握。
【难度系数】
0.7
9.请先观察下列算式,再填空:
$3^{2}-1^{2}=8×1$,$5^{2}-3^{2}=8×2$。
①$7^{2}-5^{2}=8×($ $)$;
②$9^{2}-($ $)^{2}=8×4$;
③$($ $)^{2}-9^{2}=8×5$;
④$13^{2}-($ $)^{2}=8×($ $)$;
……
(1)通过观察归纳,你知道上述规律的一般形式吗?请把你的猜想写出来;
(2)你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗?
$3^{2}-1^{2}=8×1$,$5^{2}-3^{2}=8×2$。
①$7^{2}-5^{2}=8×($ $)$;
②$9^{2}-($ $)^{2}=8×4$;
③$($ $)^{2}-9^{2}=8×5$;
④$13^{2}-($ $)^{2}=8×($ $)$;
……
(1)通过观察归纳,你知道上述规律的一般形式吗?请把你的猜想写出来;
(2)你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗?
答案
9.①3 ②7 ③11 ④11 6
(1)$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n;$
(2)原式可变为$(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$。
(1)$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n;$
(2)原式可变为$(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$。
解析
【分析】
首先观察已知算式，发现都是两个连续奇数的平方差，结果为8的倍数。对于填空部分：
①计算$7^2-5^2$，利用平方差公式可得$(7-5)(7+5)=2×12=24$，$24÷8=3$，所以括号填3；
②已知$9^2-( )^2=8×4=32$，设括号内的数为连续奇数，9与该数相差2，即该数为9-2=7，验证$9^2-7^2=81-49=32=8×4$，符合规律；
③已知$( )^2-9^2=8×5=40$，设括号内的数为连续奇数，该数比9大2，即9+2=11，验证$11^2-9^2=121-81=40=8×5$，符合规律；
④13是奇数，前一个连续奇数为11，计算$13^2-11^2=(13-11)(13+11)=48$，$48÷8=6$，所以括号依次填11、6。
对于规律归纳，观察算式中奇数的特点：第一个奇数可表示为$2n+1$，第二个为$2n-1$（n为正整数），结果为8n，由此猜想一般形式；再利用平方差公式展开左边，验证是否等于右边即可。
【解析】
①$7^2-5^2=(7-5)(7+5)=2×12=24$，$24÷8=3$，故填3；
②设括号内的数为$x$，则$9^2-x^2=8×4=32$，即$(9-x)(9+x)=32$，由于是连续奇数，$9-x=2$，解得$x=7$，故填7；
③设括号内的数为$y$，则$y^2-9^2=8×5=40$，即$(y-9)(y+9)=40$，由于是连续奇数，$y-9=2$，解得$y=11$，故填11；
④$13^2-11^2=(13-11)(13+11)=2×24=48$，$48÷8=6$，故依次填11、6；
(1)观察算式归纳规律：两个连续奇数的平方差等于8的倍数，设n为正整数，一般形式为：$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n$；
(2)利用平方差公式证明：
左边=$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$
$=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))$
$=4n×2$
$=8n$
$=$右边，
故猜想正确。
【答案】
①3 ②7 ③11 ④11 6
(1)$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n;$
(2)原式可变为$(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$。
【知识点】
平方差公式，数字规律探究
【点评】
本题通过观察具体算式归纳规律，再用平方差公式验证，既考查了观察归纳能力，又巩固了平方差公式的应用，帮助学生理解整式乘法公式与数字规律的联系，提升知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察已知算式，发现都是两个连续奇数的平方差，结果为8的倍数。对于填空部分：
①计算$7^2-5^2$，利用平方差公式可得$(7-5)(7+5)=2×12=24$，$24÷8=3$，所以括号填3；
②已知$9^2-( )^2=8×4=32$，设括号内的数为连续奇数，9与该数相差2，即该数为9-2=7，验证$9^2-7^2=81-49=32=8×4$，符合规律；
③已知$( )^2-9^2=8×5=40$，设括号内的数为连续奇数，该数比9大2，即9+2=11，验证$11^2-9^2=121-81=40=8×5$，符合规律；
④13是奇数，前一个连续奇数为11，计算$13^2-11^2=(13-11)(13+11)=48$，$48÷8=6$，所以括号依次填11、6。
对于规律归纳，观察算式中奇数的特点：第一个奇数可表示为$2n+1$，第二个为$2n-1$（n为正整数），结果为8n，由此猜想一般形式；再利用平方差公式展开左边，验证是否等于右边即可。
【解析】
①$7^2-5^2=(7-5)(7+5)=2×12=24$，$24÷8=3$，故填3；
②设括号内的数为$x$，则$9^2-x^2=8×4=32$，即$(9-x)(9+x)=32$，由于是连续奇数，$9-x=2$，解得$x=7$，故填7；
③设括号内的数为$y$，则$y^2-9^2=8×5=40$，即$(y-9)(y+9)=40$，由于是连续奇数，$y-9=2$，解得$y=11$，故填11；
④$13^2-11^2=(13-11)(13+11)=2×24=48$，$48÷8=6$，故依次填11、6；
(1)观察算式归纳规律：两个连续奇数的平方差等于8的倍数，设n为正整数，一般形式为：$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n$；
(2)利用平方差公式证明：
左边=$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$
$=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))$
$=4n×2$
$=8n$
$=$右边，
故猜想正确。
【答案】
①3 ②7 ③11 ④11 6
(1)$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n;$
(2)原式可变为$(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$。
【知识点】
平方差公式，数字规律探究
【点评】
本题通过观察具体算式归纳规律，再用平方差公式验证，既考查了观察归纳能力，又巩固了平方差公式的应用，帮助学生理解整式乘法公式与数字规律的联系，提升知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.运用平方差公式计算$(x+2y-1)(x-2y+1)$,下列变形正确的是(
A.$[x-(2y+1)]^{2}$
B.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
C.$[(x+2y)-1][(x-2y)+1]$
D.$[x+(2y+1)]^{2}$
B
)。A.$[x-(2y+1)]^{2}$
B.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
C.$[(x+2y)-1][(x-2y)+1]$
D.$[x+(2y+1)]^{2}$
答案
10.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确平方差公式的结构特征：平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，关键是找到式子中相同的项和互为相反数的项，并将互为相反数的部分看成一个整体。
观察原式$(x+2y-1)(x-2y+1)$，其中$x$是两个因式中相同的项；$2y-1$与$-2y+1$是互为相反数的项（因为$-2y+1=-(2y-1)$）。因此我们需要通过添括号，将相同项$x$作为公式中的$a$，互为相反数的整体$2y-1$作为公式中的$b$，把原式转化为符合平方差公式的形式，再逐一判断选项。
【解析】
平方差公式的结构为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是两个因式中相同的部分，$b$是互为相反数的部分。
对原式进行变形：
$(x+2y-1)(x-2y+1)$
$=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，此形式完全符合平方差公式的结构。
逐一分析选项：
选项A：$[x-(2y+1)]^2$是完全平方形式，与原式的两个因式结构不符，错误；
选项B：$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，与我们变形后的式子一致，符合平方差公式结构，正确；
选项C：$[(x+2y)-1][(x-2y)+1]$，分组后无法形成“相同项+相反项”的平方差结构，错误；
选项D：$[x+(2y+1)]^2$是完全平方形式，且括号内的符号错误，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构特征，解题的关键是准确识别式子中的相同项和互为相反数的项，利用添括号的方法将原式转化为平方差公式的标准形式，侧重考查对公式的理解和整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确平方差公式的结构特征：平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，关键是找到式子中相同的项和互为相反数的项，并将互为相反数的部分看成一个整体。
观察原式$(x+2y-1)(x-2y+1)$，其中$x$是两个因式中相同的项；$2y-1$与$-2y+1$是互为相反数的项（因为$-2y+1=-(2y-1)$）。因此我们需要通过添括号，将相同项$x$作为公式中的$a$，互为相反数的整体$2y-1$作为公式中的$b$，把原式转化为符合平方差公式的形式，再逐一判断选项。
【解析】
平方差公式的结构为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是两个因式中相同的部分，$b$是互为相反数的部分。
对原式进行变形：
$(x+2y-1)(x-2y+1)$
$=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，此形式完全符合平方差公式的结构。
逐一分析选项：
选项A：$[x-(2y+1)]^2$是完全平方形式，与原式的两个因式结构不符，错误；
选项B：$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，与我们变形后的式子一致，符合平方差公式结构，正确；
选项C：$[(x+2y)-1][(x-2y)+1]$，分组后无法形成“相同项+相反项”的平方差结构，错误；
选项D：$[x+(2y+1)]^2$是完全平方形式，且括号内的符号错误，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构特征，解题的关键是准确识别式子中的相同项和互为相反数的项，利用添括号的方法将原式转化为平方差公式的标准形式，侧重考查对公式的理解和整体思想的运用。
【难度系数】
0.8
11.已知$x≠1$,计算:$(1-x)(1+x)=1-x^{2}$,$(1-x)(1+x+x^{2})=1-x^{3}$,$(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3})=1-x^{4}$。
(1)观察以上各式并猜想:$(1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n})=$
(2)根据你的猜想计算:
①$(1-2)(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})=$
②$(x-1)(x^{99}+x^{98}+x^{97}+\dots +x^{2}+x+1)=$
③$2+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{n}=$
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①$(a-b)(a+b)=$
②$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$
③$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=$
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)观察以上各式并猜想:$(1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n})=$
$1-x^{n+1}$
。($n$为正整数)(2)根据你的猜想计算:
①$(1-2)(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})=$
$-63$
;②$(x-1)(x^{99}+x^{98}+x^{97}+\dots +x^{2}+x+1)=$
$x^{100}-1$
;③$2+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{n}=$
$2^{n+1}-2$
。($n$为正整数)(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①$(a-b)(a+b)=$
$a^{2}-b^{2}$
;②$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$
$a^{3}-b^{3}$
;③$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=$
$a^{4}-b^{4}$
。自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
11.(1)$1-x^{n+1}$ (2)①-63 ②$x^{100}-1$ ③$2^{n+1}-2$
(3)①$a^{2}-b^{2}$ ②$a^{3}-b^{3}$ ③$a^{4}-b^{4}$
(3)①$a^{2}-b^{2}$ ②$a^{3}-b^{3}$ ③$a^{4}-b^{4}$
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察已知等式，左边是$(1-x)$与从$1$到$x^n$的和相乘，右边是$1$减去$x$的幂次，且右边$x$的幂次比左边$x$的最高次幂大$1$，由此可归纳出一般规律。
2. 第(2)问：①直接将$x=2$、$n=5$代入第(1)问的猜想公式计算；②先把$(x-1)$变形为$-(1-x)$，再利用猜想公式计算；③先通过猜想公式求出$1+2+2^2+\dots+2^n$的值，再减去$1$得到目标式子的结果。
3. 第(3)问：类比第(1)问的规律，将$1$替换为$a$、$x$替换为$b$，即可得到对应的结果。
自我反思可从规律归纳熟练度、符号处理等方面分析问题，再给出针对性改进措施。
【解析】
(1) 观察已知等式：
$(1-x)(1+x)=1-x^{2}=1-x^{1+1}$
$(1-x)(1+x+x^{2})=1-x^{3}=1-x^{2+1}$
$(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3})=1-x^{4}=1-x^{3+1}$
由此猜想：$\boldsymbol{(1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n})=1-x^{n+1}}$（$n$为正整数）
(2) ① 将$x=2$，$n=5$代入猜想公式：
$(1-2)(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})=1-2^{5+1}=1-64=-63$
② 对式子变形：
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots +x+1)=-(1-x)(1+x+\dots +x^{99})$
根据猜想公式，$(1-x)(1+x+\dots +x^{99})=1-x^{100}$，因此：
原式$=-(1-x^{100})=x^{100}-1$
③ 先计算$1+2+2^{2}+\dots +2^{n}$：
由猜想公式，$(1-2)(1+2+2^{2}+\dots +2^{n})=1-2^{n+1}$
则$1+2+2^{2}+\dots +2^{n}=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1$
所以$2+2^{2}+\dots +2^{n}=(2^{n+1}-1)-1=2^{n+1}-2$
(3) 类比第(1)问规律，将$1$替换为$a$，$x$替换为$b$：
① $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$
② $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$
③ $(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=a^{4}-b^{4}$
自我反思
存在的问题：对规律的归纳总结不够敏锐，初期难以快速发现等式左右两边的幂次关系；符号处理容易出错，尤其是第(2)问②中相反数的变形容易忽略符号变化。
改进的措施：多做同类规律探究题，积累归纳经验；在涉及符号变形的题目中，分步书写步骤，做完后检查符号是否正确。
【答案】
(1)$1-x^{n+1}$
(2)①$-63$；②$x^{100}-1$；③$2^{n+1}-2$
(3)①$a^{2}-b^{2}$；②$a^{3}-b^{3}$；③$a^{4}-b^{4}$
自我反思
存在的问题：对规律的归纳总结不够敏锐，初期难以快速发现等式左右两边的幂次关系；符号处理容易出错，尤其是第(2)问②中相反数的变形容易忽略符号变化。
改进的措施：多做同类规律探究题，积累归纳经验；在涉及符号变形的题目中，分步书写步骤，做完后检查符号是否正确。
【知识点】
整式乘法规律探究；平方差公式推广；代数式变形
【点评】
本题通过特殊整式乘法等式引导学生归纳一般规律，考查归纳推理能力与整式乘法的灵活应用。题目注重知识迁移与拓展，要求学生准确把握规律并解决不同形式的问题，同时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察已知等式，左边是$(1-x)$与从$1$到$x^n$的和相乘，右边是$1$减去$x$的幂次，且右边$x$的幂次比左边$x$的最高次幂大$1$，由此可归纳出一般规律。
2. 第(2)问：①直接将$x=2$、$n=5$代入第(1)问的猜想公式计算；②先把$(x-1)$变形为$-(1-x)$，再利用猜想公式计算；③先通过猜想公式求出$1+2+2^2+\dots+2^n$的值，再减去$1$得到目标式子的结果。
3. 第(3)问：类比第(1)问的规律，将$1$替换为$a$、$x$替换为$b$，即可得到对应的结果。
自我反思可从规律归纳熟练度、符号处理等方面分析问题，再给出针对性改进措施。
【解析】
(1) 观察已知等式：
$(1-x)(1+x)=1-x^{2}=1-x^{1+1}$
$(1-x)(1+x+x^{2})=1-x^{3}=1-x^{2+1}$
$(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3})=1-x^{4}=1-x^{3+1}$
由此猜想：$\boldsymbol{(1-x)(1+x+x^{2}+\dots +x^{n})=1-x^{n+1}}$（$n$为正整数）
(2) ① 将$x=2$，$n=5$代入猜想公式：
$(1-2)(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})=1-2^{5+1}=1-64=-63$
② 对式子变形：
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots +x+1)=-(1-x)(1+x+\dots +x^{99})$
根据猜想公式，$(1-x)(1+x+\dots +x^{99})=1-x^{100}$，因此：
原式$=-(1-x^{100})=x^{100}-1$
③ 先计算$1+2+2^{2}+\dots +2^{n}$：
由猜想公式，$(1-2)(1+2+2^{2}+\dots +2^{n})=1-2^{n+1}$
则$1+2+2^{2}+\dots +2^{n}=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1$
所以$2+2^{2}+\dots +2^{n}=(2^{n+1}-1)-1=2^{n+1}-2$
(3) 类比第(1)问规律，将$1$替换为$a$，$x$替换为$b$：
① $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$
② $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$
③ $(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=a^{4}-b^{4}$
自我反思
存在的问题：对规律的归纳总结不够敏锐，初期难以快速发现等式左右两边的幂次关系；符号处理容易出错，尤其是第(2)问②中相反数的变形容易忽略符号变化。
改进的措施：多做同类规律探究题，积累归纳经验；在涉及符号变形的题目中，分步书写步骤，做完后检查符号是否正确。
【答案】
(1)$1-x^{n+1}$
(2)①$-63$；②$x^{100}-1$；③$2^{n+1}-2$
(3)①$a^{2}-b^{2}$；②$a^{3}-b^{3}$；③$a^{4}-b^{4}$
自我反思
存在的问题：对规律的归纳总结不够敏锐，初期难以快速发现等式左右两边的幂次关系；符号处理容易出错，尤其是第(2)问②中相反数的变形容易忽略符号变化。
改进的措施：多做同类规律探究题，积累归纳经验；在涉及符号变形的题目中，分步书写步骤，做完后检查符号是否正确。
【知识点】
整式乘法规律探究；平方差公式推广；代数式变形
【点评】
本题通过特殊整式乘法等式引导学生归纳一般规律，考查归纳推理能力与整式乘法的灵活应用。题目注重知识迁移与拓展，要求学生准确把握规律并解决不同形式的问题，同时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.6
