1. 已知$∠ A$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的一个内角，如果$\mathrm{Rt}△ ABC$三边都缩小到原来的$\frac{1}{2}$，那么锐角$A$的正切值$\tan A$()

A.缩小到一半
B.扩大 2 倍
C.不变
D.不能确定

1. C

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，设$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，则$\tan A=\frac{a}{b}$。当三边都缩小到原来的$\frac{1}{2}$时，新三角形与原三角形相似，对应边成比例，此时$∠ A$的对边为$\frac{1}{2}a$，邻边为$\frac{1}{2}b$，新的$\tan A=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$，所以锐角$A$的正切值不变。
C

2. (2024·云南)如图，在$△ ABC$中，若$∠ B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，则$\tan A=$()

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

2. C

解：在$△ABC$中，$∠B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，
$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$。
答案：C

3. 如图，点$A(2,t)$在第一象限，$OA$与$x$轴所夹锐角为$α$，$\tanα = 2$，则$t$的值为()

A.4
B.3
C.2
D.1

3. A

解：过点$A$作$AB ⊥ x$轴于点$B$，则$OB=2$，$AB=t$。
在$Rt△ AOB$中，$\tanα=\frac{AB}{OB}=\frac{t}{2}$。
已知$\tanα = 2$，则$\frac{t}{2}=2$，解得$t=4$。
A

4. $∠ BAC$放在正方形网格纸的位置如图，则$\tan∠ BAC$的值为()

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

4. D

设点$A$为坐标原点$(0,0)$，根据网格图可得：点$B$坐标为$(2,3)$，点$C$坐标为$(4,1)$。
向量$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，向量$\overrightarrow{AC}=(4,1)$。
$\tan∠ BAC$可通过向量的夹角公式计算，先求$\cos∠ BAC$和$\sin∠ BAC$：
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=2×4 + 3×1=8 + 3=11$
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2 + 1^2}=\sqrt{17}$
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{11}{\sqrt{13}×\sqrt{17}}$
$\sin∠ BAC=\sqrt{1 - \cos^2∠ BAC}=\sqrt{1 - (\frac{11}{\sqrt{221}})^2}=\sqrt{\frac{221 - 121}{221}}=\sqrt{\frac{100}{221}}=\frac{10}{\sqrt{221}}$
$\tan∠ BAC=\frac{\sin∠ BAC}{\cos∠ BAC}=\frac{10}{11}$（此方法错误，应通过构造直角三角形）
重新以$A$为原点，水平向右为$x$轴，竖直向上为$y$轴，过$B$作$BD⊥ AC$于$D$。
直线$AC$的方程：$y=\frac{1}{4}x$，即$x - 4y=0$
点$B(2,3)$到直线$AC$的距离$BD=\frac{|2 - 4×3|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}}=\frac{10}{\sqrt{17}}$
$|AC|=\sqrt{4^2 + 1^2}=\sqrt{17}$，$AD=\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 - BD^2}=\sqrt{13 - \frac{100}{17}}=\sqrt{\frac{221 - 100}{17}}=\sqrt{\frac{121}{17}}=\frac{11}{\sqrt{17}}$
$\tan∠ BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{10/ \sqrt{17}}{11/ \sqrt{17}}=\frac{10}{11}$（仍错误，正确方法：取格点$D(2,1)$，则$AD=2$，$CD=1$，$\tan∠ BAC=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$）
$\tan∠ BAC=\frac{1}{2}$
D

5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，则$\tan∠ BCD$的值是。

5. $\frac{3}{4}$

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
因为$CD⊥ AB$，所以$∠ CDB=90^{\circ}$，
则$∠ BCD+∠ B=90^{\circ}$，又$∠ A+∠ B=90^{\circ}$，故$∠ BCD=∠ A$。
$\tan∠ A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\tan∠ BCD=\frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$

6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，若$BC = 6$，$AC = 8$，则$\tan∠ ACD$的值为。

6. $\frac{3}{4}$

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
$\because CD$是$AB$边上的中线，
$\therefore CD=AD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore ∠ ACD=∠ A$。
$\therefore \tan∠ ACD=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
故答案为：$\frac{3}{4}$。

7. 如图，$△ ABC$的三个顶点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则$\tan(α + β)$$\tanα + \tanβ$。(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

7. ＞

解：由图可知，$\tanα=\frac{1}{2}$，$\tanβ=\frac{1}{3}$，$α+β=45°$，则$\tan(α+β)=\tan45°=1$。
$\tanα+\tanβ=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$。
因为$1＞\frac{5}{6}$，所以$\tan(α + β)＞\tanα + \tanβ$。
＞

8. 如图，在四边形$ABCD$，$AB⊥ BC$，$AC⊥ CD$，$AB = 2$，$CD = 8$，$\tan∠ BAC = 2$，求$\tan D$的值。

8. $\because AB⊥ BC,AC⊥ CD,\therefore ∠ B=∠ ACD=90^{\circ}$.在Rt$△ ABC$中,$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AB}=2$.$\because AB=2,\therefore BC=4,\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{5}$.在Rt$△ ACD$中,$\tan∠ D=\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{4}$.

解：$\because AB ⊥ BC$，$AC ⊥ CD$，
$\therefore ∠ B = ∠ ACD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AB} = 2$。
$\because AB = 2$，
$\therefore BC = 2 × AB = 2 × 2 = 4$。
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan D = \frac{AC}{CD} = \frac{2\sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{5}}{4}$。