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9. 如图，半径为 3 的$\odot A$经过原点$O$和点$C(0,2)$，$B$是$y$轴左侧$\odot A$优弧上一点，则$\tan∠ OBC$为(
A.$\frac{1}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C
)A.$\frac{1}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
答案
9. C
解析
解：连接 $OC$，$AC$，$OA$，过点 $A$ 作 $AD ⊥ OC$ 于点 $D$。
$\because \odot A$ 半径为 3，$\therefore OA = AC = 3$。
$\because C(0,2)$，$\therefore OC = 2$，$OD = DC = 1$。
在 $Rt△ ADC$ 中，$AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，$\therefore A(-2\sqrt{2},1)$。
连接 $AB$，$OB$，$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ OAC$。
在 $Rt△ ADC$ 中，$\tan∠ DAC = \frac{DC}{AD} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
$\because ∠ OAC = 2∠ DAC$，$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ OAC = ∠ DAC$，$\therefore \tan∠ OBC = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
答案：C
$\because \odot A$ 半径为 3，$\therefore OA = AC = 3$。
$\because C(0,2)$，$\therefore OC = 2$，$OD = DC = 1$。
在 $Rt△ ADC$ 中，$AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，$\therefore A(-2\sqrt{2},1)$。
连接 $AB$，$OB$，$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ OAC$。
在 $Rt△ ADC$ 中，$\tan∠ DAC = \frac{DC}{AD} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
$\because ∠ OAC = 2∠ DAC$，$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ OAC = ∠ DAC$，$\therefore \tan∠ OBC = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
答案：C
10. 已知抛物线$y = -x^{2} - 2x + 3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，将这条抛物线的顶点记为$C$，连接$AC$，$BC$，则$\tan∠ CAB$的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2
答案
10. D
解析
解：令$y = 0$，则$-x^{2}-2x + 3=0$，
解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，
不妨设$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
$y=-x^{2}-2x + 3=-(x + 1)^{2}+4$，
顶点$C(-1,4)$。
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$，则$D(-1,0)$，
$AD=-1-(-3)=2$，$CD=4$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan∠ CAB=\frac{CD}{AD}=\frac{4}{2}=2$。
D
解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，
不妨设$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
$y=-x^{2}-2x + 3=-(x + 1)^{2}+4$，
顶点$C(-1,4)$。
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$，则$D(-1,0)$，
$AD=-1-(-3)=2$，$CD=4$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan∠ CAB=\frac{CD}{AD}=\frac{4}{2}=2$。
D
11. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”。若$\mathrm{Rt}△ ABC$是“好玩三角形”，且$∠ A = 90^{\circ}$，则$\tan∠ ABC=$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
。答案
11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
设 $ AB = c $，$ AC = b $，$ BC = a $，$ ∠ ABC = θ $，则 $ \tanθ = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} $。
情况1：斜边中线等于斜边
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，斜边 $ BC $ 的中线长为 $ \frac{a}{2} $。若中线等于斜边，则 $ \frac{a}{2} = a $，矛盾，故排除。
情况2：直角边 $ AB $ 上的中线等于 $ AB $
取 $ AB $ 中点 $ D $，则 $ CD = AB = c $。$ AD = \frac{c}{2} $，在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中：
$ AC^2 + AD^2 = CD^2 ⇒ b^2 + (\frac{c}{2})^2 = c^2 ⇒ b^2 = \frac{3}{4}c^2 ⇒ \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，即 $ \tanθ = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
情况3：直角边 $ AC $ 上的中线等于 $ AC $
取 $ AC $ 中点 $ E $，则 $ BE = AC = b $。$ AE = \frac{b}{2} $，在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中：
$ AB^2 + AE^2 = BE^2 ⇒ c^2 + (\frac{b}{2})^2 = b^2 ⇒ c^2 = \frac{3}{4}b^2 ⇒ \frac{b}{c} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $，即 $ \tanθ = \frac{2\sqrt{3}}{3} $。
综上，$ \tan∠ ABC = \frac{\sqrt{3}}{2} $或$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $。
情况1：斜边中线等于斜边
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，斜边 $ BC $ 的中线长为 $ \frac{a}{2} $。若中线等于斜边，则 $ \frac{a}{2} = a $，矛盾，故排除。
情况2：直角边 $ AB $ 上的中线等于 $ AB $
取 $ AB $ 中点 $ D $，则 $ CD = AB = c $。$ AD = \frac{c}{2} $，在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中：
$ AC^2 + AD^2 = CD^2 ⇒ b^2 + (\frac{c}{2})^2 = c^2 ⇒ b^2 = \frac{3}{4}c^2 ⇒ \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，即 $ \tanθ = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
情况3：直角边 $ AC $ 上的中线等于 $ AC $
取 $ AC $ 中点 $ E $，则 $ BE = AC = b $。$ AE = \frac{b}{2} $，在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中：
$ AB^2 + AE^2 = BE^2 ⇒ c^2 + (\frac{b}{2})^2 = b^2 ⇒ c^2 = \frac{3}{4}b^2 ⇒ \frac{b}{c} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $，即 $ \tanθ = \frac{2\sqrt{3}}{3} $。
综上，$ \tan∠ ABC = \frac{\sqrt{3}}{2} $或$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $。
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 5$，$BC = 13$，$AD$是$BC$边上的高，$AD = 4$。求$CD$的长和$\tan C$的值。
答案
12. $\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90^{\circ}$,$\because AB=5,AD=4$,$\therefore BD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,$\because BC=13,\therefore CD=BC - BD=10$,$\therefore \tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.
解析
解：$\because AD ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB = 5$，$AD = 4$，
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\because BC = 13$，
$\therefore CD = BC - BD = 13 - 3 = 10$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。
故$CD$的长为$10$，$\tan C$的值为$\frac{2}{5}$。
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB = 5$，$AD = 4$，
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\because BC = 13$，
$\therefore CD = BC - BD = 13 - 3 = 10$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。
故$CD$的长为$10$，$\tan C$的值为$\frac{2}{5}$。
13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$BC = AC$，$D$为$AC$的中点。求：
（1）$\tan∠ BDC$的值；
（2）$\tan∠ ABD$的值。
（1）$\tan∠ BDC$的值；
（2）$\tan∠ ABD$的值。
答案
13.（1）设$BC=AC=2a$,$\because D$为$AC$的中点,$\therefore CD=AD=\frac{1}{2}AC=a$,$\therefore \tan∠ BDC=\frac{BC}{CD}=\frac{2a}{a}=2$;（2）过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,则$∠ DEA=∠ DEB=90^{\circ}$,$\because ∠ C=90^{\circ},AC=BC$,$\therefore ∠ A=∠ ABC=45^{\circ}$,
$\therefore \sin45^{\circ}=\frac{DE}{AD}$,即$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{DE}{a}$,则$DE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,$\because ∠ DEA=90^{\circ},∠ A=45^{\circ}$,$\therefore ∠ EDA=∠ A=45^{\circ}$,$\therefore AE=DE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.$\because AB=2\sqrt{2}a$,$\therefore BE=AB - AE=2\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$,$\therefore \tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$.
