27. (本题满分 14 分)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点$P$绕着某定点$A$顺时针旋转一定的角度$α$，能得到一个新的点$P'$，经过进一步探究，小明发现，当上述点$P$在某函数图像上运动时，点$P'$也随之运动，并且点$P'$的运动轨迹能形成一个新的图形。
试根据下列各题中所给的定点$A$的坐标、角度$α$的大小来解决相关问题。
【初步感知】
如图 1，设$A(1,1)$，$α = 90^{\circ}$，点$P$是一次函数$y = kx + b$图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点$P_{1}(-1,1)$。
(1)点$P_{1}$旋转后，得到的点$P_{1}'$的坐标为；
(2)若点$P'$的运动轨迹经过点$P_{2}'(2,1)$，求原一次函数的表达式。
【深入感悟】
如图 2，设$A(0,0)$，$α = 45^{\circ}$，点$P$是反比例函数$y = -\dfrac{1}{x}(x＜0)$的图像上的动点，过点$P'$作二、四象限角平分线的垂线，垂足为$M$，求$△ OMP'$的面积。
【灵活运用】
如图 3，设$A(1,-\sqrt{3})$，$α = 60^{\circ}$，点$P$是二次函数$y = \dfrac{1}{2}x^{2}+2\sqrt{3}x + 7$图像上的动点，已知点$B(2,0)$，$C(3,0)$，试探究$△ BCP'$的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由。

27. 【初步感知】
(1) $(1, 3)$
(2) $\because P_2'(2, 1)$，由题意得$P_2(1, 2)$，$\because P_1(-1, 1)$，$P_2(1, 2)$在原一次函数图像上，$\therefore$设原一次函数解析式为$y = kx + b$，则$\begin{cases}-k + b = 1,\\k + b = 2,\end{cases}$解得：$\begin{cases}k = \frac{1}{2},\\b = \frac{3}{2},\end{cases}$ $\therefore$原一次函数解析式为$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。
【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于$N$点，则：$\begin{cases}y = -x,\\y = \frac{1}{x}(x ＜ 0),\end{cases}$解得：$\begin{cases}x = -1,\\y = 1,\end{cases}$ $\therefore N(-1, 1)$。
①当$x ≤ -1$时，过点$P$作$PQ ⊥ x$轴于$Q$，连接$AP$，过点$P'$作$P'M ⊥ AN$于点$M$，如图2，$\because ∠ QAM = ∠ POP' = 45^{\circ}$，$\therefore ∠ PAQ = ∠ P'AN$，$\because P'M ⊥ AM$，$\therefore ∠ P'MA = ∠ PQA = 90^{\circ}$，$\therefore$在$△ PQA$和$△ P'MA$中，$\begin{cases}∠ PQA = ∠ P'MA,\\∠ PAQ = ∠ P'AM,\end{cases}$ $\therefore △ PQA ≌ △ P'MA(AAS)$，$\therefore S_{△ P'MA} = S_{△ PQA} = \frac{|k|}{2} = \frac{1}{2}$，即$S_{△ OMP'} = \frac{1}{2}$；
②当$-1 ＜ x ＜ 0$时，过点$P$作$PH ⊥ y$轴于点$H$，过点$P'$作$P'M ⊥ AN$于点$M$，如图3，$\because ∠ POP' = ∠ NOH = 45^{\circ}$，$\therefore ∠ PON = ∠ P'OH$，$\therefore ∠ MP'H = 90^{\circ} - ∠ MOH - ∠ P'OH = 45^{\circ} - ∠ P'OH$。$\because ∠ POH = ∠ POP' - ∠ P'OH = 45^{\circ} - ∠ P'OH$，$\therefore ∠ POH = ∠ MP'O$，在$△ POH$和$△ OP'M$中，$\begin{cases}∠ PHO = ∠ OMP',\\∠ POH = ∠ MP'O,\\PO = P'O,\end{cases}$ $\therefore △ POH ≌ △ OP'M(AAS)$，$\therefore S_{△ P'MO} = S_{△ PHO} = \frac{|k|}{2} = \frac{1}{2}$。
综上所述，$△ OMP'$的面积为$\frac{1}{2}$。
【灵活运用】$△ BCP'$的面积有最小值。如图4，连接$AB$，$AC$，将$B$，$C$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得$B'$，$C'$，作$AH ⊥ x$轴于点$H$，$\because A(1, -\sqrt{3})$，$B(2, 0)$，$C(3, 0)$，$\therefore OH = BH = 1$，$BC = 1$，$\therefore OA = AB = OB = 2$，$\therefore △ OAB$为等边三角形，此时$B'$与$O$重合，即$B'(0, 0)$，连接$C'O$。
$\because ∠ CAC' = ∠ BAB' = 60^{\circ}$，$\therefore ∠ CAB = ∠ C'AB'$，在$△ C'AO$和$△ CAB$中，$\begin{cases}C'A = CA,\\∠ C'AO = ∠ CAB,\\BA = OA,\end{cases}$ $\therefore △ C'AO ≌ △ CAB(SAS)$，$\therefore C'O = CB = 1$，$∠ C'OA = ∠ CBA = 120^{\circ}$，$\therefore$作$C'G ⊥ y$轴于$G$，在$Rt△ C'GO$中，$∠ C'OG = 90^{\circ} - ∠ C'B'C = 30^{\circ}$，$\therefore C'G = \frac{1}{2}OC' = \frac{1}{2}$，$\therefore OG = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore C'(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，此时$OC'$的函数表达式为$y = \sqrt{3}x$，设过$P$且与$B'C'$平行的直线$l$的解析式为$y = \sqrt{3}x + b$。
$\because S_{△ BCP'} = S_{△ B'C'P}$，$\therefore$当直线$l$与抛物线相切时取最小值，则$\begin{cases}y = \sqrt{3}x + b,\\y = \frac{1}{2}x^2 + 2\sqrt{3}x + 7,\end{cases}$即$\sqrt{3}x + b = \frac{1}{2}x^2 + 2\sqrt{3}x + 7$，$\therefore \frac{1}{2}x^2 + \sqrt{3}x + 7 - b = 0$，当$\Delta = 0$时，得$b = \frac{11}{2}$，$\therefore y = \sqrt{3}x + \frac{11}{2}$，设$l$与$y$轴交于点$T$，连接$C'T$，$\because S_{△ B'C'T} = S_{△ B'C'P}$，$\therefore S_{△ BCP'} = \frac{1}{2} × B'T × C'G = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{11}{2} = \frac{11}{8}$。