6. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.如图，由里向外数，从第2个正方形开始，各正方形顶点的横坐标和纵坐标分别是由第1个正方形对应顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，$···$得到的.观察图形，猜想由里向外数第1 000个正方形四条边上的整点共有个.

6. 4000.

7. 如图，在平面直角坐标系中，第1次将三角形$OAB$变换成三角形$OA_{1}B_{1}$，第2次将三角形$OA_{1}B_{1}$变换成三角形$OA_{2}B_{2}$，第3次将三角形$OA_{2}B_{2}$变换成三角形$OA_{3}B_{3}$，已知顶点的坐标分别为$A(1,3)$，$A_{1}(2,3)$，$A_{2}(4,3)$，$A_{3}(8,3)$，$B(2,0)$，$B_{1}(4,0)$，$B_{2}(8,0)$，$B_{3}(16,0)$.

(1)按此规律变换成三角形$OA_{4}B_{4}$，则$A_{4}$的坐标是，$B_{4}$的坐标是.
(2)按此规律变换$n$次，变换成三角形$OA_{n}B_{n}$，则$A_{n}$的坐标是，$B_{n}$的坐标是.(均用含$n$的代数式表示.)

7. (1) (16,3);(32,0).
(2) (2ⁿ,3);(2ⁿ⁺¹,0).

8. 如图，在平面直角坐标系中，$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,2)$.
（1）求三角形$ABC$的面积；
（2）若点$P$从点$B$出发沿射线$BA$的方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度.设移动时间为$t\ \mathrm{s}$，当$t$为何值时，三角形$PAC$的面积等于三角形$BOC$的面积？

8. (1)
∵A(−1,0),B(3,0), C(0,2),
∴AB = 4,OC = 2.
∴三角形ABC的面积是
$\frac{1}{2}$AB·OC = $\frac{1}{2}$×4×2 = 4.
(2) $\frac{1}{2}$AP·OC = $\frac{1}{2}$OB·OC, 即AP = OB = 3.
当点P在点A的右边时，AP = 3，则BP = 4 - 3 = 1,所以t = 1;
当点P在点A的左边时，AP = 3，则BP = 4 + 3 = 7,所以t = 7.
综上所述，当t为1或7时，三角形PAC的面积等于三角形BOC的面积.