9. 当$a = 2026$时，分式$\frac{4 - a^{2}}{a - 2}$的值是.

9. $-2028$

$\frac{4 - a^{2}}{a - 2}=\frac{(2 - a)(2 + a)}{a - 2}=-(a + 2)$，当$a = 2026$时，原式$=-(2026 + 2)=-2028$

10. (教材变式)已知$x$为整数，且分式$\frac{3x - 15}{x^{2}-10x + 25}$的值也为整数，则$x$可取的值为.

10. $6$，$4$，$8$，$2$ 解析：$\dfrac{3x - 15}{x^{2} - 10x + 25}=\dfrac{3(x - 5)}{(x - 5)^{2}}=\dfrac{3}{x - 5}$，$\because x$ 为整数，$\therefore x - 5$ 为整数，$\because$ 分式 $\dfrac{3}{x - 5}$ 的值也为整数，$\therefore x - 5 = \pm 1$，$\pm 3$，$\therefore x$ 可取的值为 $6$，$4$，$8$，$2$

$\dfrac{3x - 15}{x^{2}-10x + 25}=\dfrac{3(x - 5)}{(x - 5)^{2}}=\dfrac{3}{x - 5}$，
$\because x$为整数，分式的值也为整数，
$\therefore x - 5$为$3$的因数，
$\therefore x - 5 = \pm 1$，$\pm 3$，
当$x - 5 = 1$时，$x = 6$；
当$x - 5 = -1$时，$x = 4$；
当$x - 5 = 3$时，$x = 8$；
当$x - 5 = -3$时，$x = 2$，
则$x$可取的值为$6$，$4$，$8$，$2$。

11. 若$\frac{n + m}{n - m} = 3$，求代数式$\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{m^{2}}$的值.

11. $\because \dfrac{n + m}{n - m}=3$，$\therefore n + m = 3(n - m)$，即 $n = 2m$，$\therefore \dfrac{m^{2}}{n^{2}}+\dfrac{n^{2}}{m^{2}}=\dfrac{m^{2}}{(2m)^{2}}+\dfrac{(2m)^{2}}{m^{2}}=\dfrac{m^{2}}{4m^{2}}+\dfrac{4m^{2}}{m^{2}}=\dfrac{1}{4}+4=\dfrac{17}{4}$

12. 已知$x + y = 2$，$x - y = \frac{1}{2}$，求分式$\frac{2x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}$的值.

12. 原式 $=\dfrac{2(x + y)(x - y)}{(x + y)^{2}}=\dfrac{2(x - y)}{x + y}$，$\because x + y = 2$，$x - y=\dfrac{1}{2}$，$\therefore$ 原式 $=\dfrac{2×\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$

13. (新考法·新定义题)(2024·宿城期末)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如：$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}=\frac{4x(x - 2)}{x - 2}=4x$，则称分式$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义，解答下列问题：
(1)有下列分式：①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；③$\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$.其中，是“巧分式”的有(填序号).
(2)若分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + n}$($m$，$n$为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$m$，$n$的值.
(3)若分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，请判断$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是否是“巧分式”，并说明理由.

13. (1) ①③ 解析：$\because \dfrac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = 2x - 3$，$2x - 3$ 是整式，$\therefore$ ① 是“巧分式”，$\because \dfrac{2x + 5}{x + 3}=\dfrac{2(x + 3) - 1}{x + 3}=2 - \dfrac{1}{x + 3}$，$2 - \dfrac{1}{x + 3}$ 不是整式，$\therefore$ ② 不是“巧分式”，$\because \dfrac{x^{2} - y^{2}}{x + y}=\dfrac{(x - y)(x + y)}{x + y}=x - y$，$x - y$ 是整式，$\therefore$ ③ 是“巧分式”
(2) $\because$ 分式 $\dfrac{x^{2} - 4x + m}{x + n}$（$m$，$n$ 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 $x - 7$，$\therefore (x + n)(x - 7)=x^{2} - 4x + m$，$\therefore x^{2} + (n - 7)x - 7n = x^{2} - 4x + m$，$\therefore n - 7 = -4$，$m = -7n$，$\therefore n = 3$，$m = -21$
(3) $\dfrac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$ 是“巧分式” 理由：$\because$ 分式 $\dfrac{-2x^{3} + 2x}{A}$ 的“巧整式”为 $1 - x$，$\therefore A=\dfrac{-2x^{3} + 2x}{1 - x}=\dfrac{2x(1 - x^{2})}{1 - x}=\dfrac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)=2x^{2} + 2x$，$\because \dfrac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{2x^{2} + 2x}=\dfrac{2x(x^{2} + 2x + 1)}{2x(x + 1)}=\dfrac{(x + 1)^{2}}{x + 1}=x + 1$，$x + 1$ 是整式，$\therefore \dfrac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$ 是“巧分式”