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1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 $35°$，则另一个锐角的度数是(
A.$75°$
B.$65°$
C.$55°$
D.$45°$
C
)A.$75°$
B.$65°$
C.$55°$
D.$45°$
答案
1. C
2. 如图 1 - 3 - 1，在 $Rt△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$∠ B = 50°$，$CD$平分$∠ ACB$，则$∠ 1$等于(
A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
)A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
2. B
3. 在 $Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 5$，$BC = 12$，则点 $C$到 $AB$的距离是(
A.13
B.5
C.6
D.$\frac{60}{13}$
A
)A.13
B.5
C.6
D.$\frac{60}{13}$
答案
3. A
4. 如图 1 - 3 - 2，在 $△ ADC$中，$∠ C = 90°$。$AB$是 $DC$边上的中线，$∠ ABC = 60°$。若 $AB = 10$，求 $AD$的长。
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ ABC = 60°$，
$\therefore ∠ BAC = 30°$，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$。
$\because AB$是$DC$边上的中线，
$\therefore DC = 2BC = 2 × 5 = 10$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 10^2} = \sqrt{75 + 100} = 5\sqrt{7}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ ABC = 60°$，
$\therefore ∠ BAC = 30°$，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$。
$\because AB$是$DC$边上的中线，
$\therefore DC = 2BC = 2 × 5 = 10$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 10^2} = \sqrt{75 + 100} = 5\sqrt{7}$。
5. 在 $△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别记为 $a$，$b$，$c$，由下列条件不能判定 $△ ABC$为直角三角形的是()
A.$∠ A + ∠ B = ∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C = 1:2:3$
C.$a^{2} = c^{2} - b^{2}$
D.$a:b:c = 3:4:6$
A.$∠ A + ∠ B = ∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C = 1:2:3$
C.$a^{2} = c^{2} - b^{2}$
D.$a:b:c = 3:4:6$
答案
D
解析
1. 选项A：根据三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°，结合∠A+∠B=∠C，得2∠C=180°，∠C=90°，可判定△ABC为直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=90°，可判定△ABC为直角三角形。
3. 选项C：由a²=c²-b²变形得a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形。
4. 选项D：设a=3k，b=4k，c=6k（k＞0），计算得a²+b²=(3k)²+(4k)²=25k²，c²=(6k)²=36k²，25k²≠36k²，不满足勾股定理逆定理，不能判定△ABC为直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=90°，可判定△ABC为直角三角形。
3. 选项C：由a²=c²-b²变形得a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形。
4. 选项D：设a=3k，b=4k，c=6k（k＞0），计算得a²+b²=(3k)²+(4k)²=25k²，c²=(6k)²=36k²，25k²≠36k²，不满足勾股定理逆定理，不能判定△ABC为直角三角形。
6. 三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形的面积是。
答案
24
解析
先计算三边的平方：6²+8²=36+64=100，10²=100，因此6²+8²=10²，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形是直角三角形，其中6和8为直角边。根据直角三角形面积公式，面积=1/2×6×8=24。
7. 如图 1 - 3 - 3，在 $△ ABC$中，$∠ ACB = 37°$，$∠ BAC = 53°$，$AB = 3$，$BC = 4$，$D$是 $△ ABC$外一点，连接 $CD$，$AD$，且 $CD = 12$，$AD = 13$。求$∠ BCD$的度数。
答案
解：
在$△ ABC$中，
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ BAC = 180° - 37° - 53° = 90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
$\therefore AC = 5$。
在$△ ACD$中，
$AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
$AD^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD = 90°$。
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 37° + 90° = 127°$。
在$△ ABC$中，
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ BAC = 180° - 37° - 53° = 90°$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
$\therefore AC = 5$。
在$△ ACD$中，
$AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
$AD^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD = 90°$。
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 37° + 90° = 127°$。
8. 下列说法中，正确的是()
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题
答案
A
解析
1. 选项A：命题由题设和结论组成，将命题的题设与结论互换即可得到其逆命题，因此每个命题都有逆命题，该说法正确。
2. 选项B：假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故该说法错误。
3. 选项C：定理的逆命题不一定为真命题，只有当逆命题是真命题时，原定理才有逆定理，例如定理“对顶角相等”的逆命题是假命题，无逆定理，故该说法错误。
4. 选项D：真命题的逆命题不一定是真命题，例如真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，故该说法错误。
综上，正确的是A。
2. 选项B：假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故该说法错误。
3. 选项C：定理的逆命题不一定为真命题，只有当逆命题是真命题时，原定理才有逆定理，例如定理“对顶角相等”的逆命题是假命题，无逆定理，故该说法错误。
4. 选项D：真命题的逆命题不一定是真命题，例如真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，故该说法错误。
综上，正确的是A。
9. 命题“如果 $a + b = 0$，那么 $a$，$b$互为相反数”的逆命题为，它是(填“真”或“假”)命题。
答案
如果a，b互为相反数，那么a + b = 0；真
解析
根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换，得到逆命题为“如果a，b互为相反数，那么a + b = 0”；根据相反数的定义，互为相反数的两个数的和为0，故该逆命题是真命题。
10. 能说明“锐角 $α$、锐角 $β$的和是锐角”是假命题的例证图是( )答案
C
