11. 已知非直角三角形 $ABC$中，$∠ A = 45°$，高 $BD$与高 $CE$所在直线交于点 $H$，则$∠ BHC$的度数是()

A.$45°$
B.$45°$或 $135°$
C.$45°$或 $125°$
D.$135°$

B

分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC$为锐角三角形时：
因为$BD$、$CE$是高，所以$∠ ADB=∠ AEC=90°$。
在四边形$AEHD$中，$∠ EHD=360°-∠ A-∠ ADB-∠ AEC=360°-45°-90°-90°=135°$，
又$∠ BHC=∠ EHD$（对顶角相等），故$∠ BHC=135°$。
2. 当$△ ABC$为钝角三角形时（不妨设$∠ ACB$为钝角）：
$BD⊥ AC$的延长线于$D$，$CE⊥ AB$于$E$，交点$H$在$△ ABC$外。
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$∠ A=45°$，$∠ AEH=90°$，则$∠ AHE=180°-90°-45°=45°$，
又$∠ BHC=∠ AHE$（对顶角相等），故$∠ BHC=45°$。
综上，$∠ BHC$的度数是$45°$或$135°$。

12. 如图 1 - 3 - 5，圆柱体的高为 $10$ cm，底面周长为 $8$ cm，在圆柱下底面 $A$处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面 $B$处的食物，已知 $B$处距上底面 $4$ cm，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径长是 cm。

$2\sqrt{13}$

1. 将圆柱侧面沿过点A的母线展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，蚂蚁爬行的最短路径为展开图中A到B的线段长度。
2. 计算直角三角形的两条直角边：
已知底面周长为8cm，因此展开图中A、B的水平距离为底面半周长：$8÷2=4$ cm；
圆柱高为10cm，B距上底面4cm，因此B到下底面的高度为：$10-4=6$ cm，即展开图中A、B的垂直距离为6 cm。
3. 根据勾股定理，计算最短路径长：
$\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm。

13. 如图 1 - 3 - 6，长方形 $ABCD$中，$AB = 8$，$BC = 4$，将长方形沿 $AC$折叠，点 $D$落在点 $D'$处，则重叠部分$△ AFC$的面积为。

10

1. 长方形$ABCD$中，$AB// CD$，$∠ B=90°$，$BC=4$，$AB=8$，故$∠ DCA=∠ CAB$；
2. 由折叠性质得$∠ D'CA=∠ DCA$，因此$∠ D'CA=∠ CAB$，所以$AF=CF$；
3. 设$AF=x$，则$CF=x$，$BF=8-x$，在$Rt△ BCF$中，根据勾股定理：$4^2+(8-x)^2=x^2$，解得$x=5$；
4. $△ AFC$的面积$=\frac{1}{2}× AF× BC=\frac{1}{2}×5×4=10$。

14. 如图 1 - 3 - 7，已知等腰三角形 $ABC$的底边 $BC = 8\sqrt{5}$ cm，$D$是腰 $BA$延长线上的一点，连接 $CD$，且 $BD = 16$ cm，$CD = 8$ cm。
（1）判断$△ BDC$的形状，并说明理由；
（2）求$△ ABC$的周长。

解：
（1）$△ BDC$是直角三角形，理由如下：
$\because BC = 8\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$BD = 16\ \mathrm{cm}$，$CD = 8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD^2 + CD^2 = 16^2 + 8^2 = 256 + 64 = 320$，
$BC^2 = (8\sqrt{5})^2 = 64×5 = 320$，
$\therefore BD^2 + CD^2 = BC^2$，
$\therefore △ BDC$是直角三角形，且$∠ D = 90°$。
（2）设$AB = AC = x\ \mathrm{cm}$，则$AD = BD - AB = (16 - x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
即$(16 - x)^2 + 8^2 = x^2$，
展开得：$256 - 32x + x^2 + 64 = x^2$，
化简得：$320 - 32x = 0$，
解得：$x = 10$，
$\therefore AB = AC = 10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB + AC + BC = 10 + 10 + 8\sqrt{5} = (20 + 8\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$。
答：$△ ABC$的周长为$(20 + 8\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$。

15. 如图 1 - 3 - 8（a），$△ ACB$和 $△ ECD$都是等腰直角三角形，$CA = CB$，$CE = CD$，$△ ACB$的顶点 $A$在 $△ ECD$的斜边 $DE$上，连接 $BD$。
（1）求证：①$∠ ADB = 90°$；
②$AE^{2} + AD^{2} = 2AC^{2}$。
（2）如图（b），$△ ACB$是等腰直角三角形，$CA = CB$，$E$为 $AB$上一点，$AE = 3$，$CE = \sqrt{29}$，直接写出 $BE$的长。

15. (1)①$\because ∠ACB=∠ECD=90^{\circ },∠E=∠CDE=45^{\circ }$,
$\therefore ∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90^{\circ },\therefore ∠ECA=∠DCB$.
又$\because CA=CB,CE=CD$,
$\therefore △ ECA≌ △ DCB(SAS)$,
$\therefore ∠E=∠CDB=45^{\circ }$,
$\therefore ∠ADB=∠CDE+∠CDB=45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$,即$∠ADB=90^{\circ }$.
②由①可得$△ ECA≌ △ DCB,∠ADB=90^{\circ }$,
$\therefore AE=BD$.
在$Rt△ ABD$中,由勾股定理,得$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2},\therefore AE^{2}+AD^{2}=AB^{2}$.
$\because △ ACB$是等腰直角三角形,$AC=BC$,
$\therefore$由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2AC^{2},\therefore AE^{2}+AD^{2}=2AC^{2}$.
(2)如图,以$CE$为直角边,在$CE$的右边作等腰直角三角形$ECF$,使$∠ECF=90^{\circ }$,连接$BF$.
根据(1)的证明,可得$AE^{2}+BE^{2}=2CE^{2}$.
$\because AE=3,CE=\sqrt {29}$,
$\therefore 3^{2}+BE^{2}=2×(\sqrt {29})^{2}$,
解得$BE=7$(负值已舍去),$\therefore BE$的长是7.