10. 如图(1)，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线。设∠BAC = α，∠B = β(α ＞ β)。

(1)若α = 70°，β = 40°，求∠DCE的度数；
(2)证明：∠DCE = $\frac{α - β}{2}$；
(3)如图(2)，CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E，且α - β = 30°，求∠DCE的度数。

10. 解：(1)在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°。
∵∠A = 70°，∠B = 40°，
∴∠ACB = 180° - 40° - 70° = 70°。
∵CE 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
∵CD 是△ABC 的高线，
∴∠ADC = 90°，
∴∠ACD = 90° - ∠A = 90° - 70° = 20°。
∴∠DCE = ∠ACE - ∠ACD = 35° - 20° = 15°。
(2)由(1)知∠ACB = 180° - (α + β)。
∵CE 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = 90° - $\frac{1}{2}$(α + β)。
∵CD 是△ABC 的高线，
∴∠ADC = 90°，
∴∠ACD = 90° - ∠A = 90° - α。
∴∠DCE = ∠ACE - ∠ACD = $\frac{α - β}{2}$。
(3)如图，作∠ACB 的平分线 CG，交 BA 于点 G，
则∠ACG = $\frac{1}{2}$∠ACB。
由(2)可得∠DCG = $\frac{α - β}{2}$ = 15°。

∵CE 是∠ACF 的平分线，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACF。
∴∠ECG = ∠ACG + ∠ACE
= $\frac{1}{2}$∠ACB + $\frac{1}{2}$∠ACF
= $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACF) = 90°。
∴∠DCE = ∠ECG - ∠DCG = 90° - 15° = 75°。

例 1 如图，点 $D$ 在边 $AB$ 上，点 $E$ 在边 $AC$ 上，$BE$，$CD$ 相交于点 $O$。
(1) 若 $∠ A = 50^{\circ}$，$∠ BOD = 70^{\circ}$，$∠ C = 25^{\circ}$，求 $∠ B$ 的度数；
(2) 试猜想 $∠ BOC$ 与 $∠ A + ∠ B + ∠ C$ 之间的关系，并证明你的猜想。

【点拨】 (1) 先根据三角形外角的性质求出 $∠ BDO$ 的度数，再根据三角形内角和定理即可求出 $∠ B$ 的度数。
(2) 根据三角形外角的性质证明即可。
【解】 (1) $\because ∠ A = 50^{\circ}$，$∠ C = 25^{\circ}$，
$\therefore ∠ BDO = ∠ A + ∠ C = 75^{\circ}$。
$\therefore ∠ B = 180^{\circ} - ∠ BDO - ∠ BOD = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 70^{\circ} = 35^{\circ}$。
(2) $∠ BOC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$。理由如下：
$\because ∠ BDO = ∠ A + ∠ C$，
$∠ BOC = ∠ BDO + ∠ B$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$。