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1.用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示。搭这个几何体最多需要个小立方块，最少需要个小立方块。
答案
$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】解决这类题首先要明确两个视图的作用：从上面看到的形状图可以确定几何体底层小立方块的个数和分布位置，每个对应位置至少有1个小立方块；从正面看到的形状图可以确定几何体每一列的最大层数。求最多数量时，让每个位置的小立方块数量都达到所在列的最大层数即可；求最少数量时，每一列只需保证至少有1个位置达到最大层数，其余位置取最少的1层即可。
【解析】
第一步：分析从上面看到的形状图，可得几何体底层共有4个小立方块，位置分布为：左列只有1个位置，中间列有2个位置，右列只有1个位置。
第二步：分析从正面看到的形状图，可得：左列最高为3层，中间列最高为2层，右列最高为1层。
第三步：计算最多需要的小立方块数量：
左列仅1个位置，要达到最高3层，共3个；
中间列2个位置都达到最高2层，共$2×2=4$个；
右列仅1个位置，最高1层，共1个；
最多总数：$3+4+1=8$个。
第四步：计算最少需要的小立方块数量：
左列仅1个位置，必须达到3层，共3个；
中间列只需1个位置达到2层，另1个位置为1层，共$2+1=3$个；
右列仅1个位置，只能为1层，共1个；
最少总数：$3+3+1=7$个。
【答案】$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{7}$
【知识点】三视图识别，由视图确定小立方块个数
【点评】本题重点考查空间想象能力和对三视图的理解，解题核心是抓住俯视图确定底层分布、主视图确定层高上限的规律，区分最多、最少情况的构造差异即可顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：分析从上面看到的形状图，可得几何体底层共有4个小立方块，位置分布为：左列只有1个位置，中间列有2个位置，右列只有1个位置。
第二步：分析从正面看到的形状图，可得：左列最高为3层，中间列最高为2层，右列最高为1层。
第三步：计算最多需要的小立方块数量：
左列仅1个位置，要达到最高3层，共3个；
中间列2个位置都达到最高2层，共$2×2=4$个；
右列仅1个位置，最高1层，共1个；
最多总数：$3+4+1=8$个。
第四步：计算最少需要的小立方块数量：
左列仅1个位置，必须达到3层，共3个；
中间列只需1个位置达到2层，另1个位置为1层，共$2+1=3$个；
右列仅1个位置，只能为1层，共1个；
最少总数：$3+3+1=7$个。
【答案】$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{7}$
【知识点】三视图识别，由视图确定小立方块个数
【点评】本题重点考查空间想象能力和对三视图的理解，解题核心是抓住俯视图确定底层分布、主视图确定层高上限的规律，区分最多、最少情况的构造差异即可顺利求解。
【难度系数】0.7
2.一个物体是由若干个棱长为3 cm的正方体模型堆砌而成的，其从不同方向看到的形状图如图所示。
(1)请在从上面看到的形状图上标出小正方体的个数。
(2)求该物体的体积。
(1)请在从上面看到的形状图上标出小正方体的个数。
(2)求该物体的体积。
答案
解：
(1) 在从上面看到的形状图的各个小正方形内标注数字：
第一行（最上方）的两个小正方形，左侧填2，右侧填1；
第二行的三个小正方形，从左到右依次填3、2、1；
第三行（最下方）的1个小正方形填1。
(2) 小正方体的总个数为：$2+1+3+2+1+1=10$（个）
单个小正方体的体积为：$3×3×3=27\ (\mathrm{cm}^3)$
该物体的总体积为：$10×27=270\ (\mathrm{cm}^3)$
答：该物体的体积为$270\ \mathrm{cm}^3$。
(1) 在从上面看到的形状图的各个小正方形内标注数字：
第一行（最上方）的两个小正方形，左侧填2，右侧填1；
第二行的三个小正方形，从左到右依次填3、2、1；
第三行（最下方）的1个小正方形填1。
(2) 小正方体的总个数为：$2+1+3+2+1+1=10$（个）
单个小正方体的体积为：$3×3×3=27\ (\mathrm{cm}^3)$
该物体的总体积为：$10×27=270\ (\mathrm{cm}^3)$
答：该物体的体积为$270\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
（1）标注从上面看的形状图中各位置小正方体个数时，需结合三视图的对应特征：从正面看的形状图可确定几何体每一列的最大层数，从左面看的形状图可确定几何体每一行的最大层数，二者结合就能确定从上面看的形状图中每个位置的小正方体层数：
正面视图显示左列最高3层、中列最高2层、右列最高1层；左面视图显示最上行（对应上面看的第一行）最高2层、中间行（对应上面看的第二行）最高3层、最下行（对应上面看的第三行）最高1层，对应逐个位置标注即可。
（2）求体积的思路：先求和得到小正方体总个数，再计算单个小正方体的体积，总个数乘单个体积即可得到几何体总体积。
【解析】
(1) 对从上面看到的形状图标注如下：
第一行（最上方）两个小正方形，左侧填2，右侧填1；
第二行三个小正方形，从左到右依次填3、2、1；
第三行（最下方）的小正方形填1。
(2) 先计算小正方体总个数：$2+1+3+2+1+1=10$（个）
再计算单个小正方体的体积：$3×3×3=27\ (\mathrm{cm}^3)$
最后计算物体总体积：$10×27=270\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 从上面看的形状图标注：第一行左2、右1；第二行左3、中2、右1；第三行1。
(2) $\boxed{270\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
三视图还原几何体，正方体体积计算，由三视图判断小正方体个数
【点评】
本题是三视图的常规应用题型，重点考查对三视图对应几何体特征的理解，只要掌握三个视图分别反映的几何体行列层数的规律，就能快速确定小正方体的总数量，进而求解体积。
【难度系数】
0.7
（1）标注从上面看的形状图中各位置小正方体个数时，需结合三视图的对应特征：从正面看的形状图可确定几何体每一列的最大层数，从左面看的形状图可确定几何体每一行的最大层数，二者结合就能确定从上面看的形状图中每个位置的小正方体层数：
正面视图显示左列最高3层、中列最高2层、右列最高1层；左面视图显示最上行（对应上面看的第一行）最高2层、中间行（对应上面看的第二行）最高3层、最下行（对应上面看的第三行）最高1层，对应逐个位置标注即可。
（2）求体积的思路：先求和得到小正方体总个数，再计算单个小正方体的体积，总个数乘单个体积即可得到几何体总体积。
【解析】
(1) 对从上面看到的形状图标注如下：
第一行（最上方）两个小正方形，左侧填2，右侧填1；
第二行三个小正方形，从左到右依次填3、2、1；
第三行（最下方）的小正方形填1。
(2) 先计算小正方体总个数：$2+1+3+2+1+1=10$（个）
再计算单个小正方体的体积：$3×3×3=27\ (\mathrm{cm}^3)$
最后计算物体总体积：$10×27=270\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 从上面看的形状图标注：第一行左2、右1；第二行左3、中2、右1；第三行1。
(2) $\boxed{270\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
三视图还原几何体，正方体体积计算，由三视图判断小正方体个数
【点评】
本题是三视图的常规应用题型，重点考查对三视图对应几何体特征的理解，只要掌握三个视图分别反映的几何体行列层数的规律，就能快速确定小正方体的总数量，进而求解体积。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 下图是由11个大小相同的小立方块搭成的几何体。
(1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图。
从正面看 从左面看 从上面看
(2)小立方块的棱长为1 cm，现要给该几何体表面涂色(不含底面)，求涂上颜色部分的总面积。
(3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的小立方块组成一个新组合体，使从正面、左面看这个新组合体时，得到的形状图与原来的相同，可以有多少种添加方法？
(1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图。
从正面看 从左面看 从上面看
(2)小立方块的棱长为1 cm，现要给该几何体表面涂色(不含底面)，求涂上颜色部分的总面积。
(3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的小立方块组成一个新组合体，使从正面、左面看这个新组合体时，得到的形状图与原来的相同，可以有多少种添加方法？
答案
解：
(1) 绘制形状图：
从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2；
从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1；
从上面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1、2。
在对应网格中按上述数量填充小正方形即可得到要求的形状图。
(2) 每个小正方形的面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
从正面数得7个面，从后面数得7个面；
从左面数得6个面，从右面数得6个面；
从上面数得6个面。
涂上颜色部分的总面积为：
$7+7+6+6+6=32\ \mathrm{cm}^2$
答：涂上颜色部分的总面积为$32\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 要使新组合体从正面、左面看到的形状图与原几何体相同，新增小立方块只能放置在底层符合视图要求的空位上，经计数，共有5种符合要求的添加方法。
答：可以有5种添加方法。
(1) 绘制形状图：
从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2；
从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1；
从上面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1、2。
在对应网格中按上述数量填充小正方形即可得到要求的形状图。
(2) 每个小正方形的面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
从正面数得7个面，从后面数得7个面；
从左面数得6个面，从右面数得6个面；
从上面数得6个面。
涂上颜色部分的总面积为：
$7+7+6+6+6=32\ \mathrm{cm}^2$
答：涂上颜色部分的总面积为$32\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 要使新组合体从正面、左面看到的形状图与原几何体相同，新增小立方块只能放置在底层符合视图要求的空位上，经计数，共有5种符合要求的添加方法。
答：可以有5种添加方法。
解析
【分析】
（1）画三视图时，先明确观察方向：①从正面看，列数与几何体横向列数一致，每列小正方形的个数对应该列小立方块的最大层数；②从左面看，列数与几何体纵向行数一致，每列小正方形的个数对应该行小立方块的最大层数；③从上面看，对应几何体底层小立方块的分布位置，有立方块的位置就画小正方形。
（2）计算涂色面积时，因不含底面，只需统计前、后、左、右、上五个方向的外露小正方形个数，其中前和后、左和右的外露面数分别相等，每个小正方形面积为1cm²，总个数乘单个面积就是总面积。
（3）添加小立方块后正视图、左视图不变，说明新增立方块不能改变原几何体任意一列（正视图方向）、任意一行（左视图方向）的最大高度，因此只能放在底层不影响最大高度的空位上，计数符合要求的空位即可得到添加方法数。
【解析】
(1) 绘制三视图：
从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2，按数量填充对应网格即可；
从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，按数量填充对应网格即可；
从上面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1、2，按数量填充对应网格即可。
(2) 单个小正方形的面积为：$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
统计各方向外露面数：正面有7个，背面和正面外露面数相同也为7个；左面有6个，右面和左面外露面数相同也为6个；上面有6个。
涂色总面积为：$7×2 + 6×2 +6 = 32\ \mathrm{cm}^2$
(3) 新增小立方块需满足不改变正视图、左视图的最大高度，仅可放置在底层符合要求的空位上，经计数共有5个符合要求的空位，即有5种添加方法。
【答案】
(1) 三视图按上述规则绘制即可；(2) 涂上颜色部分的总面积为$\boldsymbol{32\ \mathrm{cm}^2}$；(3) 可以有$\boldsymbol{5}$种添加方法。
【知识点】
三视图的画法；几何体表面积计算；三视图的应用
【点评】
本题综合考查组合几何体的视图相关知识，既包含基础的三视图绘制、表面积计算，也需要通过空间想象结合视图特征判断小立方块的可添加位置，能够有效考查空间思维能力。
【难度系数】
0.6
（1）画三视图时，先明确观察方向：①从正面看，列数与几何体横向列数一致，每列小正方形的个数对应该列小立方块的最大层数；②从左面看，列数与几何体纵向行数一致，每列小正方形的个数对应该行小立方块的最大层数；③从上面看，对应几何体底层小立方块的分布位置，有立方块的位置就画小正方形。
（2）计算涂色面积时，因不含底面，只需统计前、后、左、右、上五个方向的外露小正方形个数，其中前和后、左和右的外露面数分别相等，每个小正方形面积为1cm²，总个数乘单个面积就是总面积。
（3）添加小立方块后正视图、左视图不变，说明新增立方块不能改变原几何体任意一列（正视图方向）、任意一行（左视图方向）的最大高度，因此只能放在底层不影响最大高度的空位上，计数符合要求的空位即可得到添加方法数。
【解析】
(1) 绘制三视图：
从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2，按数量填充对应网格即可；
从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，按数量填充对应网格即可；
从上面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1、2，按数量填充对应网格即可。
(2) 单个小正方形的面积为：$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
统计各方向外露面数：正面有7个，背面和正面外露面数相同也为7个；左面有6个，右面和左面外露面数相同也为6个；上面有6个。
涂色总面积为：$7×2 + 6×2 +6 = 32\ \mathrm{cm}^2$
(3) 新增小立方块需满足不改变正视图、左视图的最大高度，仅可放置在底层符合要求的空位上，经计数共有5个符合要求的空位，即有5种添加方法。
【答案】
(1) 三视图按上述规则绘制即可；(2) 涂上颜色部分的总面积为$\boldsymbol{32\ \mathrm{cm}^2}$；(3) 可以有$\boldsymbol{5}$种添加方法。
【知识点】
三视图的画法；几何体表面积计算；三视图的应用
【点评】
本题综合考查组合几何体的视图相关知识，既包含基础的三视图绘制、表面积计算，也需要通过空间想象结合视图特征判断小立方块的可添加位置，能够有效考查空间思维能力。
【难度系数】
0.6
