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1.（1）半径为3 cm，圆心角为$45°$的扇形面积是
（2）弧长为$6π$ cm，半径为5 cm的扇形面积是
$\frac{9}{8}π \ \mathrm{cm}^2$
。（2）弧长为$6π$ cm，半径为5 cm的扇形面积是
$15π \ \mathrm{cm}^2$
。答案
1. (1) $\frac{9}{8}π \ \mathrm{cm}^2$ (2) $15π \ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时先回忆扇形面积的两个常用公式：①已知圆心角$n°$和半径$R$时，用$S_{扇}=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长$l$和半径$R$时，用$S_{扇}=\frac{1}{2}lR$。再根据每小问给出的已知条件选择对应的公式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）已知扇形半径$R=3\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=45°$，代入角度制扇形面积公式计算：
$S_{扇}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{45×π×3^2}{360}=\frac{45×9π}{360}=\frac{9}{8}π\ \mathrm{cm}^2$
（2）已知扇形弧长$l=6π\ \mathrm{cm}$，半径$R=5\ \mathrm{cm}$，代入弧长相关的扇形面积公式计算：
$S_{扇}=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×6π×5=15π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）$\frac{9}{8}π \ \mathrm{cm}^2$；（2）$15π \ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算、弧长与扇形面积关系
【点评】
本题属于基础计算题，核心是根据已知条件灵活选择扇形面积的对应公式代入运算，计算时注意化简结果，不要遗漏面积单位。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆扇形面积的两个常用公式：①已知圆心角$n°$和半径$R$时，用$S_{扇}=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长$l$和半径$R$时，用$S_{扇}=\frac{1}{2}lR$。再根据每小问给出的已知条件选择对应的公式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）已知扇形半径$R=3\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=45°$，代入角度制扇形面积公式计算：
$S_{扇}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{45×π×3^2}{360}=\frac{45×9π}{360}=\frac{9}{8}π\ \mathrm{cm}^2$
（2）已知扇形弧长$l=6π\ \mathrm{cm}$，半径$R=5\ \mathrm{cm}$，代入弧长相关的扇形面积公式计算：
$S_{扇}=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×6π×5=15π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）$\frac{9}{8}π \ \mathrm{cm}^2$；（2）$15π \ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算、弧长与扇形面积关系
【点评】
本题属于基础计算题，核心是根据已知条件灵活选择扇形面积的对应公式代入运算，计算时注意化简结果，不要遗漏面积单位。
【难度系数】
0.8
2. 已知扇形的面积为$12π \ \mathrm{cm}^2$，圆心角为$120°$，则扇形所在圆的半径是
$6\ \mathrm{cm}$
。答案
2. $6\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题已知扇形面积和圆心角，要求对应圆的半径，解题思路如下：首先回忆圆心角度数与扇形面积、半径的关系公式，扇形面积由圆心角占整个圆周角的比例乘圆的面积得到，即$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）；已知$S_{扇形}$和$n$，将数值代入公式即可得到仅含$r$的方程，解方程后结合半径为正数的实际意义取正根即可得到结果。
【解析】
设扇形所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$
将$S_{扇形}=12π\ \mathrm{cm}^2$，$n=120°$代入公式得：
$12π=\frac{120π r^2}{360}$
化简右侧得：$12π=\frac{π r^2}{3}$
两边同时除以$π$得：$12=\frac{r^2}{3}$
解得$r^2=36$，因为半径为正数，所以$r=\sqrt{36}=6$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是扇形面积的基础应用题，核心考查对扇形面积公式的掌握，代入数值计算时注意化简，结合实际意义取半径的正根即可得分，计算难度低。
【难度系数】
0.8
本题已知扇形面积和圆心角，要求对应圆的半径，解题思路如下：首先回忆圆心角度数与扇形面积、半径的关系公式，扇形面积由圆心角占整个圆周角的比例乘圆的面积得到，即$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）；已知$S_{扇形}$和$n$，将数值代入公式即可得到仅含$r$的方程，解方程后结合半径为正数的实际意义取正根即可得到结果。
【解析】
设扇形所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$
将$S_{扇形}=12π\ \mathrm{cm}^2$，$n=120°$代入公式得：
$12π=\frac{120π r^2}{360}$
化简右侧得：$12π=\frac{π r^2}{3}$
两边同时除以$π$得：$12=\frac{r^2}{3}$
解得$r^2=36$，因为半径为正数，所以$r=\sqrt{36}=6$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是扇形面积的基础应用题，核心考查对扇形面积公式的掌握，代入数值计算时注意化简，结合实际意义取半径的正根即可得分，计算难度低。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°。分别以点A,B为圆心,4为半径画弧,交边AB于点D,E,则图中阴影部分的面积为
$4π-8$
。答案
3. $4π-8$
解析
【分析】
首先观察图形特征，△ABC是等腰直角三角形，阴影部分是两个扇形的重叠区域。解题思路为：先根据等腰直角三角形的性质求出两个扇形的圆心角，再分别计算两个扇形的面积之和、等腰直角△ABC的面积，最后根据“两个扇形面积之和 = △ABC面积 + 阴影部分面积”的关系，推导得出阴影部分面积=两个扇形面积和减去△ABC的面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
两个扇形的圆心角分别为45°、45°，半径均为4，
则两个扇形的面积和为：
$S_{\mathrm{扇形和}}=\frac{45°}{360°} × π × 4^2 + \frac{45°}{360°} × π × 4^2 = \frac{90°}{360°} × π × 16 = 4π$。
观察图形可知，两个扇形的面积之和等于△ABC的面积加上阴影部分的面积，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形和}} - S_{△ ABC} = 4π -8$。
【答案】
$4π-8$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则阴影面积的计算，解题关键是将不规则图形的面积转化为常规的扇形、三角形面积的和差运算，无需直接求解不规则图形的面积，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，△ABC是等腰直角三角形，阴影部分是两个扇形的重叠区域。解题思路为：先根据等腰直角三角形的性质求出两个扇形的圆心角，再分别计算两个扇形的面积之和、等腰直角△ABC的面积，最后根据“两个扇形面积之和 = △ABC面积 + 阴影部分面积”的关系，推导得出阴影部分面积=两个扇形面积和减去△ABC的面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
两个扇形的圆心角分别为45°、45°，半径均为4，
则两个扇形的面积和为：
$S_{\mathrm{扇形和}}=\frac{45°}{360°} × π × 4^2 + \frac{45°}{360°} × π × 4^2 = \frac{90°}{360°} × π × 16 = 4π$。
观察图形可知，两个扇形的面积之和等于△ABC的面积加上阴影部分的面积，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形和}} - S_{△ ABC} = 4π -8$。
【答案】
$4π-8$
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则阴影面积的计算，解题关键是将不规则图形的面积转化为常规的扇形、三角形面积的和差运算，无需直接求解不规则图形的面积，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
4. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为（第3题）120°，AB的长为30 cm，贴纸部分BD的长为20 cm，则贴纸部分的面积是（
A.$100π \, \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{400}{3}π \, \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{800}{3}π \, \mathrm{cm}^2$
D.$800π \, \mathrm{cm}^2$
（第4题）
C
）。A.$100π \, \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{400}{3}π \, \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{800}{3}π \, \mathrm{cm}^2$
D.$800π \, \mathrm{cm}^2$
（第4题）答案
4. C
解析
【分析】
要计算贴纸部分的面积，首先观察图形可知贴纸部分是圆心角为120°的扇环，面积等于大扇形ABC的面积减去小扇形ADE的面积。第一步先确定两个扇形的半径：大扇形半径为AB的长度30cm，小扇形半径$AD=AB-BD$；第二步回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），分别计算两个扇形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
由题意可知，扇环的圆心角$n=120°$，
大扇形ABC的半径$R=AB=30\ \mathrm{cm}$，
小扇形ADE的半径$r=AD=AB-BD=30-20=10\ \mathrm{cm}$，
贴纸部分的面积为大扇形面积减去小扇形面积：
$\begin{aligned}S&=S_{\mathrm{大扇形}}-S_{\mathrm{小扇形}}\\&=\frac{120π R^2}{360}-\frac{120π r^2}{360}\\&=\frac{120π}{360}×(30^2 - 10^2)\\&=\frac{1}{3}π×(900-100)\\&=\frac{800}{3}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题解题核心是明确不规则的贴纸部分可转化为两个同圆心角的扇形面积差，计算时提取公因式可简化运算过程，属于基础的扇形面积应用类题目。
【难度系数】
0.7
要计算贴纸部分的面积，首先观察图形可知贴纸部分是圆心角为120°的扇环，面积等于大扇形ABC的面积减去小扇形ADE的面积。第一步先确定两个扇形的半径：大扇形半径为AB的长度30cm，小扇形半径$AD=AB-BD$；第二步回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），分别计算两个扇形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
由题意可知，扇环的圆心角$n=120°$，
大扇形ABC的半径$R=AB=30\ \mathrm{cm}$，
小扇形ADE的半径$r=AD=AB-BD=30-20=10\ \mathrm{cm}$，
贴纸部分的面积为大扇形面积减去小扇形面积：
$\begin{aligned}S&=S_{\mathrm{大扇形}}-S_{\mathrm{小扇形}}\\&=\frac{120π R^2}{360}-\frac{120π r^2}{360}\\&=\frac{120π}{360}×(30^2 - 10^2)\\&=\frac{1}{3}π×(900-100)\\&=\frac{800}{3}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题解题核心是明确不规则的贴纸部分可转化为两个同圆心角的扇形面积差，计算时提取公因式可简化运算过程，属于基础的扇形面积应用类题目。
【难度系数】
0.7
5. 如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为$\odot O$，有水部分弓形的高为2，弦$AB=4\sqrt{3}$。求截面中有水部分弓形的面积。（结果精确到0.1）
答案
5. $\frac{16}{3}π -4\sqrt{3}\approx9.8$
解析
【分析】
要求弓形面积，需用对应扇形面积减去弦与圆心围成的三角形面积。首先借助垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，得到半弦长，设圆半径为r，结合弓形高表示出弦心距，再用勾股定理列方程求出半径；然后根据直角三角形的边角关系求出圆心角的度数，最后分别计算扇形面积和三角形面积，相减即可得到弓形面积。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，交劣弧AB于点D。
由垂径定理得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，CD为弓形高，CD=2。
设$\odot O$的半径为r，则$OC = OD - CD = r - 2$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
代入数据得：$r^2=(r-2)^2 + (2\sqrt{3})^2$
展开计算：$r^2 = r^2 -4r +4 +12$
化简得：$4r=16$，解得$r=4$。
∴$OC=4-2=2$，在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ AOC=60°$，
∴圆心角$∠ AOB=2∠ AOC=120°$。
计算扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{120°}{360°}×π r^2=\frac{1}{3}×π×4^2=\frac{16}{3}π$。
计算$△ AOB$的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$。
∴弓形面积$S=S_{扇形OAB}-S_{△ AOB}=\frac{16}{3}π -4\sqrt{3}\approx\frac{16}{3}×3.142 -4×1.732\approx9.8$。
【答案】
$\frac{16}{3}π -4\sqrt{3}\approx9.8$
【知识点】
垂径定理；扇形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是弓形面积计算的常规题型，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形求解半径和圆心角，再结合弓形面积与扇形、三角形面积的关系计算结果，计算时要注意区分弓形对应的是劣弧还是优弧，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要求弓形面积，需用对应扇形面积减去弦与圆心围成的三角形面积。首先借助垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，得到半弦长，设圆半径为r，结合弓形高表示出弦心距，再用勾股定理列方程求出半径；然后根据直角三角形的边角关系求出圆心角的度数，最后分别计算扇形面积和三角形面积，相减即可得到弓形面积。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，交劣弧AB于点D。
由垂径定理得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，CD为弓形高，CD=2。
设$\odot O$的半径为r，则$OC = OD - CD = r - 2$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
代入数据得：$r^2=(r-2)^2 + (2\sqrt{3})^2$
展开计算：$r^2 = r^2 -4r +4 +12$
化简得：$4r=16$，解得$r=4$。
∴$OC=4-2=2$，在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ AOC=60°$，
∴圆心角$∠ AOB=2∠ AOC=120°$。
计算扇形OAB的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{120°}{360°}×π r^2=\frac{1}{3}×π×4^2=\frac{16}{3}π$。
计算$△ AOB$的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$。
∴弓形面积$S=S_{扇形OAB}-S_{△ AOB}=\frac{16}{3}π -4\sqrt{3}\approx\frac{16}{3}×3.142 -4×1.732\approx9.8$。
【答案】
$\frac{16}{3}π -4\sqrt{3}\approx9.8$
【知识点】
垂径定理；扇形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是弓形面积计算的常规题型，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形求解半径和圆心角，再结合弓形面积与扇形、三角形面积的关系计算结果，计算时要注意区分弓形对应的是劣弧还是优弧，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
