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C

解：在一元二次方程$x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$中，
二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$a^2-1$，
判别式$\Delta=(2a)^2 - 4×1×(a^2 - 1)$
$=4a^2 - 4a^2 + 4$
$=4＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。

9.若关于x的一元二次方程$ax^2 + 3x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）。

A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$

9.B

【分析】
解题需紧扣一元二次方程的性质和根的判别式两个核心要点：①首先明确一元二次方程的二次项系数不能为0，可先排除不符合的选项；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入方程对应系数求出a的取值范围，再对照选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
1. 排除不符合一元二次方程定义的选项：
因为$ax^2 + 3x - 2 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$，直接排除A选项。
2. 根据根的情况列不等式求a的范围：
一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$。
在方程$ax^2 + 3x - 2 = 0$中，一次项系数$b=3$，常数项$c=-2$，代入得：
$\Delta = 3^2 - 4× a× (-2) = 9 + 8a＞0$
解不等式得：$a＞-\frac{9}{8}=-1.125$
3. 对照剩余选项判断：
结合$a＞-1.125$且$a≠0$的要求，只有B选项$-1$符合取值范围，C选项$-2$、D选项$-3$均小于$-1.125$，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础题型，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”的隐含前提，解题时要先确认方程类型，再结合判别式计算参数范围。
【难度系数】
0.8

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(1-k)x^2-$$2x-1=0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是()。

A.$k＞2$
B.$k＜2$
C.$k＜2$ 且 $k ≠ 1$
D.$k＞-2$ 且 $k ≠ 1$

10.C

【分析】
解决本题需要同时满足两个核心条件：一是题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式需大于0。我们先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到最终k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(1-k)x^2-2x-1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$1-k≠0$，解得$k≠1$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，其中$a=1-k$，$b=-2$，$c=-1$
代入参数得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(1-k)×(-1) ＞ 0$
计算化简：
$4 + 4(1-k) ＞ 0$
$4 + 4 -4k ＞0$
$8 -4k ＞0$
移项得：$-4k ＞ -8$
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$k ＜ 2$
综合两个条件，k的取值范围是$k ＜ 2$且$k≠1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用 3.解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程求参数范围的基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅根据判别式大于0错选B，解题时要先确认方程的类型，再结合根的情况求解参数范围。
【难度系数】
0.7

11.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数$a,b$的值:$a=$,$b=$。

11.1 2(答案不唯一)

【分析】
首先，题目明确是关于x的一元二次方程，因此要满足二次项系数不为0的隐含条件，即a≠0；其次，一元二次方程有两个相等的实数根，对应根的判别式Δ=0。解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的限制条件a≠0；第二步回忆根的判别式规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当Δ=$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；第三步代入本题中c=1，得到关系式$b^2=4a$，任意取一个大于0的a值，计算出对应的b值即可。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2+bx+1=0$是一元二次方程，且有两个相等的实数根
∴ 需同时满足：① 二次项系数$a≠0$；② 根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
将$c=1$代入判别式得：
$b^2 - 4a×1 = 0$，即$b^2=4a$
令$a=1$，则$b^2=4×1=4$，解得$b=\pm2$，取$b=2$即可（答案不唯一）
【答案】
1，2（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题是开放性基础题，解题时要注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，只要熟练掌握根的判别式和方程根的对应关系，就能快速写出符合要求的数值。
【难度系数】
0.8

12.(1)我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，可以得到一元二次方程的求根公式。一般地，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，当时，它的根是。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
(2)小明在用公式法解方程$x^2 - 5x = 1$时出现了错误，解答过程如下：
$\because a=1,b=-5,c=1$,(第一步)
$\therefore b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 1 = 21$。(第二步)
$\therefore x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$。(第三步)
$\therefore x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$。(第四步)
小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是。
(3)请你写出此题正确的解答过程。
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12.解:(1)$b^2-4ac\ge0$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(2)一 方程没有化成一般式
(3)方程化为 $x^2-5x-1=0$。
$\because a=1,b=-5,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29$。
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$。
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。

【分析】
本题围绕一元二次方程的公式法解法设置问题，解题思路如下：
(1) 回忆配方法推导求根公式的过程，一元二次方程有实数根的前提是根的判别式非负，结合推导结果直接写出求根公式即可；
(2) 使用公式法解方程的第一步是将方程化为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，才能正确确定常数项$c$的值，对比小明的步骤，他没有移项就直接确定$c$的值，因此第一步就出错了；
(3) 按照公式法的规范步骤解题：先将方程化为一般形式，再确定$a、b、c$的取值，计算判别式的值，最后代入求根公式求出方程的根。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），只有当根的判别式$b^2-4ac\ge0$时，方程有实数根，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
(2) 原方程为$x^2 - 5x = 1$，未化成一般式时不能直接确定常数项$c$，小明直接取$c=1$，因此解答过程从第一步开始出错，错误原因是方程没有化成一般式；
(3) 正确解答过程：
先将方程化为一般形式：移项得$x^2 - 5x - 1 = 0$，
$\because a=1,b=-5,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29$，
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1)$b^2-4ac\ge0$；$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(2)一；方程没有化成一般式
(3)方程化为 $x^2-5x-1=0$。
$\because a=1,b=-5,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29$。
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$。
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 公式法解方程步骤
3. 一元二次方程一般式
【点评】
本题侧重考查公式法解一元二次方程的基础应用，易错点是使用求根公式前忽略将方程化为一般形式，导致$a、b、c$取值错误，掌握公式法的规范解题步骤是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

13.阅读下面的材料:
已知方程$x^2 + x -5=0$,求一个一元二次方程,使得它的实数根是已知方程的实数根的3倍。
解:设所求方程的实数根为$y$,则$y=3x$,即$x=\frac{y}{3}$。
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程,得$(\frac{y}{3})^2 + \frac{y}{3} -5=0$。
化简,得$y^2 +3y -45=0$。
故所求方程为$y^2 +3y -45=0$。
这种利用方程的根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用“换根法”求新方程。(要求:把所求方程化为一般形式)
(1)已知方程$x^2 +x -3=0$,求一个一元二次方程,使它的实数根是已知方程的实数根的2倍,则所求方程为;
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$有两个不等于0的实数根,求一个一元二次方程,使它的实数根是已知方程的实数根的相反数。

13.解:(1)$y^2+2y-12=0$
(2)设所求方程的根为$y$,则$y=-x(x\ne0)$,于是$x=-y(y\ne0)$。
把$x=-y$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,得$a(-y)^2+b·(-y)+c=0$。
化简,得$ay^2-by+c=0$。
若$c=0$,有$ax^2+bx=0$,于是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为0,不符合题意。
$\therefore c\ne0$。
$\therefore$所求方程为$ay^2-by+c=0(a,c\ne0)$。

【分析】
本题考查利用材料给出的“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路清晰明了：第一步先明确新方程的根与原方程根的数量关系，用新方程的根表示出原方程的根；第二步将表示后的原根代入已知方程，整理化简为关于新根的一元二次方程即可，解题时要注意题干给出的限制条件，比如第二问要求原方程的根不为0，需要额外验证常数项的取值要求。
【解析】
(1) 设所求方程的实数根为$y$，由题意得新根是原根的2倍，即$y=2x$，变形得$x=\frac{y}{2}$。
把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程$x^2 +x -3=0$，可得：
$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -3=0$
两边同时乘4去分母化简，得$y^2 + 2y -12=0$。
(2) 设所求方程的实数根为$y$，由题意得新根是原根的相反数，即$y=-x$。已知原方程的根不等于0，即$x\ne0$，因此$y\ne0$，变形得$x=-y$。
把$x=-y$代入已知一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$，可得：
$a(-y)^2 + b· (-y) + c=0$
化简得$ay^2 -by +c=0$。
若$c=0$，则原方程$ax^2 +bx=0$有一个根为0，与“两个不等于0的实数根”的条件矛盾，因此$c\ne0$。
综上，所求方程为$ay^2 -by +c=0\ (a\ne0,c\ne0)$。
【答案】
(1)$y^2+2y-12=0$；(2)$ay^2 -by +c=0\ (a\ne0,c\ne0)$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义；2. 换根法的应用；3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于阅读理解类题型，重点考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题的核心是抓住换根法的逻辑：用新根表示原根后代入原方程化简，解题时需留意题干给出的限制条件，避免漏写特殊要求。
【难度系数】
0.7