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1. 下列函数中，属于一次函数的是(
A.$y=\dfrac{7}{x}$
B.$y=\dfrac{2}{5}x$
C.$y=x^2+1$
D.$y=-x(x-1)+4$
B
)。A.$y=\dfrac{7}{x}$
B.$y=\dfrac{2}{5}x$
C.$y=x^2+1$
D.$y=-x(x-1)+4$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断函数是否为一次函数，首先需明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时的正比例函数是特殊的一次函数。解题思路为：先将各选项的函数表达式化为最简形式，再对照一次函数的判定要点（自变量最高次数为1、自变量系数不为0、自变量不出现在分母等位置）逐一排查，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{7}{x}$是反比例函数，自变量$x$在分母位置，次数为$-1$，不符合一次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{2}{5}x$符合正比例函数形式$y=kx$（$k=\dfrac{2}{5}≠0$，$b=0$），属于特殊的一次函数，符合要求；
选项C：$y=x^2+1$中自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数定义，排除；
选项D：先化简表达式：$y=-x(x-1)+4=-x^2+x+4$，自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义、函数式化简、二次函数的定义
【点评】
本题考查一次函数的判定，解题核心是牢记一次函数的定义特征，注意需先将函数表达式化为最简形式再判断，避免因未化简误选D选项，同时要明确正比例函数属于特殊的一次函数。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为一次函数，首先需明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时的正比例函数是特殊的一次函数。解题思路为：先将各选项的函数表达式化为最简形式，再对照一次函数的判定要点（自变量最高次数为1、自变量系数不为0、自变量不出现在分母等位置）逐一排查，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{7}{x}$是反比例函数，自变量$x$在分母位置，次数为$-1$，不符合一次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{2}{5}x$符合正比例函数形式$y=kx$（$k=\dfrac{2}{5}≠0$，$b=0$），属于特殊的一次函数，符合要求；
选项C：$y=x^2+1$中自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数定义，排除；
选项D：先化简表达式：$y=-x(x-1)+4=-x^2+x+4$，自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义、函数式化简、二次函数的定义
【点评】
本题考查一次函数的判定，解题核心是牢记一次函数的定义特征，注意需先将函数表达式化为最简形式再判断，避免因未化简误选D选项，同时要明确正比例函数属于特殊的一次函数。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$P(2,a)$在函数$y=3x-2$的图象上，则点$Q(a,10)$
在
（填“在”或“不在”）该函数的图象上。答案
2. 在
解析
【分析】
要判断点Q是否在函数图象上，需先求出a的值：已知点P在函数图象上，其坐标必然满足函数解析式，因此先将P点坐标代入解析式算出a，得到Q点的完整坐标后，再将Q点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，若计算结果和Q点的纵坐标相等，就说明点Q在函数图象上，反之则不在。
【解析】
1. 求a的值：
∵点$P(2,a)$在函数$y=3x-2$的图象上
∴将$x=2$，$y=a$代入$y=3x-2$，得：
$a=3×2-2=4$
因此点Q的坐标为$(4,10)$
2. 验证点Q是否在函数图象上：
把$x=4$代入$y=3x-2$，得：
$y=3×4-2=10$
计算结果与点Q的纵坐标一致，因此点Q在该函数图象上。
【答案】
在
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，代入法求值
【点评】
本题是基础类题目，核心考查点与函数图象的对应关系，牢记“点在函数图象上等价于点坐标满足函数解析式”这一规律，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.9
要判断点Q是否在函数图象上，需先求出a的值：已知点P在函数图象上，其坐标必然满足函数解析式，因此先将P点坐标代入解析式算出a，得到Q点的完整坐标后，再将Q点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，若计算结果和Q点的纵坐标相等，就说明点Q在函数图象上，反之则不在。
【解析】
1. 求a的值：
∵点$P(2,a)$在函数$y=3x-2$的图象上
∴将$x=2$，$y=a$代入$y=3x-2$，得：
$a=3×2-2=4$
因此点Q的坐标为$(4,10)$
2. 验证点Q是否在函数图象上：
把$x=4$代入$y=3x-2$，得：
$y=3×4-2=10$
计算结果与点Q的纵坐标一致，因此点Q在该函数图象上。
【答案】
在
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，代入法求值
【点评】
本题是基础类题目，核心考查点与函数图象的对应关系，牢记“点在函数图象上等价于点坐标满足函数解析式”这一规律，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.9
3. 直线$y=3x-6$与x轴的交点坐标是
(2,0)
，与y轴的交点坐标是(0,-6)
。这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6
。答案
3. $(2,0);(0,-6);6$
解析
【分析】
解题时我们可以利用坐标轴上点的坐标特征求解交点：x轴上所有点的纵坐标都为0，y轴上所有点的横坐标都为0，分别将对应坐标值代入直线解析式就能求出交点坐标。直线和两坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，也就是交点横坐标、纵坐标的绝对值，再代入直角三角形面积公式即可算出面积。
【解析】
1. 求直线与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入$y=3x-6$可得：
$0=3x-6$，解得$x=2$，因此与x轴交点坐标为$(2,0)$。
2. 求直线与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=3x-6$可得：
$y=3×0-6=-6$，因此与y轴交点坐标为$(0,-6)$。
3. 计算围成三角形的面积：
直线与两坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度分别为$|2|=2$、$|-6|=6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2}×2×6=6$。
【答案】
$(2,0);(0,-6);6$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考点是坐标轴上点的坐标特征，掌握x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的规律，即可快速求解交点，再结合面积公式就能得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以利用坐标轴上点的坐标特征求解交点：x轴上所有点的纵坐标都为0，y轴上所有点的横坐标都为0，分别将对应坐标值代入直线解析式就能求出交点坐标。直线和两坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，也就是交点横坐标、纵坐标的绝对值，再代入直角三角形面积公式即可算出面积。
【解析】
1. 求直线与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入$y=3x-6$可得：
$0=3x-6$，解得$x=2$，因此与x轴交点坐标为$(2,0)$。
2. 求直线与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=3x-6$可得：
$y=3×0-6=-6$，因此与y轴交点坐标为$(0,-6)$。
3. 计算围成三角形的面积：
直线与两坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度分别为$|2|=2$、$|-6|=6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2}×2×6=6$。
【答案】
$(2,0);(0,-6);6$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考点是坐标轴上点的坐标特征，掌握x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的规律，即可快速求解交点，再结合面积公式就能得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 函数$y=\dfrac{x-2}{x+2}$的自变量$x$的取值范围是
$x≠-2$
。答案
4. $x≠-2$
解析
【分析】
要确定这个函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式的形式，它是分式结构。根据分式的相关性质，分式有意义的前提是分母不能为0，因此我们只需让该分式的分母不等于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：已知函数为分式形式，分式有意义时分母不能为0，
可得不等式：$x+2≠0$，
解得：$x≠-2$，
因此函数自变量$x$的取值范围是$x≠-2$。
【答案】
$x≠-2$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础题型，主要考查分式有意义的条件在求函数自变量范围中的应用，牢记分式分母不为0的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要确定这个函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式的形式，它是分式结构。根据分式的相关性质，分式有意义的前提是分母不能为0，因此我们只需让该分式的分母不等于0，列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：已知函数为分式形式，分式有意义时分母不能为0，
可得不等式：$x+2≠0$，
解得：$x≠-2$，
因此函数自变量$x$的取值范围是$x≠-2$。
【答案】
$x≠-2$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础题型，主要考查分式有意义的条件在求函数自变量范围中的应用，牢记分式分母不为0的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5. 点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$是一次函数$y=-4x+3$图象上的两点。若$x_1＜x_2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是(
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能确定
A
)。A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能确定
答案
5. A
解析
【分析】要判断一次函数图象上两个点的纵坐标大小，可优先利用一次函数的增减性规律解题：首先确定一次函数解析式中k的正负，k的正负决定了y随x的变化趋势；再结合已知的x₁＜x₂的条件，就能直接推出y₁和y₂的大小关系，也可通过将两点坐标代入解析式作差比较大小。
【解析】方法一：利用一次函数增减性求解
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中一次函数为$y=-4x+3$，其中$k=-4＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：作差法比较
因为点$P_1$、$P_2$都在函数图象上，所以$y_1=-4x_1+3$，$y_2=-4x_2+3$。
则$y_1 - y_2 = (-4x_1+3) - (-4x_2+3) = 4(x_2 - x_1)$
因为$x_1＜x_2$，所以$x_2 - x_1＞0$，因此$y_1 - y_2＞0$，即$y_1＞y_2$。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次函数中k的取值和函数增减性的对应关系，熟练运用该性质可以快速解决这类坐标比较大小的问题。
【难度系数】0.9
【解析】方法一：利用一次函数增减性求解
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中一次函数为$y=-4x+3$，其中$k=-4＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：作差法比较
因为点$P_1$、$P_2$都在函数图象上，所以$y_1=-4x_1+3$，$y_2=-4x_2+3$。
则$y_1 - y_2 = (-4x_1+3) - (-4x_2+3) = 4(x_2 - x_1)$
因为$x_1＜x_2$，所以$x_2 - x_1＞0$，因此$y_1 - y_2＞0$，即$y_1＞y_2$。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次函数中k的取值和函数增减性的对应关系，熟练运用该性质可以快速解决这类坐标比较大小的问题。
【难度系数】0.9
6. 小明的父亲饭后去散步，从家中出发经过20分钟到达一个离家700米的公园，逛了30分钟，然后花15分钟返回到家中。下列图象中，表示小明父亲散步的时间x(分)与离家的距离y(米)之间的关系的是(
A
)。答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以把小明父亲的散步过程拆分为三个阶段逐一分析图象特征：①第一阶段：0~20分钟，从家走到700米的公园，此时离家距离随时间增加而增大，图象是从原点出发上升到(20,700)的线段；②第二阶段：逛公园30分钟，此时时间增加但离家距离不变，图象是从20分钟到20+30=50分钟的水平线段；③第三阶段：15分钟返回家，离家距离随时间增加减小到0，总用时20+30+15=65分钟，图象是从50分钟到65分钟下降到x轴的线段。接下来逐一比对选项排除不符合的即可。
【解析】
我们按三个阶段分析各选项：
1. 阶段1：所有选项前20分钟的图象都是上升到700米，均符合第一阶段特征；
2. 阶段2：逛公园时离家距离不变，需要有一段水平线段，选项B、C没有水平线段，距离到达700米后直接下降，不符合该阶段特征，排除B、C；
3. 阶段3：散步总时间为20+30+15=65分钟，选项D的总用时为70分钟，不符合，排除D。
只有选项A完全符合三个阶段的特征。
【答案】
A
【知识点】
函数图象的实际应用，分段函数
【点评】
本题是函数图象结合生活实际的典型题目，解题核心是将实际运动过程拆分为不同的分段状态，明确每个阶段时间和距离的变化规律，再对应图象的走势、关键点坐标判断即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以把小明父亲的散步过程拆分为三个阶段逐一分析图象特征：①第一阶段：0~20分钟，从家走到700米的公园，此时离家距离随时间增加而增大，图象是从原点出发上升到(20,700)的线段；②第二阶段：逛公园30分钟，此时时间增加但离家距离不变，图象是从20分钟到20+30=50分钟的水平线段；③第三阶段：15分钟返回家，离家距离随时间增加减小到0，总用时20+30+15=65分钟，图象是从50分钟到65分钟下降到x轴的线段。接下来逐一比对选项排除不符合的即可。
【解析】
我们按三个阶段分析各选项：
1. 阶段1：所有选项前20分钟的图象都是上升到700米，均符合第一阶段特征；
2. 阶段2：逛公园时离家距离不变，需要有一段水平线段，选项B、C没有水平线段，距离到达700米后直接下降，不符合该阶段特征，排除B、C；
3. 阶段3：散步总时间为20+30+15=65分钟，选项D的总用时为70分钟，不符合，排除D。
只有选项A完全符合三个阶段的特征。
【答案】
A
【知识点】
函数图象的实际应用，分段函数
【点评】
本题是函数图象结合生活实际的典型题目，解题核心是将实际运动过程拆分为不同的分段状态，明确每个阶段时间和距离的变化规律，再对应图象的走势、关键点坐标判断即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7. 某剧院的观众席的座位分布，座位数与排数的关系如右表。
（1）按照上表所示的规律，当$x$每增加1时，$y$如何变化？
（2）写出座位数$y$与排数$x$之间的关系式。
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由。
（1）按照上表所示的规律，当$x$每增加1时，$y$如何变化？
（2）写出座位数$y$与排数$x$之间的关系式。
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由。
答案
7. （1）y 增加 3
（2）$y=3x+47$
（3）不可能有 90 个座位
（2）$y=3x+47$
（3）不可能有 90 个座位
解析
【分析】
（1）观察表格中相邻排数对应的座位数差值，即可判断x增加1时y的变化情况；（2）由于y随x均匀变化，属于一次函数关系，用待定系数法设函数解析式，代入两组已知的x、y值求解参数，就能得到y与x的关系式；（3）将y=90代入所得关系式，求解x的值，结合排数必须为正整数的实际要求，即可判断是否存在90个座位的排。
【解析】
（1）观察表格数据：$x=1$时$y=50$，$x=2$时$y=53$，$y$的差值为$53-50=3$；同理$x=2$到$x=3$、$x=3$到$x=4$时，$y$的差值均为3，因此当$x$每增加1时，$y$增加3。
（2）由$y$随$x$均匀变化，可知$y$是$x$的一次函数，设关系式为$y=kx+b$（$k≠0$，$x$为正整数）。
将$\begin{cases}x=1,y=50\\x=2,y=53\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 50 ①\\2k + b = 53 ②\end{cases}$
用②$-$①得$k=3$，将$k=3$代入①得$3+b=50$，解得$b=47$。
因此座位数$y$与排数$x$的关系式为$y=3x+47$（$x$为正整数）。
（3）不可能，理由如下：
将$y=90$代入$y=3x+47$，得$3x+47=90$，
解得$x=\frac{43}{3}$。
由于排数$x$必须为正整数，$\frac{43}{3}$不是正整数，不符合实际情况，因此某一排不可能有90个座位。
【答案】
（1）当$x$每增加1时，$y$增加3；
（2）$\boldsymbol{y=3x+47}$；
（3）不可能有90个座位。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数实际意义
【点评】本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是先通过数据判断变量的线性变化规律，再用待定系数法求出函数关系，最后结合实际要求验证结果，是对函数基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.85
（1）观察表格中相邻排数对应的座位数差值，即可判断x增加1时y的变化情况；（2）由于y随x均匀变化，属于一次函数关系，用待定系数法设函数解析式，代入两组已知的x、y值求解参数，就能得到y与x的关系式；（3）将y=90代入所得关系式，求解x的值，结合排数必须为正整数的实际要求，即可判断是否存在90个座位的排。
【解析】
（1）观察表格数据：$x=1$时$y=50$，$x=2$时$y=53$，$y$的差值为$53-50=3$；同理$x=2$到$x=3$、$x=3$到$x=4$时，$y$的差值均为3，因此当$x$每增加1时，$y$增加3。
（2）由$y$随$x$均匀变化，可知$y$是$x$的一次函数，设关系式为$y=kx+b$（$k≠0$，$x$为正整数）。
将$\begin{cases}x=1,y=50\\x=2,y=53\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 50 ①\\2k + b = 53 ②\end{cases}$
用②$-$①得$k=3$，将$k=3$代入①得$3+b=50$，解得$b=47$。
因此座位数$y$与排数$x$的关系式为$y=3x+47$（$x$为正整数）。
（3）不可能，理由如下：
将$y=90$代入$y=3x+47$，得$3x+47=90$，
解得$x=\frac{43}{3}$。
由于排数$x$必须为正整数，$\frac{43}{3}$不是正整数，不符合实际情况，因此某一排不可能有90个座位。
【答案】
（1）当$x$每增加1时，$y$增加3；
（2）$\boldsymbol{y=3x+47}$；
（3）不可能有90个座位。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数实际意义
【点评】本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是先通过数据判断变量的线性变化规律，再用待定系数法求出函数关系，最后结合实际要求验证结果，是对函数基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.85
